1、g3.1080 双曲线一、知识要点1.双曲线的定义(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点 F1、F 2 的距离差的绝对值等于常数2a(01)2.双曲线的标准方程(1)焦点在 x 轴上 : ,焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0),)0,(12bay.2bac(2)焦点在 y 轴上 : ,焦点坐标为 F1(0,-c),F2(0,c). )0,(12bax.2bac3.双曲线简单几何性质:以标准方程 为例.)0,(12bayx(1)范围:|x|a;即 xa,x -a.(2)对称性:对称轴为 x=0,y=0;对称中心为 O(0,0).(3)顶点:A 1(-a,0),A2(a,0)为双曲线的两个
2、顶点 ;线段 A1A2 叫双曲线的实轴,B1B2 叫双曲线的虚轴 ,其中 B1(0,b),B2(0,b).|A1A2|=2a,|B1B2|=2b.(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为 y= x;ab(5)准线:x= ;ca2(6)离心率:e= ,e1.4.等轴双曲线:x 2-y2=a2,实轴长等于虚轴长 ,其渐近线方程为 y=x,离心率e=二、基本训练1平面内有两个定点 12,F和一动点 M，设命题甲， 是定值，12|FM命题乙：点 M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）()A充分但不必要条件 ()B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 1
3、2,e，则 应满足的关系是12,e（ ）()A ()B21 21eC21D21e3直线 与双曲线 有公共点时， 的取值范围yax(1)(0)xyxa是（ ）()A20()B32C332a ()D以上都不正确4已知 ， 是曲线 上一点，当(,1),)FP210xy取最小值时， 的坐标是_ _，2|PA(2,)最小值是 |F5如果 12,分别是双曲线 的左、右焦点，AB 是双曲线左支1962yx上过点 F1 的弦，且 ，则 的周长是_|AB2F三、例题分析例 1 (05 重庆卷) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为。0,3(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 若直线 l：
4、 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且2kxy(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围。2BA例 2 已知双曲线 ( )过点 A(4 ,4).(1)求实轴、1cot6tan422yx3虚轴的长；(2)求离心率；(3) 求顶点坐标；(4)求点 A 的焦半径. 例 3.过双曲线 的右焦点作倾角为 45的弦，求弦 AB 的中点 C 到192右焦点 F 的距离，并求弦 AB 的长.例 4.已知双曲线 的离心率 e1+ ,左,右焦点分别为)0,(2bayx 2F1,F2,左准线为 l1,能否在双曲线的左支上找到一点 P,使得|PF 1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF 2|的等比中项?例
5、 5 是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由（1）渐近线方程为 ， （2）点 到双曲线上动点20,xy(5,0)A的距离最小值为 P6四、作业 同步练习 g3.1080 双曲线1（05 天津卷）设双曲线以椭圆 长轴的两个端点为焦点，其准线1925yx过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）A B C D2342432 共轭双曲线的离心率分别为 e1 与 e2，则 e1 与 e2 的关系为： （ ）A、e 1=e2 B、e 1e2=1 C、 D、121e21e3 若方程 表示双曲线，则实数 k 的取值范围是： 152|kykx（ ）A、 B、 C、 D、)
6、,(,()5,2(),5()2,(,5)2,4（05 江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：设 A、B 为两个定点，k 为非零常数， ，则动点 P 的|PABk轨迹为双曲线；过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB，O 为坐标原点，若则动点 P 的轨迹为椭圆；1(),2OP方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；05x双曲线 有相同的焦点 .1351922yxy与 椭 圆其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）5（05 上海）若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，x(10,)则双曲线的方程是_。6（05 山东卷）设双曲线 的右焦点为 ，右准线 与21(0,)xyabFl两条渐
7、近线交于 P、 两点，如果 是直角三角形，则双曲线的离心率QPF_e7双曲线 上一点 的两条焦半径夹角为 ， 为焦点，则1625yx 6012,F的面积为_1PF8与圆 及圆 都外切的圆的圆心轨迹方程为2(3)1xy2(3)9xy_9过点 作直线 ，如果它与双曲线 有且只有一个公共点，(0,3)l 1342yx则直线 的条数是_.l10 一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为 ，一双曲线和3这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小 4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为 7:3，求椭圆和双曲线的方程11 设双曲线 两焦点 ，点 为双曲线右支上除顶12byax12(,0)(,FcP点外的任一点， ，求证： 1221,Ptancot2a12已知双曲线 的两个焦点为 ，实半轴长与虚半轴长的乘积为 ，C, 3直线 过点 ，且与线段 的夹角为 ， ，直线 与线段l2F12F1tan2l的垂直平分线的交点为 ，线段 与双曲线的交点为 ，且12 P2Q，求双曲线方程PQ
