1、限时作业 45 双曲线 一、选择题1.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点 P 的轨迹是( ).A.双曲线 B.双曲线左边一支C.双曲线右边一支 D.一条射线2.已知双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x,若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线的方程为( ).A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=13.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A,D 为双曲线的两个焦点,其余4 个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是( ). A.+1B.-1C.D.4.设圆 C 的圆心与双曲线-=1(a0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线 l:x-
2、y=0 被圆 C 截得的弦长等于 2,则 a 的值为( ).A. B. C.2 D.35.过双曲线-=1(a0,b0)的右焦点 F 作圆 x2+y2=a2的切线 FM(切点为M),交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点,则该双曲线的渐近线方程为( ).A.y=x B.y=xC.y=x D.y=2x6.双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(1,2)在“上”区域内,则双曲线离心率 e 的取值范围是( ).A.(1, B.(1,)C.(1,2 D.(1,2)二、填空题7.已知双曲线 C:-=1(m0)的离心率为 2,则该双曲线的渐近
3、线的斜率是 . 8.双曲线-=1 的右焦点到渐近线的距离是 . 9.已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右顶点分别是 A1,A2,M 是双曲线上任意一点,若直线 MA1,MA2的斜率之积等于 2,则该双曲线的离心率是 .三、解答题10.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)求F 1MF2的面积.11.若动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,且与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.12.是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方
4、程;若不存在,说明理由.(1)渐近线方程为 x2y=0;(2)点 A(5,0)到双曲线上的动点 P 的距离最小值为.#参考答案一、选择题1.C 2.A 3.A 4.A 5.A 6.B 解析:由题知,双曲线的渐近线方程为 y=x,因为点(1,2)在“上”区域内,所以1,所以双曲线离心率 e 的取值范围是(1,).二、填空题7. 8. 9. 解析:设点 M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0),则直线 MA1的斜率是,直线 MA2的斜率是,直线 MA1,MA2的斜率之积是=,故=2,故该双曲线的离心率 e=.三、解答题10.(1)解:因为 e=,所以可设双曲线方程为 x2-y2=.因为双
5、曲线过点(4,-),所以 16-10=,即 =6.所以双曲线方程为 x2-y2=6.(2)证明:由(1)可知 a=b=,所以 c=2.所以 F1(-2,0),F2(2,0).所以=,=,=-.因为点(3,m)在双曲线上,所以 9-m2=6,即 m2=3.故=-1,所以 MF1MF 2.所以=0.(3)解:F 1MF2的底边长|F 1F2|=4,F 1MF2的高 h=|m|=,所以=6.11.解:如图所示,设动圆 M 的半径长为 r,则由已知|MC 1|=r+,|MC2|=r-,|MC 1|-|MC2|=2.又 C1(-4,0),C2(4,0),|C 1C2|=8.24,即 b2,当 x=2b 时,|AP|min=|2b-5|=,b=,此时,存在双曲线,方程为-=1.情形二:若双曲线焦点在 y 轴上,则可设其方程为-=1(xR).|AP|=.xR,当 x=4 时,|AP| min=.b 2=1.双曲线方程为 y2-=1.综上可知存在双曲线,方程为-=1 或 y2-=1.
