1、含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法,本节目录,教材回顾夯实双基,考点探究讲练互动,考向瞭望把脉高考,知能演练轻松闯关,基础梳理,1绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集,R,(2)|axb|c(c0)或|axb|0)的解法 |axb|c_； |axb|g(x)的解法 |f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)，且f(x)、g(x)有意义,axbc或axbc,g(x)f(x)g(x)且f(x)、g(x)有意义,2一元二次不等式的解集,思考探究 1|x|及|xa|表示的几何意义是什么？ 提示：|x|表示数轴上的点x到原点的距离，|xa|表示数轴上的点x到a点的距离
2、 2不等式|f(x)|g(x)|怎样求解？ 提示:在f(x)、g(x)都有意义的前提下|f(x)|g(x)|f2(x)g2(x).,课前热身,答案：B,3不等式|x5|x3|10的解集是( ) A5,7 B4,6 C(，57，) D(，46，) 解析：选D.法一：当x3时，原不等式可化为5xx3 10 ，即2x8，x4，此时不等式的解集为x|x4当3x5时，原不等式可化为5xx310，此时无解,当x5时，原不等式可化为x5x310，解得x6， 此时不等式的解集为x|x6 综上可知，原不等式的解集为x|x4或x6，故选D. 法二：由绝对值的几何意义可知，|x5|x3|表示数轴上的点x到点3和5两
3、点的距离之和，又点4和6到点3和5的距离之和都为10，如图，故满足|x5|x3|10的解集为 (，4和6，),4不等式|2x6|4的解集为_ 答案：x|1x5 5(2012高考福建卷)已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_ 解析：由题意得a28a0，解得a(0,8) 答案：(0,8),考点1 绝对值不等式的解法 解绝对值不等式关键是正确去掉绝对值符号，转化为一般不等式求解，去绝对值常用的方法是定义法和平方法,解不等式：(1)33且|2x3|5，因此可先分别解出两个绝对值不等式的解集，然后求其交集 对于第(2)题可利用零点分段法和绝对值的几何意义来解决,跟踪训练 1
4、(2012高考天津卷)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_. 解析：因为|x2|3，即5x1，所以A(5,1)， 又AB，所以m1，B(m,2)， 由AB(1，n)得m1，n1. 答案：1 1,考点2 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的形式为ax2bxc0(0)(a0) 一元二次不等式的解题步骤： (1)将二次项系数化为正数； (2)看判别式的符号； (3)求出相应一元二次方程的根(若根存在)； (4)根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关 系，结合不等号定解集 有时通过因式分解，直接求出方程的根,解关于x的不等式ax2(a1
5、)x10) 【思路分析】因式分解求根比较根的大小写出解集,【领悟归纳】 方程根的大小影响了不等式的解集形式，故以根的大小入手进行分类讨论，即一元二次不等式解集的边界数就是对应方程的根,跟踪训练 2若将例2中的条件改为“a0”，求解这个不等式,考点3 一元二次方程与不等式、二次函数的关系 这类问题主要是将一元二次方程的根，一元二次不等式的解集以及二次函数的图象结合起来来解决问题即一元二次方程根的分布转化为一元二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数的值域问题来求解,若1x2，不等式ax22ax10恒成立，求实数 a的取值范围 【思路分析】 不等式的二次项系数为待定参数a，故要先分a0和a0两
6、大类进行讨论，然后结合数形结合法求解 【解】 法一：从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1,2上恒成立， 即f(x)ax22ax1在x(1,2时图象恒在x轴下方 当a0时，不等式变为10恒成立,【思维总结】 关于一元二次不等式恒成立问题，可以利用数形结合法，根据对称轴和区间的位置关系，列出不等式求 解；也可转化为函数在某区间上的最大值恒小于零或最小值 恒大于零的问题，通过求最值解决.,1绝对值的转化方法，就是依据绝对值概念和等价不等式，将其转化为不含绝对值的整式不等式(或不等式组)来解也可 结合绝对值的几何意义去绝对值号，含两个以上绝对值的不 等式，欲去掉绝对值符号，需先找出零点，划分区间，
7、利用零点分段讨论，从而去掉绝对值符号 2解一元二次不等式时，应当考虑相应的一元二次方程，二 次函数的图象，根据二次项系数的符号确定不等式解集的形 式，当然还要考虑相应的二次方程根的大小,方法技巧,失误防范 1在二次项系数没有转化为正号的情况下解不等式，在写 解集时易出现把不等号的方向写反的错误 2在二次项系数含有参数时，不要直观认为就是二次不等 式，易丢掉对系数为0的讨论 3分类讨论结束后，要把各种情况进行综合归纳 4对于|f(x)|，其取值为0，)，不能认为是(0，),命题预测,绝对值不等式与一元二次不等式是高中数学的基本内容，是高考命题的重点试题的命制常以这两类不等式为载体，既考查不等式的
8、解法，又考查对集合概念和运算的熟练掌握程 度.2012年高考中，绝大多数省份试题以选择题、填空题形 式出现，少数省份的高考题以解答题的某一步出现,如2012年重庆卷，考查的分式不等式的解法，山东卷、上海 卷、广东卷考查的绝对值不等式的解法 预测2014年的高考题对绝对值不等式和一元二次不等式仍坚 持如上述内容的考查特别是一元二次不等式的解法、分式 不等式的解法要熟练掌握,(本题满分12分)已知函数f(x)x33ax23x1. (1)设a2，求f(x)的单调区间； (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围,规范解答,【名师点评】 本题从外观上看，是利用导数研究函数的单 调区间与极值，求导只是解题的入手点，而中间过程实质是 解不等式，问题(1)是解一元二次不等式，问题(2)第一种情况 是解关于a的一元二次不等式，第二种情况是求解关于a的一 元一次不等式组，故本题的中心内容是转化为不等式求解， 本题难度属于中档题，只要解不等式的基本过程掌握好，本 题很容易解答,
