1、 姓名： 学号：1由麦克斯韦方程和物质方程推导出三维波动方程。解：麦克斯韦方程为（ 1.1.43a） (1.1.43b)= =(1.1.43c) (1.1.43d)=0 =+物质方程为(1.1.44a) (1.1.44b) (1.1.44c) = = =从上述(1.1.43)和(1.1.44)出发，推导电磁场方程。将矢量运算公式 (1.1.45)（ ） 2=()中E视为电场强度，利用 （1.1.43a）和(1.1.44a)得到(1.1.46) ()=1()=1=0最后假定自由电荷密度 为常数。进而利用（1.1.43）和(1.1.44)，有()= = (+)= = (+22) 22将这个结果和（
2、1.1.46）代入（1.1.45 ） ，得到 22+=2(1.1.47a)这是电场方程。同理得磁场方程 (1.1.47b)22+=2(1.1.47)中的一阶微商项刻画系统的损耗。如果系统的损耗为零，则（1.1.47 ）变为 22=22(1.1.48)22=22这是电磁场的波动方程，其中， 正是电磁波的传播速度。c=1()2.推导三维空间的模密度表达式 ()=823提示：见课本第12页解：现在考虑边长为 L 的正方形空腔，腔内允许存在的波数 =,1,2,3其中， 是一组正整数。三维 k-空间中模的密度为 。考虑到1,2,3 (/)3连续变化的情况，考察直角坐标系到球坐标系的变换。一个半径为 k,
3、厚,度为 的球壳的体积为 。由于 只限于取正值，它们只构成 1/8 的 42 ,空间，相应球壳的体积为 .由于模密度为 ，因此 1/8 球壳内的模18(42) (/)3数为218(42)()3由于空腔包含两个偏振态。利用 k= = ,上式写为223823=3()其中 ,是三维空腔的模密度。g()=8233. 宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于 黑体辐射。此辐射的=2.726峰值波长是多少？在什么波段？解： =2.89781032.726=1.063它处于微波频段。4. 康普顿散射的表达式为： 0=0(1cos)1.解释各个量的物理意义；2.推导出这个公式.解：1. 为电子
4、的静止质量，h 为普朗克常量，c 为光速， 为入射波长，0 0为散射光的红移量， 为电子的康普顿波长， 为为 散射波 长 ， =-00 散射角。2光子能量与动量之间的关系为 E=cp,又因为 E=hv得到光子的动量 。=利用 ，角频率 和波矢量 ，得=2 =2 =2= =,=以 分别表示光子碰撞前和碰撞后的能量，而电子在碰撞前（静止）和碰h0和 撞后的能量分别为 02和 , 是相对论因子 (1.3.10)02 = 11-22 其中 是碰撞后电子的速度。由碰撞前后系统的能量守恒，有（1.3.11 ）0+02=+02另外，设碰撞前光子的运动方向为 X 轴，以 和 分别表示光子在碰撞前和碰撞0 后的
5、动量，而电子在碰撞前和碰撞后的动量分别为 0 和 。按照动量守恒，0在 X 方向和 y 方向，分别有 0=cos+0cos（1.3.12 ）0=sin0sin消去 ，得(0)2+()220cos=(0)2(1.3.13)=(0)2(0)2 式子两边同除 c，给出(1.3.14) 0=0+0 将（1.3.14）代入（1.3.13） ，整理后得-0= 0(1cos)5.波长为 的 X 射线光子与静止的电子发生碰撞。在与入射方向垂直=0.01的方向上观察时，散射 X 射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV？解： =0(1cos)=0=0.0024故散射光波长为 =0.0124。碰撞后电子获
6、得的能量等于入射光子损失的能量，该能量为.=0=(0)0 =2.41046.在一束电子束，单电子的动能为 E=20eV,求此电子的徳布罗意波长。解：由 得速度 v= ,则相应的=1202 20= 2201.60210199.1091031=2.67106/的徳布罗意波长为 .=0= 6.62610349.10910312.6710637 .1.设归一化波函数： ,a 为常数，求归一化常()=122,(= 2)(sin2)sin(2)sin(2020 adxadaxa 0)sin()sin(20 dxadxaP由归一化条件： 1|02AX得到： 3|202adxa归一化常数为： 3aA归一化波函
7、数为： x3)(将 6.0|3)sin(2| 6.0| 6)sin(3)sin(2| | )sin(2)(3)( 21101210n2 ）（出 现 的 几 率 ：能 量 测 量 值直 接 计 算 ： 出 现 的 几 率 ：能 量 测 量 值 出 现 的 几 率表 示 能 量 测 量 值其 中 展 开 ：按 本 征 函 数 CExdadxaxdaxaCECxaxaannn25、一能量为 的光子在真空中传播（其中 h是普朗克常数），证明其动h量为 。p解：关于光子的动量，由相对论知道，以速度 v 运动的粒子的能量为 （1）2021cvmE其中 和 m 分别为粒子的静止质量和运动质量，对于真空中传播的光子，v=c,0式（1）的分母为 0，而光子的能量是有限的，所以式（1）的分子也必须为 0，即 =0。再由相对论的能量和动量关系0，即 （2）4202cmpEcpE由式（1） 、 （2） ，得光子的动量为 。h26、由测不准关系 估算一维无限深势阱中粒子的基态能量。x解：由粒子的本征函数 ，得xansi2n 0,2pa又 202202 13ix nddxna2022202 sisisip andxaxanxa 故anppx22,613从而，对于基态，有 63x2n由 ,31,1m2,22 apEp得故基态能量为 20
