1、18.3 双曲线及其标准方程（二）袁 曜一、教学内容：8.3.双曲线及其标准方程第二课时，人教版高二数学上册 106 页（例 2，例 3）至 107 页。二、学习任务分析：通过这一节课的教学不仅要使学生初步理解并能简单应用所学的知识技能，更重要的是：在使学生掌握求圆锥曲线方程一般思路和方法的基础上，改善学习数学的学习方法，以便今后的学习，从而达到培养学生学习能力的目的。三、学生认知起点分析：本课时的教学对象为贵州省省级示范性高中高二年级的学生，他们经过近一年多的高中学习，尤其是在前一阶段的解析几何教学基础上，已经具备一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，但是知识的迁移能力和应用能力、代数运
2、算能力还需要更进一步培养和提高。学生对曲线和方程、坐标法的 认识已有了一定的认知，但圆锥曲线需要的代数运算方法还需进一步学习掌握。 主要体现在三个方面：知识技能：学生已经学习了曲线与方程、椭圆的知识和应用，对双曲线定义及其标准方程，已有了初步认识，会根据定义求出双曲线的方程，但对于双曲线标准方程的求法（待定系数法）及双曲线定义及标准方程的应用不是很清楚。过程与方法：学生运用定义法求双曲线方程、待定系数法求椭圆、直线方程的方法以及坐标法等一般方法已基本掌握，消元降次法解简单方程（方程组）在初中已初步了解，换元法进行简化计算能力已基本具备。但对于分母是二次的分式方程组的解法还需要训练，运算能力还需
3、要更进一步提高。情感、态度价值观：高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步具备了数形结合的思想。但部分学生只关注知识和技能的掌握，把知识和技能作为数学学习的唯一目标，对数学的科学价值、应用价值和人文价值缺乏全面的理解。在这些起点能力的基础上，课堂教学中我指导学生用发现法学习，引导学生学习方式发生转变，师生互动，小组探讨，共同总结同步提高，学生可以完成本课时的教学目标。四、教学目标：根据数学教学大纲，确定具体三维目标如下：知识与技能：21、掌握待定系数法求双曲线的标准方程，了解双曲线定义的简单
4、应用；2、提 高 运 算 求 解 、数 据 处 理 、化 繁 为 简 等 基 本 能 力 ；形 成 和 发 展 理 性 思 维 。过程与方法：1、经历双曲线标准方程的求解过程和双曲线的发展史，体会坐标法；2、体现方程、化归、数形结合、分类整合、模 块等数学思想，会用 换元法或整体代入的方法进行消元降次解分式方程组；注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重运算能力的培养。情感、态度价值观：1、激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。2、体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，接受优秀文化的熏陶，领会数学
5、的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。3、通过变式教学，发展求知、求 实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性，了解数学真理的相对性；崇尚数学的理性精神。教学重点：巩固双曲线概念、掌握待定系数法求双曲线标准方程。教学难点：分母是 2 次的分式方程组的解法。教学疑点：例 2（课本上例 3 ）第（1）问答案是否完全。教学方法：启发探究式教学、互动式教学。引导学生进行主动探究学习。抓住本节课的重点和难点，采取类比、联想、 发现、探究、协作、 讨论等学习方法相结合的教学模式，突出重点、突破难点。鼓励学生主动发现问题、大胆分析问题和解决问题. 具体措施：基于上述分析，课堂教学中我用新的
6、高中数学课程标准理念指导教学，采取以学生发展为本，明确本课的学习目标，以学习任务驱动为方式，以双曲线标准方程求法为中心，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。促进学生说、做、想，注重“引、思、探、 练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。五、教学用具：多媒体六、教学流程图复习导入新知探究变式导练应用建构归纳提炼完善建构 总结作业七、教学过程：以文化为背景， 以知以知 识为载识为载 体，以思 维为维为 主主 线线 ，以能力 为为 目目标标 ，以 发发
7、 展展 为为 方向方向3教学步骤教师活动 学生活动 设计意图二新知探索例 1(课本 106 页例 2)已知双曲线的焦点在 轴上，并且双曲线上两y点 P1、P 2的坐标分别为 ，)24,3(，求双曲线的标准方程 奎 屯王 新 敞新 疆)5,49(1.提出问题、引导分析:已知双曲线经过两点,求双曲线标准方程,用什么办法解决呢? 2、指导列式，交流算法：教师从三个方面引导学生列式计算：方程设法、方程特点、方程解法。根据学生回答情况有两种方案：1、让两名学生上台板演，教师巡视，指导学生解二元二次方程组；2、教师板书并投影解法。学生探究回答：1.待定系数法2、因为双曲线的焦点在 轴上，y所以设所求双曲线
8、的标准方程为 12bxay（ ）0,代入坐标后的方程组是分母是2 次的分式方程组，用换元法或整体法求解。3.学生观察、计算、交流、归纳、反思得到：求双曲线的标熟悉双曲线的两种标准方程，掌握待定系数法求曲线方程的一般方法。培养思维的具体和简约，渗透化归思想.体现换元法的简化计算功能。培养学生的合作、分析、归教学步骤 教师活动 学生活动 设计意图一创设情境复习导入1、双曲线定义及两种形式的标准方程是什么？教师投影并指出：双曲线定义和标准方程是解题的基础。2、简单介绍双曲线发展史3、求适合下列条件的标准方程？ =3，b=4； = ,经过点 Aaa52，焦点在 x 轴上。,54、引入课题：设问：、两题
9、的解法分别是什么？这一节课，我们一起来学习双曲线的应用，并掌握待定系数法求双曲线方程.学生答：1、双曲线定义及两种形式的标准方程2、学生参与讨论3、 或,1692yx.2 .16202yx4、定义法待定系数法复习是建构培育和预热用待定系数法求“双曲线”标准方程的“最近发展区”.通过学生熟悉的、简单的问题引出课题， 介绍双曲线发展史是为了让学生感受数学文化，激发学生学习兴趣。4掌握算法3、整理强化，小结算理。4、思维发散、变式教学例 1 变式：教师问，若去掉“焦点在 轴上”这一条件，如何设双曲线的标准方程呢？教师引导学生讨论后请 2 至 3 名学生上台板书，教师巡视后订正、引导学生比较解法、点评
10、。点评：已知双曲线经过两点，所求双曲线方程设为：，不必讨论且解二元一次方程组简捷迅速，应予掌握准方程的常用方法是待定系数法，常通过列方程、解方程(组)解决若得到的是关于待定系数 的一个分式方程组，并ba,且分母的次数是 2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元一次方程组；也可将的倒数作为未知数，直2,接看作二元一次方程组 奎 屯王 新 敞新 疆 4、学生答案可能有三种：1 直接认为是 ，或；2、分类讨论后检验；3、用一般式设为纳能力。例 1 变式题体现方程思想，由繁至简的化归思想培养学生从特殊到一般的数学思想方法和抽象概括能力。教学步骤教师活动 学生活动 设计意图三练习巩固反馈创新提出问题：
11、求适合下列条件的双曲线的标准方程并总结算法：焦点在 x 轴上，经过点2,315,2学生上台板演答案：1、 .练习完后，学生132yx讨论探究出：已知双曲线经过两点的情况下，将双曲线方程设为 求出 、 既避免了讨论又降低了方程组中未知数的次数，大大减少所需的运算。根据学生对知识的掌握，灵活安排。目的是尝试探究，深化概念，巩固创新教学步骤教师活动 学生活动 设计意图四例 2 （课本 106 页例 3）一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2s(1)问学生可能有二种答案：1：学生探究出的答案与课本相同。5联系实际数学建模(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知 A、B 两地相
12、距 800m，并且此时声速为 340 ms，求曲线的方程(1)教师投影引导学生分析题设和结论并提问：声速取定值，A 处听到爆炸声的时间比 B 处晚 2s,说明什么？(2) 求曲线方程 若没有坐标系一定要注意先建立直角坐标系，最后教师投影或板书出解题过程。点评：（2）利用两个不同的观测点得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增设一个观测点 ，利用 、 （或 、 ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置这是双曲线的一个重要应用即是：由声速及 A、B 两处听到爆炸声的时间差，可知
13、 A、B 两处与爆炸点的距离差为定值，因此爆炸点应位于以 A、B 为焦点的双曲线上 奎 屯王 新 敞新 疆 因为爆炸点离 A 处比离 B处更远，所以爆炸点应在靠近 B处的一支上2：靠近 B 处的一支双曲线上或线段 AB 的延长线上 （2）问:学生动手求出双曲线的方程为 。例 2 是数学建模题，强化学生“应用数学”的意识。教学步骤教师活动 学生活动 设计意图五再探定义探究创新对例 2 （课本例 3）探讨探讨 1、若 A、B 两地相距 680m，其余条件不变，曲线方程是什么？ 若学生给不出答案，老师引导学生回顾双曲线定义。 探讨 2、如果 A、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上教
14、师用几何画板验证。探讨 1、学生观察、实验、计算、交流、归纳、反思探讨出例2（1）问答案：靠近 B 处的一支双曲线上或线段 AB 的延长线上 探讨 2、爆炸点在线段 AB 的垂直平分线上巩固定义培养学生数学思维的缜密性，留给学生更多的思考和探索。教学步骤教师活动 学生活动 设计意图6六课堂小结教师引导学生一起总结本节课本课着重讲解了待定系数法，换元法及利用定义求双曲线的标准方程，学习了双曲线的一个重要应用。七 课后作业1、阅读作业：查阅资料，了解双曲线发展史；2.书面作业：课本 P108 习题 8.3第 3,6 题; 3、弹性作业：一动点 P(x,y)到两定点 A(-1,0),B(1,0)的距
15、离之差的绝对值为定值 a,求 P 点轨迹方程,并说明曲线的形状.作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则。弹性作业不作统一要求。八、板书设计：45 分钟为一课时8.3 双曲线及其标准方程（二）投 影屏 幕一.双曲线定义：平面内与两个定点F1,F2 的距离的差的绝对值等于正常数（小于|F1F2| ）的点的轨迹叫做双曲线。电脑投影：双曲线标准方程、焦点坐标及的关系cb、a二、求双曲线标准方程的两个步骤：1、定位 2、定量电脑投影：引例三、待定系数法求方程（一）例 1、解题步骤：1、设方程 2、代坐标 3、解方程组 4、求出 2b、a5、写出方程电脑投影解题过程（二） 、巩固练习电脑投影：1.例 1 变式题2、双曲线焦点在 x 轴上，经过点，2,35,求出标准方程。学生上黑板板演。电脑投影：小结已知双曲线经过两点，所求双曲线方程设为：，不必讨论且解二元一次方程组简捷迅速，应予掌握四、电脑投影例 2 的解题过程和本题小结。几何画板演示双曲线图形极其两个变化探究。五、课堂小结：电脑投影六、作业布置：电脑投影附：突发事件的处理：1、若电脑突然死机，换用实物投影仪；2、若时间紧张，可用变式题作为练习题，删掉第三个教学步骤；
