1、13 草坪浇灌系统最优设置摘要: 草坪浇灌系统设置是一个最优化问提. 首先对模型进行简化 , 将平面中喷头的设置问题简化为小区域内三个喷头的设置问题. 将三个喷头作为三角形的顶点,以该三角形的最大面积为目标函数, 结合相关约束条件构造出一个非线性规划模型, 运用数学软件寻找出最优值, 解决了小区域草坪覆盖问题的最优设置, 并讨论了小区域的最优设置对大区域适用性,最后的得出了将喷头放置在正三角形格点上是草坪浇灌系统的最优设置. 计算得出的饿有效利用率是 82.7%,关键词: 非线性规划; 优化设置; 浇灌系统中图分类号: 0224 文献标识码: A 文章编号: 10075348 (2003) 增
2、 0147031 问题的提出学校或社区的草坪常常安装着一些旋转喷头进行浇灌, 每一个喷头可以使其为圆心的一个圆域的草坪得到浇灌. 喷头浇灌存在着不均匀性, 如有的地方浇不到水.对于给定的草坪面积以及喷头圆域的大小,人们常把喷头放在正方形格点上来覆盖草坪. 这一方案不是最优的.试设计喷头放置方案, 使所有圆域覆盖草坪, 且重叠部分最少(或喷头最少), 并给出方案最优性的证明.2 模型的假使(1) 草坪面积 S 远大于, 可以将其看作一个平面而不必考虑其具体形状.(2) 喷头浇灌面积为一半径 r 的圆域.(3) 每个喷头在其浇灌的区域内浇水是均匀的.(4) 草坪每一处的所需浇水量原则上是一样的.3
3、 问题的分析本题的目的是要设计一种喷头放置方案, 使所有圆域覆盖草坪, 且重叠部分最少或喷头最少. 把喷头的设置看成是分布在平面上的离散点, 可以将相互最接近的三个点作为某个三角形的三个顶点(对于离散点分布在一条直线上的特殊情况不予考虑), 那么平面就可看成是这一个三角形组成的, 而喷头就放置在这些三角形的顶点处. 要使覆盖平面的喷头数目最少,即是要使三角形的数目最少, 也就是要使每个三角形的面积尽量大. 于是问题就转化为求以三个喷头为顶点的最大三角形, 同时需证明用该三角形就可以覆盖整个平面.4 模型的建立求解定义:选定平面中的某两个离散点 A 和 B,使 A 到 B 的距离不大于第三点到
4、A 或 B 的距No.1 韶关学院学生数学建模论文集 第一期（2002 年 10 月）14 离,如果平面中存在另一离散点 C, 使 ABC 的外接圆半径达到最小 , 就说点 A, B, C 为相互最接近的三个点. 定理 1: 取平面上不在同一直线的三个点 A, B, C, 作其外接圆 O,设圆 O 的半径为 R, 在圆 O 中取一点 D, 使 DAAB, DBAB, 那么 ABC 的外接圆的半径 rR.证明: 构造点 A, B, C, 作其外接圆 O, 在圆 O 中取一点 D, DA AB, DB AB(A, B, D形成相互最接近的三个点). 接连 AD 并延长 AD 交圆于 E 点, 作圆
5、 O 的弦 AB, AE 的垂直平分线 MO, NO, 作 AD 的垂直平分线 P 交直线 AE ,MO 于 P, ,根据外接圆的性质，点就是 ABD 的外接圆圆心(如图 1).当 DA=AB 时, 如果 D 在圆周上, 此时 达到最大， 刚好在的位置上；1如果在上，此时 达到最小， 刚好在等边三角形的重心2上当 时，点 在与 之间移动“21 “， 垂直平分，垂直平分 ON,APANP ，既 r. 证毕定理：在被半径为 r 的圆域覆盖的平面上，相互最接近的三个圆心的外接圆半径r证明：如图，将各个圆域的圆心看作离散点，取平面上两点和，使和之间的距离不大于第三点到或的距离因为是离最近的点，只有当r
6、 时圆与圆相交于点，r，以为圆心作半径为 r 圆，设圆覆盖了点处未被覆盖的区域，那么圆心必须在圆内，且，由定理可知，ABC15 的外接圆半径r，所以在圆 C 中某个位置可使达到最小，由相互最接近的定义可知，此时圆心，构成相互最接近的三点对于相互最接近的三个喷头，组成的三角形 ，可以做出它的外接圆圆心，由定理 2 可知 O 的半径 R 应满足r.如图 3,记ABO= ,ACO= ,CBO= 由 OA=OB=OC=R,三角形内角和为 ,可得:2 +2 +2 =即 + + = /2作点 O 到 AB 的垂线,垂点为 P,对于等腰 ABO,有:AP=AB/2=R cos( )OP=R sin( )所以
7、= cos( ) sin( )ABOS2R同理,可求得:= cos( ) sin( )ABO2= cos( ) sin( )SR对于 ABC,有:= + +ABCOBCAOS即图 4ABCP图 3ONo.1 韶关学院学生数学建模论文集 第一期（2002 年 10 月）16 = (cos( ) sin( )+cos( ) sin( )+cos( ) sin( ) 构造如下BCOS2R模型:max= (cos( ) sin( )+cos( ) sin( )+cos( ) sin( ) s.t.BCOS2(1)00, 0, 0 注 (2) 式中的 r 可以用单位长度 1 代替.用数学软件编程求解,可
8、得当 = = = /6 时, 达到最大,即 为边长ABCSABCr 的正三角形,也既是三个喷头间的相对位置如该正三角形的三个顶点时,能达到最3优设置.下面,证明多个这样的正三角形能否完成覆盖平面.如图 4 可以在平面上构造两组角度互成 /3 的平行线集 , , , 中平行的间距是 1.5r,根据平行线基本性质,可以构造另1l2l外一个平行线集 , 中的平行线的间距也为 1.5r,并且 中的平行线都经过 , 的相交3 3l1l2点.容易求得, , , 相交而成的交点也形成了边长为 r 的正三角形,由于直线无限延1l2伸的性质,所以,平面能由无数个正三角形覆盖5 喷头利用率的计算由于喷头的饿设置是
9、正三角形格点上,对于给定面积为 S 的草坪(S 远大于 ，可以将2rS 看作一个平面)，正三角形网点在平面上构成一个图 G（V，E） ，有喷头数 m= ,三角形V边数 n= ,易得 6m=2n，根据欧拉公式，G 中域的个数 d=m-n+2,正三角形面积为E3 /4，可得三角形个数 4S/3 每个三角形是图 G 中的一个域，所以有 4S/32r32r 3等于 d-1（图 G 中除无限域外的其他域） 。设喷头的灌溉利用率为 P，有 P=S/m .所2r以，列出方程组求解： 13/4%0/262drSrmSpn解此方程组，可得 P=82.7%，喷头的利用率很高，结果令人满意。17 对于喷头的覆盖面积
10、，已经求得了较优的喷头设置方法。如果要提高水资源的利用率和草坪浇灌的均匀性，由于喷头喷水所覆盖的圆域其边缘大部分地带是重复浇水，喷头水量过多，可以通过减少喷头在边缘地带喷水的水量来实现优化。6 模型的评价与推广该模型适用与不考虑草坪具体形状的情况下的喷头的放置，得出了将喷头放置在正三角形结点上比放置在正方形结点上更为合理。对于给定形状的草坪，则还需要考虑实际形状来放置喷头，在这种情况下该模型也具有很好的借签作用。恰当地利用图论的知识，将大区域的覆盖问题转化为小区域的覆盖问题，既简单明了又简化了模型。建模求出了草坪的最优覆盖问题，且易于把结果推广到多个领域，并便于在实际中应用和操作。(罗小珠编辑
11、)txtyxdtyHdtu15.0104解得 75.49tx 67.83故当某人承包养殖场 5 年，每月按强度 E0.1（1/月）捕捞时，每月投入 1831.67 元养殖费，5 年的总利润将最大8 模型得评价与推广为了研究虾业的产量，效益及捕捞过度问题，首先在对虾得自然增长和捕捞及死亡情况的合理假设下，建立虾量的基本方程（1） ，并利用平衡点稳定性分析确定了保持虾量稳定得条件，产量，效益和捕捞过度 3 个模型在稳定的前提下步步深入，数学推导过程十分简单，却得到了在定性关系上与实际符合的结果。本数学模型时适合一种再生资源，特别时渔业的养殖捕捞，再生资源要注意适度开发，不能为了一时的高产去“竭泽而渔” ，应该在保持稳定的前提下追求产量或最优经济效益，控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。参考文献：1 姜启源；数学模型M ，北京：高等教育出版社；19932 洪伟；Maple 实用教程M，北京：国防工业出版社；2001接第 21 页
