1、七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版第八章 圆锥曲线方程二 双曲线【考点阐述】双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质【考试要求】（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质【考题分类】（一）选择题（共 13 题）1.（福建卷理 11 文 12）双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,若 P 为其上21xyb一点，且|PF 1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.,33,解：如图，设 ， ，当 P 在右顶2PFm12(0点处 ，22()4cos54coscea ，1os1,
2、3e另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定 a 与 c 的关系。2.（海南宁夏卷文 2）双曲线 的焦距为（ ）210xyA. 3 B. 4 C. 3 D. 4 3【标准答案】 【试题解析】由双曲线方程得 ，于是 ，选22210,1abc2,c【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量 的关系与椭圆混淆，而错选,【备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高3.（湖南卷理 8）若双曲线 （a0,b0）上横坐标为 的点到右焦点的距离21xy32a大于它到左
3、准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ )【答案】B七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版【解析】 或2033,aexac250,e2e(舍去), 故选 B.1(,e4.（湖南卷文 10） 双曲线 的右支上存在一点，它到右焦点及左)0,(12bayx准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A B C D 1,2,)(,2121,)【答案】C【解析】200aexc20(1)aexc2(),ae1,2,12,而双曲线的离心率 故选.,e(1,5.（辽宁卷文 11）已知双
4、曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离29(0)ymx为 ，则 （ ）15mA1 B2 C3 D4答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。 取2 191(0),3ymxabm顶点 ,一条渐近线为1(0)330,x22|3|954.56.（全国卷理 9）设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（ ）a221()yaeA B C D(2)， (5)， 5， (25)，【答案】B【解析】在同一坐标系中作出 及 在 的图象，由图象知，xfsin)(1xgcos)(1,0当 ，即 时，得 ， ， 43xa21y221yMN【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问
5、题七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版7.（全国卷文 11）设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点ABC 120ABCAB，的双曲线的离心率为（ ）CA B C D2123131【答案】B【解析】由题意 ,所以 ，由双曲线的定义，有CcccA3260sin，aBa )1(232 231ae【高考考点】双曲线的有关性质，双曲线第一定义的应用8.（陕西卷理 8 文 9）双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，21xyab0b12F，过 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心1F30 M2Fx率为（ ）A B C
6、D6 3解：如图在 中，12RtMF121230,Fc，14cos30c tan3223ac e9.（四川卷文 11）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 为 的右支上一2:196xyC12,FPC点，且 ，则 的面积等于( )21PF12PF（） （） （） （）434896【解 1】：双曲线 中 2:96xyC3,5abc12,05,F 21PF12106PF作 边上的高 ，则 2A828AF 的面积为 故选 C12124七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版【解 2】：双曲线 中 2:196xyC3,45abc12,05,F设 ， 则由 得
7、00,Pxy， 21PF200xy又 为 的右支上一点 096xy20619 即22005161xx2058x解得 或 （舍去）00395220 14816695xy 的面积为 故选 B12PF120Fy【点评】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；【突破】：由题意准确画出图象，解法 1 利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法 2利用待定系数法求 点坐标，有较大的运算量；10.（浙江卷理 7 文 8）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则2byax双曲线的离心率是（A）3 （B）5 （C） （D）35解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。
8、依题不妨取双曲线的右准线 ，2axc则左焦点 到右准线的距离为 ，左焦点 到右准线的距离1F22acc1F为 ，依题 即 ，2ac2c223,ac25a双曲线的离心率 5.e11.（重庆卷理 8）已知双曲线 （ a0, b0）的一条渐近线为 y=kx(k0),离心21xyab率 e= ,则双曲线方程为5k七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版（A） =1 (B)2xa4y215xya(C) (D)21b2b解： ， 所以5ceka225bkacb24ab12.（重庆卷文 8）若双曲线 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则 p 的值为2
9、163xyp(A)2 (B)3 (C)4 (D)4 【答案】C【解析】本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质。双曲线的左焦点坐标为：，抛物线 的准线方程为 ，所以 ，解得：2(3,0)16p2ypx2px2316p，故选 C。413 （四川延考理 7 文 7）若点 到双曲线 的一条淅近线的距离为 ，(2,0)P21xyab2则双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2323解：设过一象限的渐近线倾斜角为 sin451k所以 ，因此 ，选 A。byxab2,ccae（二）填空题（共 5 题）1.（安徽卷理 14）已知双曲线 的离心率是 。则 21xyn3n解： ，离心率 ，所以222
10、,1,anbcab12cea4七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版2.（海南宁夏卷理 14）过双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双曲2196xy线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为 _解：双曲线的右顶点坐标 ，右焦点坐标 ，设一条渐近线方程为 ，(3,0)A(5,0)F43yx建立方程组 ，得交点纵坐标 ，从而245196yx321y125AFBS3.（江西卷文 14）已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，2(0,)xab3yx若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为 解析：234xy4.（山东卷文 1
11、3）已知圆 以圆 与坐标轴的交点分别作为2:6480CxyC双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆 2:6480xy得圆 与坐标轴的交点分别为20680,yx(),， ，则 所以双曲线的标准方程为2,41,acb214xy5.（上海春卷 7）已知 是双曲线 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为P219xya. 设 分别为双曲线的左、右焦点. 若 ，则 30xy12F、 23PF1解析：由题知 a=1,故 21|,| 5.（三）解答题（共 7 题）1.（湖北卷文 20）已知双曲线 的两个焦点为2:(0,)xyCab的曲线 C 上.:
12、(2,0):(,)(3,7)FP点（）求双曲线 C 的方程；（）记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，若OEF 的面积为 求直线 l 的方程,七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版解：() 解法 1：依题意，由 a2+b2=4，得双曲线方程为 （0a 24） ，1422yax将点（3， ）代入上式，得 .解得 a2=18（舍去）或 a22，7147922故所求双曲线方程为 .2yx解法 2：依题意得，双曲线的半焦距 c=2.2a=|PF1|PF 2|= ,2)7(23()7(3(22 a
13、2=2，b 2=c2a 2=2. 双曲线 C 的方程为 .1yx()解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得(1k 2)x24 kx6=0.直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, ,3,10)1(64)(,0122 ， kkkk( )(1, ).,3设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得 x1+x2= 于是,16,422kxk|EF|= 21 )()= |1|34(1 2221212 kxxk而原点 O 到直线 l 的距离 d ,2kS OEF = .|1|32|1|31|21 222 kkEFd 若 SOEF ，即 解得
14、k= ,0|3242k满足.故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y= 和x.2xy解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理，七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版得(1k 2)x24 kx60. 直线 l 与比曲线 C 相交于不同的两点 E、F， .3,10)1(64)(,0122 ， kkkk( )(1, ). ,3设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得|x1 x2| . |1|32|422121 kkx当 E、F 在同一支上时（如图 1 所示） ，SOEF |SOQF S OQ
15、E |= ；|2|221xOQxOQ当 E、F 在不同支上时（如图 2 所示） ，SOEF SOQF S OQE .|)|(|1 2121 综上得 SOEF ，于是|221x由|OQ | 2 及 式，得 SOEF .|32k若 SOEF 2 ，即 ,解得 k= ,满足.02|1|242故满足条件的直线 l 有两条，方程分别为 y= 和 y=x.2.（江西卷理 21）设点 在直线 上，过点 作双曲线0(,)Pxy(,01)xmP的两条切线 ，切点为 ，定点 .21xyAB、 A、 (,M（1）求证：三点 共线。M、 、七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部
16、word 版（2）过点 作直线 的垂线，垂足为 ，试求 的重心 所在曲线方程.A0xyNAMG证明：（1）设 ，由已知得到 ，且 ， ，12(,)(,)B120y21xy21xy设切线 的方程为： 由 得P11ykx2()kx2 211(1)()()0kx从而 ,解2 21444()0ykkyxk得 1xk因此 的方程为：PA1yx同理 的方程为：B2又 在 上，所以 ，0(,)my、 101ymx2021yx即点 都在直线 上12(,)Ax又 也在直线 上,所以三点 共线(,)M0yxAMB、 、（2）垂线 的方程为： ，N11由 得垂足 ，110yx(,)2xy设重心 (,)G所以 解得1
17、1()320xyxmy113941xymy由 可得 即 为重心 所在21x(3)(3)2xyx2()39xyG曲线方程3.（全国卷理 21 文 22）双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为O，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点已知 成12l， F1l12l， AB， OAB、 、等差数列，且 与 同向BAxOAByPMxmN七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版（）求双曲线的离心率；（）设 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程AB解：（）设 ， ，OmdABOmd由勾股定理可得： 22()()得： ， ，14d
18、tanbF4tanta3ABFO由倍角公式 ，解得 ,则离心率 2431ba1252e（）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立F()yxcb21xyab将 ， 代入，化简有2ab5c215804212114()4axxxb将数值代入，有 ,解得2235843b故所求的双曲线方程为 。21369xy4. （上海卷理 18）已知双曲线 ， 为 上的任意点。2: 4CPC（1）求证：点 到双曲线 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；P（2）设点 的坐标为 ，求 的最小值；A(3,0)|A【解析】 （1）设 是双曲线上任意一点，1xy该双曲的两条渐近线方程分别是 和 . 2 分20xyxy点 到两条渐
19、近线的距离分别是 和 ， 4 分1(,)Pxy1|512|它们的乘积是 .1|2|5y211|4|xxy点 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. 6 分P七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版（2）设的坐标为 ，则(,)xy8 分22|3PA11 分2()14x254()， 13 分|当 时， 的最小值为 ，25x2|PA45即 的最小值为 . 15 分|5.（上海卷文 20）已知双曲线 21xCy：（1）求双曲线 的渐近线方程；（2）已知点 的坐标为 设 是双曲线 上的点， 是点 关于原点的对称点M(01)， pQP记 求 的取值范围
20、；PQA（3）已知点 的坐标分别为 ， 为双曲线 上在第一象限DE， ， (21)(0)， ， ， ， ， C内的点记 为经过原点与点 的直线， 为 截直线 所得线段的长试将 表示lPsDEM ls为直线 的斜率 的函数k【解】 （1）所求渐近线方程为 .3 分0,022yxyx（2）设 P 的坐标为 ，则 Q 的坐标为 ， .4 分0,x,y0,1,1oMyxy7 分2203.的取值范围是 9 分0x(,1.（3）若 P 为双曲线 C 上第一象限内的点，则直线 的斜率 11 分l2,.k由计算可得，当 21(0,1;skk时当 15 分212, .ks时七彩教育网 http:/七彩教育网 全
21、国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版 s 表示为直线 的斜率 k 的函数是l.16 分2211,(0,.kk6.（天津卷理 21 文 22）已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 ，一条渐近线0,31F的方程是 .025yx（）求双曲线 C 的方程；（）若以 为斜率的直线 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M，N ，线段 MN 的kl垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围.281k本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分 14 分（）解：设
22、双曲线 的方程为 （ ） 由题设得C21xyab0,ab，解得 ，所以双曲线方程为 295ab245b2145xy（）解：设直线 的方程为 （ ） 点 ， 的坐标满足lykxm01(,)M2(,)Nxy方程组 2145将式代入式，得 ，整理得 22()xkm22(54)840kxm此方程有两个一等实根，于是 ，2504且 整理得 22(8)4()kmk22540k由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足MN0(,)xy， 120254xk0254myxk从而线段 的垂直平分线方程为 214()5kx七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版此直
23、线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， 由题设可得xy29(,0)54km29(,)54k整理得 ， 221981|54kmk|将上式代入式得 ，整理得 ，2(54)0|k22(45)|5)0kk0k解得 或 |2|4k所以 的取值范围是 k55,)(,0)(,)(,)24(6.（重庆卷文 21）如题（21）图，M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P 满足：2.PN（）求点 P 的轨迹方程;（）设 d 为点 P 到直线 l： 的距离，若 ,求 的值.12x2PMNPd【解析】本小题主要考查双曲线的第一定义、第二定义及转化与化归的数学思想，同时考查了学生的运算能力。【答案】 （I）由
24、双曲线的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，实轴长 2a=2 的双曲线.因此半焦距 c=2，实半轴 a=1，从而虚半轴 b= ,3所以双曲线的方程为213yx(II)解法一：由（I）及答（21）图，易知|PN| 1,因|PM|=2|PN| 2, 知|PM|PN|,故 P 为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. 将代入，得 2|PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|= ,所以1717,44舍 去|PN|= .174七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版因为双曲线的离心率 e= =2,直线 l:x= 是双曲线的右准线，故 =e=2,ca12|PNd所以 d= |PN|,因此122|4|17PMPNd解法二：设 P（ x,y） ，因|PN| 1 知|PM|=2|PN|2 2|PN|PN|,故 P 在双曲线右支上，所以 x 1.由双曲线方程有 y2=3x2-3.因此 222|()()3(1)Mx| 4.PNxyx从而由|PM|=2|PN| 2 得2x+1=2(4x2-4x+1)，即 8x2-10x+1=0.所以 x= (舍去 ).51785178有|PM|=2x+1= 94d=x- = .1278故 |917.4PMd
