1、1第四讲 矩阵的对角化基元素 坐标向量加法 元素加法 坐标向量的加法数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相乘线性变换及其作用 对应关系 矩阵与坐标列向量的乘 积对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程 时，将矩阵 对角化后很容易得到方程的解。对角化的过AxbA程实际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变
2、得简单呢？一、 特征值与特征向量1. 定义：对 阶方阵 ，若存在数 ，及非零向量（列向量） ，mAx使得 ,则称 为 的特征值， 为 的属于特征值xxA的特征向量。特征向量不唯一特征向量非零2有非零解，则 ，称()0IAxdet()0IA为 的特征多项式。det例 1 ，求其特征值和特征向量。12解 12det()01IA2(1)503属于特征值 的特征向量 ()0IAx1230123123可取基础解系为 10x201x属于 的特征向量 5(5)0IA123420123可取基础解系为 31x32. 矩阵的迹与行列式所有对角元素之和1trniAa1dei1trniA3. 两个定理（1） 设 、
3、分别为 和 阶矩阵，则Bmntr()t()AB（2）sylvster 定理：设 、 分别为 和 阶矩阵，则nmdet()det()mnmIIA即：AB 与 BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。二、 矩阵对角化的充要条件定理： 阶方阵 可通过相似变换对角化的充要条件是它具有 个线nAn性无关的特征向量。证明 充分性：已知 具有 个线性无关的特征向量 ，nnx,21则iiAxni,21nx 121nnx0221线性无关，故 为满秩矩阵，nx,21 xP214令 ，则有n021AP1必要性：已知存在可逆方阵 ，使 nP0211将 写成列向量 ， 为 维列向量PnP21 nnPA 212
4、1可见， 为 的特征值， 为 的特征向量，ii具有 个线性无关的特征向量。推论： 阶方阵有 个互异的特征值，则必可对角化。 （充分条件）n三、 内积空间1. Euclid 空间设 是实线性空间（ ） ，对于 中任何两个元素 、 均按VRkVxy某一规则存在一个实数与之对应，记为 ，若它满足,xy（1）交换律 ,xy（2）分配律 ,zz(3)齐次律 ,k（4）非负性 ，当且仅当 时，0x0x,0x5则称 为 与 的内积，定义了内积的实线性空间称为 Euclid 空,xy间。对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的数量积就满足以上四条性质，构成内积。以 维向量n空间为例：
5、，Tnx21Tny21可定义内积 ，它满足内积的四条性质：1,iiyw（1） 11, ,nniiiixyx（2） 111,() ,nniiiii iiyz wxyz（3） 11, ,niiii ikxwkkxy（4） 当且仅当 时，21,0ii0i,0该内积可写为： ，其中T,xyWnw021更一般的，对实对称矩阵 ， 也满足内积的定义。AT,xy正定：（1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于 02. 酉空间：设 是复线性空间（ ） ，对于 中任何两个元素 、 均按VCkVxy某一规则6存在一个实数与之对应，记为 ，若它满足,xy（1）交换律 ,xy（2）分配律 ,zz（3）齐次律 or ,
6、ky,xky（4）非负性 ，当且仅当 时，0x00则称 为 与 的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。,xy以 维向量空间为例， 为厄米（ ）正定（ ）nAHAHx矩阵， T1,njiijxya较常见的比如 ，12diagnAwL0iw最简单：实 T,y复 x3. 正交性：若 ，则称 与 正交。,0y与 的夹角： ， 称为 与 的夹角。y(,)cos|xxy4. Gram-Schmidt 正交化手续设 为一组线性无关的元素或向量，可以进行如下正12,nxL交归一化操作（正交规范化或正交单位化）：1 1|yx2 选择合适的 使 与 正交， 21ky21kx1y21(,)(,)(,)0y 21212121212,(,)(,)0x xyk7拆分 相当于标量，可以将 k21 提出 y1 为单位向量2121(,)kxy2|3 选择 、 使 与 和 均正交3312xky31k23x1y2(,)(,)031313 3131,22(,)(,)xyk22xy3|一般的， 1iijxky,2inL,ijijk|iiyx成为一组正交归一化向量：12,nL 0(,)1iijijy若 为一组基元素，则 成为标准正交基。x,21 n,21作业：P106107 1(1)(2),2,4,5,10,11
