矩阵可对角化的总结.doc

1、矩阵可对角化的总结莆田学院数学系 02 级 1 班 连涵生 21041111摘要：主要讨论 n 级方阵可对角化问题：（1）通过特征值 ，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实 n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见 n 级方阵的可对角化讨论。关键词：n 级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n 级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的 n 级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一K定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，

2、就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的） ，同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义 1：设 A，B 是两个 n 级方阵，如果存在可逆矩阵P，使 P-1AP=B，则称 B 与 A 相似，记作 AB。矩阵 P 称为由 A 到 B 的相似变换矩阵。 1234定义 2：设 A 是一个 n 级方阵，如果有数 和非零向量X，使 AX= X 则称 是矩阵 A 的特征值，X 称为 A 的对应于的特征向量，称 为矩阵对应于特征值|V的特征子空间。 12

3、34定义 3：设 A 是数域 上一个 n 级方阵，若多项式P，使 则称 为矩阵 A 的零化多项式。()fxPX()0f()fx2定义 4：数域 上次数最低的首项为 1 的以 A 为根的多项式称为 A 的最小多项式。 123一、首先从特征值，特征向量入手讨论 n 级方阵可对角化的相关条件。定理 1：一个 n 级方阵 A 可对角化的充要条件它有 n 个线性无关的特征向量。 1234证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵 P，使即121nPA 12n把矩阵 P 按列分块，记每一列矩阵为 即12,P于是有12,n= ，12,nAP 1212,nnP 即 1212,nnAP 于是有 。iiP由特征值，特征向

4、量定义，表明 P 的每一列都是 A 的特征向量，因为 P 是可逆的，因此 是 A 的 n 个线12,n性无关特征向量，其中 为 A 的特征值。12,n充分性：若 A 有 n 个线性无关的特征向量则有 ，其中 是对应12,n ,ii i于特征向量 的 A 的特征值。iP以 为列作矩阵 ，因为12,n 12,nP线性无关，所以矩阵 P 是可逆的。由 12,nAP= 12,nAP = =1212,nnP 12n则有 即 A 与对角矩阵121nPA相似从以上证明中可知：（1） 与矩阵 A 相似的对角矩阵主对角线上的元素是 A的特征值，而相似变换矩阵 P 的列是 A 的 n 个线性无关特征向量。（2）

5、在主对角线上的次序应与其对应的12,n特征向量在 P 中的次序相对应，如果的次序改变，那么 在12,n 12,nPP 中的次序也要作相应的改变。但这时 P 就不是原来的 P 了。因此相似变换矩阵不是唯一的。若不计 的排列顺序，则对角矩阵是唯一的，称k它为 A 的相似标准形。由相似是一种等价关系知：与 A 相似的矩阵都有相同的相似标准形。定理 2：矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。134由此给出了一个推论：n 级方阵可对角化的充分条件 A有 n 个互不相同的特征值。 1234证明：由定理 1 及定理 2 可得。但这个推论的逆不成立。例如：n 级单位阵 E，显然它是可对角化的，但它

6、的特征值为 1(n 重根)。那我们要问若有重根时，要满足什么条件才可对角化？定理 3： 阶矩阵 可对角化的充要条件是： 的每个特征AA值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数(即的每个特征子空间 的维数等于特征值 的重数) AiVi4这个定理又可以这样叙述：矩阵 的每个特征值的代数重数等于对应子空间的(几何)重数。 23引理 1：如果 是矩阵 的不同特征值，而1,k A是属于 的线性无关的特征向量，12,iir i那么向量组 也线性无,k 112,krr 关。 123即：给出一个 级矩阵，求出属于每个特征值的线性无关向n量，把它们合在一起也是线性无关的。引理 2：设 是 阶矩阵 的一

7、个 重特征值，对应于 的0Ak0特征向量线性无关的最大个数为 ，则 。ll4证明：反证法。设 ， l由已知 。 (1)012,iiAil线性无关。将 扩充为 维向量空间12,l l n的一组基： 其中 一般不V121,ln 1,l是 的特征向量，但 ，可用上述的一A,mAVl组基线性表示，即其中11 , , ,mlmllnmaaa (2)()ln用矩阵可表示为： 121,llnA 01101121 11, , , , l nl lnllnnlnaaaa (3)记 则 是可逆的。 121,llnP P因此上式可表为 010112 2l lEAEAP根据相似矩阵有相同的特征多项式，得 11 1()

8、nnnnEAPP01022()()l lnlnlEAEA(4)02()lnl令 是 的 次多项式，由(4)式知2)nlgEAl至少是 的 ( )重特征值。与 为 的 重特征0Alk0Ak值，矛盾，所以 。由上面的两个引理作基础，下证定理 3：证明：不妨设 其中1()imriE1,mK又 。(在复数域中)1mirn充分性：由于对应于 的特征向量有 个线性无关，又iir个特征值互异。由引理 1 知 有 个线形无关的特征向量，An依据定理 1， 与对角阵相似。A必要性：用反证法：设有一个特征值 所对应的线性无i关的特征向量的最大个数 的重数为 ，则由引理 2 知，iilir的线性无关的特征向量个数小

9、于 ，故 不能对角化，与AnA题设矛盾，假设不成立。即 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数 等于特征值的重数 。il ir4推论： 级方阵 可对角化的充要条件是对于 的每一个特nA征根 ，有秩 ，其中 是 的重数。EnSs2证明： 的解空间 的维数等于特征值 的重数0XV即维 （由定理 3 知） 。又维 秩 。所VSnEA以，秩 成立。EAnS以上给出的可对角化的几个条件都是以特征值，特征向量为基础。其中条件 1（也是定理 1）是最基础的，可以把它看作是矩阵可对角化的实质。其它条件都是它的扩展。下面我们用 矩阵及若尔当标准形来讨论矩阵可对角化。定理 4：复数域上每一个 阶矩阵 都与一

10、个若尔当标准形nA相似。这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵 唯一决定的。它称为 的若尔当标准形。A 1234由相似是一个等价关系知，与 相似的矩阵都有相同的若尔当标准形。从这个意义上讲，我们可以把 级方阵划分n为以若当标准形为代表元素的等价类。等价类中的每个元素是相似的。由若尔当标准形的构造知，它包含对角形矩阵为它的特殊情况。那么当它满足什么条件时，一个若尔当标准形是一个对角矩阵，也就是可对角化的条件。由于每个初等因子对应一个若当块，例如初等因子为，那它对应的若当块为 ，()ir1iiii rJ 而若当形矩阵是由这样的若当块组成的。例： ， 所以如果每一个若12SJJ当块都是 1

11、 阶，那么，这个若当形矩阵 J 就成了对角阵，那么与之对应的初等因子都是一次的。由上面讨论给出矩阵可对角化的几个条件：定理 5：n 级方阵可对角化的充要条件它的初等因子都是一次的。 123推论 1：n 级方阵可对角化的充要条件它的不变因子无重根。23推论 2：n 级方阵可对角化的充要条件它的最小多项式无重根。 13这三个充要条件充分利用了不变因子，初等因子及最小多项式之间的关系，但在具体的解题过程中很少直接去求不变因子和初等因子，一般情况下是通过求最小多项式来解题的。例：由最小多项式的定义知，对于任一个零化多项式 都()fx满足 ， 表示矩阵 A 的最小多项式。因此()|Amxf()Amx若

12、无重根，则 一定无重根。当然这只是一种方法。f由此给出推论 3：n 级方阵可对角化的充分条件是它的零化多项式无重根。由哈密尔顿凯莱定理知，特征多项式是一个零化多项式。 1234推论 4：n 级方阵可对角化充分条件特征多项式无重根。以上讨论的这些 n 级方阵可对角化的条件是相对比较常见到的。二、n 级实对称矩阵的可对角化讨论。前面我们讨论了 n 级方阵可对角化条件，同时也看出不是任何矩阵都与对角阵相似，但实用中很重要的一类矩阵n 级实对称阵一定可对角化，而且对于任一个实对称阵 A，存在正交矩阵 T，使 T-1AT 为对角阵。 即 n 级实对1234称矩阵存在 n 个线性无关的正交特征向量。定理

13、5：n 级实对称矩阵 A， B，若 A 与 B 相似，则 A 与 B合同。 证：A 与 B 相似，那么它们有相同的特征值，设为12,n由 A，B 为 n 级实对称矩阵知，特征值全为实数，且存在正交矩阵 P， Q，使，121Tn，121TnQB则 11PA1APQB即 。11()()QB由于正交矩阵的逆、乘积还是正交矩阵，因此 为正1P交矩阵。则 且 11()()P110PQ即 A 与 B 是合同的。11TAQB一般情况下相似与合同是没有什么关系，但是如果是实对称阵的话，合同是包含相似的。三、几种常用矩阵的对角化问题讨论1、非零幂零矩阵一定不可对角化。证：设非零幂零阵 A，幂零指数为 m。 1）

14、A 的特征值全为 0。设 为 A 的特征值， 是属于 的特征向量。即 ，则 ，又由 知m00( )，即 A 的特征值全为 0。02）若 可对角化，则存在可逆阵 ，使 T1 1000TAATT 与 矛盾。0综上所述，非零幂零矩阵一定不可对角化。推论：幂零阵若可对角化，则它一定是零矩阵。2、对合矩阵一定可对角化。设 为对合阵，则 。A2AE方法 1：若 有 个线性无关特征向量，由定理 1 命题成立。n证：1） 的特征值只有 和1设 为 的特征值， 为属于 的特征向量。A，又2 2A2AE得 ，移项得 2 221010即 。12） 有 个线性无关的特征向量An由已知 秩 秩 。2EAEAn对特征值

15、，齐次线性方程组 。10X有 个无关特征向量。nrr对特征值 ，齐次线性方程组 。10EAX有 个无关特征向量。nrEAr再因为属于不同特征值特征向量线性无关，所以， 有个无关特征向量。从而 可对角化。rrnA若秩 ，则 的相似对角阵为EAr0rnrE方法二：利用最小多项式无重根。令 ， ，则 为零化多项式。21fx20ffx又 无重根，由 ，知 无重fxAmfAx根，从而 可对角化。A又 的特征值只有 和 。从而相似对角阵为10rnrE其中 维 ， 表示特征值 1 的特征子空间。r1V13、幂等矩阵一定可对角化。设幂等矩阵 ，满足 。A2幂等矩阵对角化讨论与对合矩阵对角化讨论类似，同样可以用

16、两种方法进行讨论，且 的特征值只有 1 和 0，从而，A它的相似对角阵为 。其中秩 。当 时，它0rErn相似对角阵为单位阵 E，从而存在可逆阵 ，使 ，P1AE。也就是说，可逆幂等矩阵是单位矩阵。1APE致谢首先，感谢系里给我们开设“高等代数选讲”及“数学分析选讲”这两门专业选修课。让我们对数学的基础课程有了更进一步的理解，更为我们有准备考研的同学创造了良好的条件。在此，特别感谢（杨忠鹏）老师授课，使我们进一步打好高等代数的基础知识，进一步理清高等代数的结构。本文主要根据自己的理解从理论上总结有关矩阵可对角化问题，缺少实例应用，而且还存在很多不足之处，望教师给予指出，我将努力更正。也向所有给予本论文关心，支持与提供宝贵意见的教师，同学表示衷心的感谢。参考文献1高等代数 第二版 北京大学 高等教育出版社2高等代数 姚慕生编著 复旦大学 复旦大学出版社3高等代数张禾瑞、郝鈵新编 第四版 高等教育出版社4线性代数 居余马等编 清华大学出版社5高等代数辅导及习题精解滕加俊等编 陕西师范大学出版社