1、第 8 模块 第 7 节知能演练一、选择题1已知 M(2,0)、N (2,0)，|PM |PN|3，则动点 P 的轨迹是( )A双曲线 B双曲线左边一支C双曲线右边一支 D一条射线解析：|PM| | PN|3|PN|，动点 P 的轨迹为双曲线的右支答案：C2已知双曲线的两个焦点为 F1( ，0)、F 2( ，0) ，M 是此双曲线上的一点，且满10 10足 0，| | |2，则该双曲线的方程是MF1 MF2 MF1 MF2 ( )A. y 21 Bx 2 1x29 y29C. 1 D. 1x23 y27 x27 y23解析：由 0，可知 .可设| |t 1，| |t 2，则 t1t22.MF1
2、 MF2 MF1 MF2 MF1 MF2 在MF 1F2 中， t t 40，21 2|t 1t 2| 62a.t21 t2 2t1t2 40 4a3.所求双曲线方程为 y 21.x29答案：A3已知双曲线 1(mn0) 的离心率为 2，有一个焦点恰好是抛物线 y24x 的焦点，x2m y2n则此双曲线的渐近线方程是( )A. xy0 Bx y03 3C3xy0 Dx3y0解析：抛物线 y24x 的焦点为(1,0)mn1.又双曲线的离心率为 2， 2.1mm ，n .14 34双曲线的方程为 4x2 1.4y23其渐近线方程为 xy0.故选 A.3答案：A4(2008福建高考)双曲线 1(a0
3、，b0)的两个焦点为 F1、F 2，若 P 为其上一点，x2a2 y2b2且|PF 1| 2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围为( )A(1,3) B(1,3C(3，) D3 ，)解析：如右图，设|PF 2|m， F 1PF2(00，b0)，x2a2 y2b2F1(c,0)，F 2(c,0)，在PF 1F2 中，由余弦定理，得|F1F2|2 |PF1|2 |PF2|22|PF1|PF2|cos3(| PF1|PF 2|)2| PF1|PF2|，即 4c24a 2|PF 1|PF2|.又SPF 1F2 2 ，3 |PF1|PF2|sin 2 ，12 3 3|PF 1|PF2| 8,4c24a
4、 28，即 b22.又e 2，a 2 ，ca 23所求双曲线的方程为 1.3x22 y22高考模拟预测1(2009宁夏、海南高考)双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为x24 y212( )A2 B23C. D13解析：双曲线 1 的焦点为(4,0)、(4,0) 渐近线方程为 y x.由双曲线的对称x24 y212 3性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等d 2 .|43 0|3 1 3答案：A2(2009四川高考)已知双曲线 1( b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，其一条渐近x22 y2b2线方程为 yx，点 P( ，y 0)在该双曲线上，则 3 PF1 PF2 ( )A12 B2C0 D
5、4解析：由渐近线方程 yx 得 b ，点 P( ，y 0)代入 1 中得 y01.不妨设 P(2 3x22 y2b2， 1)，F 1(2,0)，F 2(2,0)， (2 ，1)(2 ，1)3410.3 PF1 PF2 3 3答案：C3(2009辽宁)已知 F 是双曲线 1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，x24 y212则|PF| |PA|的最小值为 _解析：设右焦点为 F1，依题意，|PF| PF1|4， |PF|PA| PF1|4| PA|PF1|PA |4 |AF1|45 49.答案：94(2009湖南高考)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，
6、有一个内角为 60，则双曲线 C 的离心率为_解析：如下图，cb，B 1F1B260 ，B 1F1O30，在B 1OF1 中， tan30， ，bc bc 33 ，1 ，c2 a2c2 13 a2c2 13 a2c2 23e 2 ，e .c2a2 32 62答案：625(2009山东泰安模拟)已知双曲线 x22y 22 的左、右两个焦点为 F1、F 2，动点 P 满足|PF 1| |PF2| 4.(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；(2)设 D( ，0)，过 F2 且不垂直于坐标轴的动直线 l 交轨迹 E 于 A、B 两点，若以32DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形，求直线 l 的方程解：
7、(1)双曲线方程可化为 y 21，则| F1F2|x222 ， |PF 1| |PF2|4| F1F2|，所以 P 点的轨迹 E 为以 F1、F 2 为焦点，长轴长为 4 的椭3圆，故椭圆方程为 y 21.x24(2)设 l 的方程为 yk (x )，k0，代入椭圆方程可得(14k 2)3x28 k2x12 k240，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，3则 x1x 2 ，y 1y 2k(x 1x 22 ) .83k21 4k2 3 23k1 4k2以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形，( ) .DA DB AB (x 1 ，y 1)(x 2 ，y 2)(x 1x 2 ，y 1y
8、 2)( ， )，DA DB 32 32 3 83k21 4k2 3 23k21 4k2的方向向量为(1 ，k)，( ) 0，AB DA DB AB 0，解得 k ，l 的方程为 y (x )83k21 4k2 3 23k21 4k2 22 22 3备选精题6已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( ，0)3(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线：ykxm(k 0， m0) 与双曲线 C 交于不同的两点 M、N，且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0，1) ，求实数 m 的取值范围解：(1)设双曲线方程为 1( a0，b0)x2a2 y2b2由已知得 a ，c 2.3又
9、a2b 2c 2，得 b21.故双曲线 C 的方程为 y 21.x23(2)联立Error!整理得(13k 2)x26kmx3m 230.直线与双曲线有两个不同的交点，Error! ，可得 m23k21 且 k2 13设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，MN 的中点为 B(x0，y 0)则 x1x 2 ，x 0 ，6km1 3k2 x1 x22 3km1 3k2y0kx 0 m .m1 3k2由题意，ABMN，k AB (k0 ，m0)m1 3k2 13km1 3k2 1k整理得 3k24m1将代入，得 m24m0，m 4.又 3k24m10( k0)，即 m .14 m 的取值范围是( ，0)(4，)14
