1、1第十一章 量子跃迁111）荷电 的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动） 。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为q，波长较长。求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。112）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用 。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然tt0处于基态的几率（取 沿 轴方向来计算） 。0z解：令 （6）ntiEnnertCtr,初始条件（5）亦即 （5）1n用式（6）代入式（4） ，但微扰项 中 取初值 （这是微扰论的实质性要点！）即得H1tzeedtCintiEn 101以 左乘上式两端并全空间积分，得*n tiEnn net
2、zedti 10再对 积分，由 ，即得（7）10nnzietC因此 时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到 态的几率为可直接代入 P291 式（23） 、P321 式（15）而得0t n下式（8）2102nnzetCP根据选择定则 ，终态量子数必须是,1ml0n即电子只能跃迁到各 态 ，而且磁量子数 。pl 0m跃迁到各激发态的几率总和为（9）nnn zezeP21202120 其中 （ 为奇宇称）11z 2（10）nnn zz1121212123arz为 Bohr 半径，代入式（9）即得a（11）20 aePn电场作用后电子仍留在基态的几率为（12）201en113）考虑一个二能级体系，Hami
3、lton 量 表为（能量表象）0H, ,210EH21设 时刻体系处于基态，后受微扰 作用，0t ,求 时刻体系处于激发态的几率。t解： 时，体系 ，其矩阵表示（ 表象）为00H0H（1）210E设 的本征函数为 H（2）2121CE代入本征方程 （3）E得到（4）02211C上式存在非平庸解的条件为 022121 EEE由此解出 （5） 2121 4令 ， ， （6）1E2123式（5）可以写成 （5）22142E当 ，由式（4）求得E12224CC取 ，即得相应的能量本征函数（未归一化）为1（7）2214E当 ，类似可求得E（8）2214E时，体系的初始状态为0t（9）EEt 201其中
4、（10）4因此 时波函数为0t（11） tiEtiEeet 22以式（5） 、 （7） 、 （8）代入上式，即得（12） titi etititt 21211 snsncos 体系处于 态的几率为2（13）2sin2tt114）自旋为 的粒子，磁矩为 ，处于沿 轴方向的常磁场 中，初始时刻粒子自旋向下 。后来1uz0B1z加上沿 轴方向的常磁场 。求 时刻粒子测得自旋向上的几率。 （磁矩算符 ，与外磁场的的作x1B0t u用 ）. zxuH解：粒子的磁矩算符可表示成 （1）u为泡利算符，磁场对粒子的作用势为（2）.01 zxBH4在 表象中， 的矩阵表示为zH（2）01011BuuB以下求 的
5、本征值和本征函数，设本征函数为（3）21210CC本征方程为 ，则EH（4）212101EBu能级方程为 （5）0det110uHE令 ， ， （6）0uBu210由式（5）容易解出 （7）将 之值代回式（4） ，即可求出如下本征函数：E（8） 01012121 CCE注意，这两个本征函数并未归一化。将 时的初始波函数按能量本征函数展开，0t（9）21t因此， 时波函数ttitie21（10）10sincos0sin01 ttt注意 满足归一化条件 t t在时刻 ，测得粒子自旋“向上” 的几率为zttiPz 2121sinsn5（11）2120210sintBuB本题可以视为 113）题的一个实例。6
