1、 不等式选讲(一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式导学目标： 1.理解不等式的基本性质.2.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式的性质：| a b| a| b|.3.求解以下类型的不等式：|ax b| c；| ax b| c；| x a| x b| c(c0)自主梳理1不等式的基本性质(1)对称性：如果 ab，那么 bb.即 ab_.(2)传递性：如果 ab， bc，那么_即 ab， bc_.(3)可加性：如果_，那么 a cb c，如果 ab， cd，那么 a cb d.(4)可乘性：如果 ab， c0，那么_；如果 ab， cb0， cd0，那么 acbd.(5)乘方：如果 ab0，
2、那么 an_bn(nN， n1)(6)开方：如果 ab0，那么 (nN， n1)nanb2形如| ax b|c(c0)的不等式的解法(1)换元法：令 t ax b，则| t|c，故 tc或 tc或 ax bc(c0)Error!或Error!.(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号3形如| x a| x b| c的绝对值不等式的解法(1)运用绝对值的几何意义(2)零点分区间讨论法(3)构造分段函数，结合函数图象求解4绝对值不等式的性质|a| b| ab| a| b|.自我检测1若 xy， ab，则在 a xb y， a xb y， axby，
3、x by a， 这aybx五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_2已知集合 A x R|x3| x4|9， B xR| x4 t 6， t(0，)，1t则集合 A B_.3已知不等式| x2| x3| a的解集不是空集，则实数 a的取值范围是_4若不等式| x1| x2|7 x；(3)|x1|2 x1|2；求函数 y f(x)的最小值探究点二 绝对值的几何意义在不等式中的应用例 2 已知不等式| x2| x3| m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为 R；(3)若不等式解集为.分别求出实数 m的取值范围变式迁移 2 设函数 f(x)| x1| x2|，若 f(x)a对 xR 恒成立，求
4、实数 a的取值范围探究点三 绝对值三角不等式定理的应用例 3 “| x A|2的解集相等，则实数 a、 b的值分 别为_和_6若关于 x的不等式| x1| x3| a22 a1 在 R上的解集为，则实数 a的取值范围是_7函数 f(x)| x2| x4|的值域是_8若不等式| x1| x3| a 对任意的实数 x恒成立，则实数 a的取值范围是4a_二、解答题(共 42分)9(14 分)已知函数 f(x)| x a|.(1)若不等式 f(x)3 的解集为 x|1 x5，求实数 a的值；(2)在(1)的条件下，若 f(x) f(x5) m对一切实数 x恒成立，求实数 m的取值范围10(14 分)设
5、函数 f(x)| x a|3 x，其中 a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3 x2 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为 x|x1，求 a的值11(14 分)对于任意实数 a(a0)和 b，不等式|a b| a b| a|(|x1| x2|)恒成立，试求实数 x的取值范围学案 74 不等式选讲(一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式答案自主梳理1(1) bc ac (3) ab (4) acbc ac自我检测1解析 令 x2， y3， a3， b2，符合题设条件 xy， ab， a x3(2)5， b y2(3)5， a x b y，因此不成立又 ax6， by6， ax
6、by，因此也不正确又 1， 1， ，因此不正确由不等式的性质可推出ay 3 3 bx 2 2 ay bx成立2 x|2 x5解析 | x3| x4|9，当 x4时， x3 x49，即 40，又 x0，又0 x7 x，可得 2x57 x或 2x52，或 x2(3)由题意 x1 时，| x1|0， x 时，2 x10(以 下分类讨论)12所以当 x1时，原不等式等价于Error!得 x无解由得原不等式的解集为 x| 2 的解集为(，7)( ，)53由函数 y|2 x1| x4|的图象可知，当 x 时， y|2 x1| x4|取得最小值 .12 92例 2 解题导引 恒成立问题的解决方法(1)f(x
7、)m恒成立，需有 f(x)minm；(3)不等式的解集为 R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为，即不等式无解解 因为| x2| x3|的几何意义为数轴上任意一点 P(x)与两定点 A(2)、 B(3)距离的差即| x2| x3| PA PB.易知( PA PB)max1，( PA PB)min1.即| x2| x3|1,1(1)若不等式有解， m只要比| x2| x3|的最大值小即可，即 m a恒成立，只需 1a.即实数 a的取值范围为(，1)例 3 解题导引 对绝对值三角不等式|a| b| ab| a| b|.(1)当 ab0 时，| a b| a| b|；当 ab0 时，| a b|
8、a| b|.(2)该定理可以推广为| a b c| a| b| c|，也可强化为|a| b| ab| a| b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证(3)利用“”成立的条件可求函数的最值答案 充分不必要解析 | x y| x A( y A)|，由三角不等式定理|a| b| a b| a| b|得：| x y| x A| y A|2时， “”成立故函数 y| x2| x2|的最大值为 4.(2)|x3| x2|( x3)( x2)|5.当2 x3 时，取“” 故 y| x3| x2|的最小值为 5.课后练习区11，)解析 方法一 不等式等价转化为| x1| x3|，两边平方得( x1) 2( x
9、3) 2，解得 x1，故不等式的解集为1，)方法二 不等式等价转化为| x1| x3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点 x到点1 的距离大于等于到点 3的距离，到两点距离相等时 x1，故不等式的解集为1，)22解析 y| x4| x6|( x4)( x6)|2， ymin2.3(2,14,7)解析 由Error!得Error! ，解得20时， a 4，当且仅当 a2 时，取等号，4a当 a5；当3 x2 时， g(x)5；当 x2时， g(x)5.综上可得， g(x)的最小值为 5.(12分)从而若 f(x) f(x5) m，即 g(x) m对一切实数 x恒成立，则 m的取值范围为(，5 (
10、14 分)方法二 (1)同方法一(6 分)(2)当 a2 时， f(x)| x2|.设 g(x) f(x) f(x5)| x2| x3|.由| x2| x3|( x2)( x3)|5(当且仅当3 x2 时等号成立)得，g(x)的最小值为 5.(10分)从而，若 f(x) f(x5) m，即 g(x) m对一切实数 x恒成立，则 m的取值范围为(，5(14 分)10解 (1)当 a1 时， f(x)3 x2 可化为| x1|2.由此可得 x3 或 x1.(4 分)故不等式 f(x)3 x2 的解集为 x|x3 或 x1(6 分)(2)由 f(x)0 得| x a|3 x0.此不等式化为不等式组Error!或Error!(8 分)即Error! 或Error!(10 分)因为 a0，所以不等式组的解集为 x|x (12 分)a2由题设可得 1，故 a2.(14 分)a211解 由题知，| x1| x2| 恒成立|a b| |a b|a|故| x1| x2|不大于 的最小值|a b| |a b|a|(2分)| a b| a b| a b a b|2| a|，当且仅当( a b)(a b)0 时取等号， 的最小值等于 2.(6分)|a b| |a b|a| x的取值范围即为不等式| x1| x2|2 的解解不等式得 x .(14分) 12 52
