1、 2.61 双曲线的性质【学习目标】1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线 （a 0， b0）的简单几何性质21xyb范围 221xa即或双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=-a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x-a 或 xa.对称性对于双曲线标准方程 （a0，b0） ，把 x 换成-x，或把 y 换成-y，或把 x、y 同时换成-x 、-21xyy，方程都不变，所以双曲线 （a0，b0）是以 x 轴、y
2、 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点2为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。顶点双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线 （a 0 ，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为21xyA1（-a， 0） ，A 2（a，0） ，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段 A1A2 叫作双曲线的实轴；设 B1（0，-b ） ，B 2（0，b）为 y 轴上的两个点，则线段B1B2 叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A 1A2|=2a，|B 1B2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶
3、点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 e 表示，记作 。2cea因为 ca0，所以双曲线的离心率 。1cea由 c2=a2+b2，可得 ，所以 决定双曲线的开口大小， 越大，e 也越222()bcababa大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线 ，所以离心率 。b2e渐近线经过点 A2、A 1 作 y 轴的平行线 x=a，经过点 B1、B 2 作 x 轴的平行线 y=b，四条直线围成一个矩形（如图） ，矩形的两条对角线所在直线的方程是 。
4、bya我们把直线 叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。xaby2|MN220bxa要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程21xyab(0,)b21yxab(0,)b图形焦点 ，1(,0)Fc2(,)，1(0,)Fc2(,)焦距 2|ab2|ab范围 ，x或 yR，y或 xR对称性关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a(0,)a轴 实轴长= ，虚轴长= a2b离心率(1)ce性质渐近线方程xabyayxb要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y 2 的系数，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如
5、果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上。对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要点三、双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为 ，则其渐近线方程为12byax 02byax0byaxxab已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为 ，则可设双曲线方程为 ，根据已知条件，求出 即可。0mxny22mxny（3）与双曲线 有公共渐近线的双曲线12byax与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程可设为 （ ，焦点在 轴上，22(
6、0)xyabx，焦点在 y 轴上）0（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为 ，因此等轴双曲线可设为 .yx2(0)xy要点四、双曲线中 a,b,c 的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：cb0，ca0，且c2=b2+a2。双曲线 ，如图：21xyb(0,)ab（1）实轴长 ，虚轴长 ,焦距 ，12|Aa2b12|Fc（2）离心率： ；21212|1PFAbe eMKa（3）顶点到焦点的距离： ， ；1c121AF
7、c（4） 中结合定义 与余弦定理，将有关线段 、 、 和角结合起21a2 1P2F21来.（5）与焦点三角形 有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理） 、三21FP角形面积公式 相结合的方法进行计算与解题，将有关线段 、 、12 1sinFSP1PF2，有关角 结合起来，建立 、 之间的关系. 122F12P【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质例 1求双曲线 的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.26914xy【解析】 把方程化为标准方程 ，由此可知实半轴长 ，虚半轴长 ，2196yx3a4b25cab双曲线的实轴长 ，虚轴长 ，顶点坐标 ，焦点
8、坐标 ，26a28b(0,3)(,(0,5)(,离心率 ，渐近线方程为3ce34yx【总结升华】在几何性质的讨论中要注意 a 和 2a，b 和 2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示. 举一反三：【变式 1】双曲线 mx2y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 等于( )A B4 C4 D. 14【答案】A【变式 2】已知双曲线 8kx2ky 2=2 的一个焦点为 ，则 k 的值等于（ ）3(0,)2A2 B1 C1 D 3【答案】C类型二：双曲线的渐近线例 2.已知双曲线方程，求渐近线方程。（1） ；（2） 2196xy2-196xy【解析】（1）双曲线 的渐
9、近线方程为：2196xy20916xy即 43（2）双曲线 的渐近线方程为：2-196xy20916xy即 43【总结升华】双曲线 的渐近线方程为 ，双曲线 的渐近线21(0,)xyabbyxa21yxb方程为 ，即 ；若双曲线的方程为 （ ，焦点在 轴上，bxyaaxb2xymn0n、 ， x，焦点在 y 轴上） ，则其渐近线方程为 .020ym举一反三：【变式 1】求下列双曲线方程的渐近线方程（1） ；（2） ；（3）263xy28xy27yx【答案】（1） ；（2） ；（3）【变式 2】(2015 北京)已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 a_21(0)xya30xy【答案】 3【解析】
10、渐进线为 ，有 ，由双曲线的方程 得 b=1，且 a0所0xy3ba21xya以 3a【变式】 （2016 北京文）已知双曲线21xyab（a0，b0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦 点为（ 5 ,0） ，则 a=_；b=_.【答案】依题意有 ，结合 c2=a2+b2，解得 a=1，b=2。5ca例 3. 根据下列条件，求双曲线方程。（1) 与双曲线 有共同的渐近线，且过点 ；2196xy(3,2)（2）一渐近线方程为 ，且双曲线过点308,6M【解析】 （1）解法一：当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为21xyab由题意，得 ，解得 ，2243()1ba294a2b所以双曲线的方程为
11、249xy当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为21xab由题意，得 ，解得 ， （舍去）2243()(1ab2429综上所得，双曲线的方程为249xy解法二：设所求双曲线方程为 （ ） ，2160将点 代入得 ，(3,2)4所以双曲线方程为 即2916xy2194xy（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是 .03故设双曲线方程为 ，249xy点 在双曲线上，(8,63)M ，解得 ，22494所求双曲线方程为 .2163xy【总结升华】求双曲线的方程，关键是求 、 ，在解题过程中应熟悉各元素（ 、 、 、 及准线）ababce之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程 ，可设双
12、曲线方程为0axby（ ）.22axby0举一反三：【变式 1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为 的双曲线方程是（ ）23yxA. B. 25364xy251364xyC. D.211828【答案】D【变式 2】过点(2，-2) 且与双曲线 有公共渐近线的双曲线是 ( )12yxA. B. 14xy4C. D. 212yx【答案】A 【变式 3】设双曲线 的渐近线方程为 ，则 a的值为21(0)9xya320xyA4 B3 C2 D1【答案】C【变式 4】双曲线 与 有相同的（ ）21xyab2(0)xyabA实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对【答案】C类型三：求双曲线的离心率
13、或离心率的取值范围例 4. 已知 是双曲线 的左、右焦点 ,过 且垂直于 轴的直线与双曲线的左支21,F21(0)xyab1Fx交于 A、B 两点,若 是正三角形 ,求双曲线的离心率。2【解析】 ， 是正三角形，1|c2AB ，13|2tan0Fc2243|tan30cosFc ，214|A 3cea【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、c 满足的关系式，从而求出 cea举一反三：【变式 1】(1) 已知双曲线 的离心率 ，21(0,)xyab23e过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点间的距离为 ，求双曲线的方程.(2) 求过
14、点(-1,3)，且和双曲线 有共同渐近线的双曲线方程.2149xy【答案】 （1）213xy（2） 47y【变式 2】(2015 山东文) 过双曲线 C：21xya(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为 .【答案】 3【解析】双曲线 的右焦点为（c，0）.不妨设所作直线与双曲线的渐近线 平行，其方21xya byxa程为 ，代入 求得点 P 的横坐标为 ，由 ，得()byc2 2acx2c，解之得 （舍去，因为离心率 ） ，故双曲线的离心率为 .2()410ca3,2ca123【变式 3】已知 a、b、c 分别为双曲线
15、的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程 ax2bxc0 无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A10，b0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的 3 倍，则双曲线的21xy渐近线方程为( )Ay x By x2Cy x Dy3x246 （2016 天津文）已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线)0,(12ba52垂直，则双曲线的方程为（ ）02yxAB142142yxC D5302yx 2035二、填空题7已知双曲线 C： (a0，b0)的实轴长为 2，离心率为 2，则双曲线 C 的焦点坐标是21xy_8椭圆 与双曲线 焦点相同，则 a_.24a2y9 （2015 春 黑龙江
16、期末改编）与双曲线 有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为 214x10 （2016 浙江文）设双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F 2若点 P 在双曲线上，且23yF1PF2 为锐角三角形，则 |PF1|+|PF2|的取值范围是_三、解答题11.设 F1，F 2 分别为双曲线 (a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足21xy，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程2P12设双曲线 =1（00，b0)过点 ，且点 A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为 .21xy(14,5)A 43求此双曲线方程14已知双曲线 的两个焦点分别为 ，点
17、 P 在双曲线上且满足 ，求24xy12F、 1290FP的面积.12FP15如下图，已知 F1，F 2 是双曲线 (a0，b0)的两焦点，以线段 F1F2 为边作正三角形21xyMF1F2，若边 MF1 的中点在双曲线上，求双曲线的离心率【答案与解析】1 【答案】：C【解析】由双曲线右焦点为 F2（5，0） ，则 c=5， ，a=454ceab 2=c2a 2=9，所以双曲线方程为 1962yx2 【答案】：B【解析】：由双曲线的定义得：|PF 1|-|PF2|=2a,(不妨设该点在右支上)|PF1|+|PF2|=3b,所以|PF 1|= ，23,|abPF两式相乘得 。结合 得 ，94b2
18、2cab53c故 ,故选 B。53e3 【答案】： D【解析】： 设双曲线方程为 2(0)yx焦点 (0,4), 又 ,0,2(43)4. 【答案】：B【解析】：因为|PF 2|=|F2F1|， P 点满足 =1， ,2byac2bca ,即 2ac=b2=c2-a2,2bca ,故 e=1+ .1e5. 【答案】： B【解析】：如图，分别过双曲线的右顶点 A，右焦点 F 作它的渐近线的垂线，B、C 分别为垂足，则OBAOCF， ，13OABFC ， ，ac2b故渐近线方程为： .yx6. 【答案】：A【解析】由题意得 ， ， ，选 A 5c12ba2114xyb7. 【答案】：(2,0)【解
19、析】：由题意得：a1，e 2，所以 c2，又由标准方程可得焦点在 x 轴上，所以焦点坐标为ca(2,0)8 【答案】： 62【解析】 ； 由题意得 4a 2a 21，2a 23，a .69 【答案】：23xy【解析】设双曲线方程为 ，24k因为双曲线过点（2,2），所以 k=3,所以双曲线的方程为 。213xy10. 【答案】 (27,8)【解析】由已知 a=1， ，c =2，则 ，设 P（x，y）是双曲线上任一点，由对称性不妨设3b2ceaP 在右支上，则 1x2，|PF 1|=2x+1，|PF 2|=2x1，F 1PF2 为锐角，则|PF 1|2+|PF2|2|F 1F2|2，即(2x+1
20、) 2+(2x1) 24 2，解得 ，所以 ，7x2x12|4(7,8)x11. 【解析】：过 F2 作 F2APF 1 于 A，由题意知 F2A2a， 2c，则 2b， 4b，而11AF1P 2a，1PF4b2c2a，c2ba，c2(2b a) 2，a2b 24b 24aba 2，解得 ，43b双曲线的渐近线方程为.3yx12.【解析】： 由已知， 的方程为 ay+bx-ab=0, l原点到 的距离为 ，则有 , l4c234abc又 c2=a2+b2, ，两边平方，得 16a2(c2-a2)=3c4.23ab两边同除以 a4 并整理得 3e4-16e2+16=0，e 2=4 或 .3 0a
21、b, , ,得 ,12221abe 2=4，故 e=2.13.【解析】： 双曲线 的两渐近线的方程为 bxay0.21xyab点 A 到两渐近线的距离分别为，12|45|bda22|45ad已知 d1d2 ，故 ()3|3b又 A 在双曲线上，则14b25a 2a 2b2()()代入() ，得 3a2b24a 24b 2()联立() 、()解得 b22，a 24.故所求双曲线方程为 .14xy14. 【解析】：解法一： 由双曲线的方程知 a=2, b=1, .5c因此 .12|5Fc由于双曲线是对称图形，如图所示，设 P 点坐标为(x, )，142x由已知 F1PF 2P， , 即 ，1FPk221415x得 ，245x1221 1| 5FPxS解法二：(|PF 1|-|PF2|)2=4a2=16,又由勾股定理得|PF 1|2+|PF1|2=(2c)2=20,|PF 1|PF2|= |PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2= (20-16)=2, .12FPS15.【解析】：设 MF1 的中点为 P，在 RtPMF 2 中，|PF 2|MF 2|sin602c c.又由双曲线的定3义得| PF2| PF1|2a，所以 ， .32c31ea
