矩阵的可对角化及其应用 (1) 2.doc

1、矩阵的可对角化及其应用摘 要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，本文通过利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，并讨论了化矩阵为对角形的具体求解方法，同时给出了可对角化矩阵在求方阵的高次幂利用特征值求行列式的值由特征值和特征向量反求矩阵判断矩阵是否相似向量空间线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换Matrix diagonolization and its applicationAbstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory

2、diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonol

3、ization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the ap

4、plication of linear transformation, etc. Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 一、预备知识：定义 ：设 V 是 P 上的线性空间， 是 V 上的一个变换，如果对任意 V1 和 P 都有 ，则称 为 V 的一个线性变kk换定义 2：设 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性变换，如果存在 P 中的一个数和 V 中非零元素 使得 ，则称 为 的一个特征值，而称 为 的属于特征值 的一个特征向量，由 的属于特征值 的

5、全部特征向量再添上零元素构成的集合 构成 V 的一个子空间，称为 的一个特,征子空间 定义 3：标准形的主对角线上非零元素 称为 的不变12,rdd A因子定义 ：把矩阵 A（或线性变换 ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不24相同的首项为 1 的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵 A（或线性变换 ）的初等因子定义 5：设 A 是数域 P 上的 n 级矩阵，如果数域 P 上的多项式 f(x)使得 f(x)=0，则称 f(x)以 A 为根，在以 A 为根的多项式中，次数最低且首项系数为 1 的多项式称为 A 的最小多项式定义 :设 A,B 为数域 P

6、 上的两个 n 级矩阵，如果存在数域 P 上的 n 级可逆矩36阵 X 使得 B= ，则称 A 相似于 B，记为 A B，并称由 A 变到 B 的变换为相1 似变换，称 X 为相似变换矩阵矩阵可对角化问题是矩阵理论中最基本的问题，下面先给出矩阵可对角化的几种判定定理.定理 1：矩阵 A 可对角化当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量推论 1：如果在 n 维线性空间 V 中，线性变换 的特征多项式在数域 P 中有 n个不同的根，那么在某组基下的矩阵是对角形的推论 2：在复数域上的线性空间中，如果线性变换 的特征多项式没有重根,那么 在某组基下的矩阵是对角形的例 1：已知 在一组基下的矩阵为

7、，试问 A 是否可对角化？ 3452A解：由于 所以特征值为7。由 的特征值为 7，-2 互异，故 A 可对角化12定理 ：设线性空间 V 上的 n 维线性变换 的全部不同特征值是 ，4 12i则 可对角化的充分与必要条件为 V= 12tV证明：必要性，设 所对应的矩阵可对角化，即存在 V 的一组基，使 在这组基下的矩阵为 。 互不相12n 1trrE 12t 同，显然 ， ， ，对于任一向量 ，12r 1V 12tt tnrrnV V则 这里1 12ttrr t ， ， 于是11r 1tttnrn下证 就是 的一组基，显然只需证每个与特征根1tV 1,r 1V相应的特征向量都可由 线性表出，

8、先将 分解，即 ，1,r 12t如果 ，那么 是 的属于特征根 的特征向量，并12t 0且 不能全为零。设其中只有 ， 是 中的 k 个元,t 1,kii 01ki ,3t素，那么 ，这显然矛盾，故 即1kii 同理可证与 相应的一组基向量 是 的11r 2221,rr 2V一组基， ，与 相对应的一组基向量 是 V 的一组基，故 V= tV 1,tnrn12tV充分性，取 的一组基 且 在这组基下的矩阵为(1,2)i t 1,1r ，则 为 V 的一组基，从而 在此基下的矩阵1irE1,1r 1,rtt ，故 可对角化，即 所对应的矩阵可对角化1tr 例 ：设 A= ，试判断 A 是否可对角

9、化？若能，则求出可逆矩阵5201T 使 A 成对角形解：A 的特征多项式 得221010EA（二重）， （二重）是 A 的两个互异的特征根，又有特征矩阵12201 211010EAE秩均为 2，易得 12210AEA令 ，则 为 A 的属于 0 的所有123400,112,2线性无关的特征向量， 为 A 的属于 2 的所有线性无关的特征向量34,1令 T= ，则有123401,102TA定理 3：A 可对角化当且仅当矩阵 A 的所有重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数证明：若 所对应的矩阵可对角化，则有 V= ，这里12tV是 的所有互不相同的特征根，取每个 的一组基， ，合12,

10、t i 1,i起来就是 V 的一组基，那么 在这组基下的矩阵显然是对角形 A=于是 的特征多项式为 ，1trrE 1() trrfxEAx 显然 的根都在 F 内，且每个特征根 的重数恰是 的维数，必要性得()fx iiV证反之，若设 是 的特征多项式的全部根，它们的重数分12,t P别设为 ，那么 ，取每个 V 的一组基 ，合起来12,tr trrn 1,rii凑成一个含有 n 个向量的向量组 ，从而是 V 的一组基，故 在这组12, 基下的矩阵为对角阵例 ：判断矩阵 A= 是否可对角化，若可以，求可逆矩阵 T 使633261为对角阵1TA解：设 ，且TTEA32310, 61E100224

11、 故 A 的特征值为 （二重）， ，其中12，0012,24DP又 中的零行数=2= 的重数， 的零行数=1= 的重数，故 A 可对角21D2化，由 可得 是 A01, 23DP0,1,3TT属于 2 的线性无关的特征向量，由 可得014,6203DP是 A 属于-4 的线性无关的特征向量，令 T= ，则1,23T 0123.14定理 4：复数域上每一个 n 阶矩阵 A 都与一个若尔当标准形相似这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵 A 唯一决定的。它称为 A 的若尔当标准形由相似是一个等价关系知，与 A 相似的矩阵都有相同的若尔当标准形从这个意义上讲，我们可以把 n 级方阵划分为以

12、若当标准形为代表元素的等价类等价类中的每个元素是相似的。由若尔当标准形的构造知，它包含对角形矩阵为它的特殊情况那么当它满足什么条件时，一个若尔当标准形是一个对角矩阵，也就是可对角化的条件由于每个初等因子对应一个若当块，例如初等因子为 ，那它对应()ir的若当块为 ，而若当形矩阵是由这样的若当块组成的1iiii rJ 所以如果每一个若当块都是 1 阶，那么，这个若当形矩阵 J 就成了对角阵，那么与之对应的初等因子都是一次的推论 ：n 级方阵可对角化的充要条件它的不变因子无重根73推论 ：n 级方阵可对角化的充要条件它的最小多项式无重根84这三个充要条件充分利用了不变因子，初等因子及最小多项式之间

13、的关系，但在具体的解题过程中很少直接去求不变因子和初等因子，一般情况下是通过求最小多项式来解题的例 ：设复数域上的矩阵 A= ，求 A 的最小多项式，并判定 A 是否94103可对角化？解： ,由于 中右上角3210()3fEAEA的二阶子式 ，所以 ，故10121D，可见 即是 A 的最小多项式，利用32123,dd()f有理多项式求有理根的方法知 ，从而 ，于是(1)0f 213A 的特征值为 ，由于 无重根，故 A 在复数123,2iiAm域上可对角化定理 5：在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即对于任意一个对称矩阵 A 都可找到一个可逆矩阵 C 使 成对角阵例 5：

14、化二次型 成标准型1231232, 6fxxx解： 的矩阵为 ，取123,f 01A110 02,103140CAC 再取 20,1再取2122012044AC ，33230 120,0120146AC 正是对角矩阵，因此令 ，就有 ，3A12331002CA作非退化线性替换 X=CY，即得 2212313, 6fxyy通过对上述给定的矩阵可对角化判定定理的分析，我们可进一步得出对角矩阵的求解思路和方法:第一步，取 n 维线性空间 V 的一组基 ，求线性变换 在该基下的矩阵12,n A。第二步，求 n 级可逆矩阵 X，使 为对角矩阵1A第三步，由 求出 V 的另一组基 ，则 在122,nn 1

15、2,n 该基下的矩阵为对角矩阵 .例 6：设 是四维线性空间 V 的一组基，线性变换 在这组基下的矩阵12,n 为 A=5433295107（1）求 在基 下的矩阵234212334（2）求一可逆矩阵 T，使 成对角形1A解：（1）因为 ，12341,23,41234,0,1X而 15065303124213957312705XA 故 在基 下的矩阵为 B=1,23,40654320（2）因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以，即特征值为2065417305EAB，对应特征值 0 的线性无关的特征向量为12341,2，对应特征值 1 的特征向量为14，对应特征值 的特征向量为 ，由3123424

16、1234得 ，且12341234,T312061012TA二、可对角化矩阵的应用1.求方阵的高次幂求方阵 的高次幂，若直接计算 ，按归纳法来寻求的规律有时是很kA23,A困难的。若 A 可对角化，计算其高次幂有简单方法例 7：设 V 是数域 P 上的一个二维线性空间， 是一组基，线性变换 在12,下的矩阵 A= ，试计算 。12,210kA解：首先计算 在 V 的另一组基 下的矩阵，这里12,，且 在 下的矩阵为 1212,12,1000 显然 ，再利用上面得到的关系101k我们可以得到1212011211010kk kk 2.利用特征值求行列式的值对于具体给出的行列式，常利用行列式的性质对行

17、列式进行恒等变形，以期新的行列式中出现较多的零元素，从而化为三角行列式直接写出其值或按行（列）展开降低行列式的阶数若抽象矩阵可对角化，求其行列式有简单方法例 8：设 n 阶实对称矩阵 满足，且 A 的秩为 r，试求行列式 的2A2EA值解：设 AX= X，X 0，是对应特征值 的特征向量，因为 ，则2，从而有 ，因为 X 0，所以 ，2A201即 =1 或 0，又因为 A 是实对称矩阵，所以 A 相似于对角矩阵，A 的秩为 r，故存在可逆矩阵 P，使 =B，其中 是 r 阶单位矩阵，从而10rEE11222rnrrEAB 3.由特征值与特征向量反求矩阵事实上，当 n 级矩阵 A 可对角化时，存

18、在由 A 的 n 个线性无关的特征向量组成的可逆矩阵 P，使得 其中 是由 A 的所有特征值组成的对角矩阵，1则 1A例 :设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 ，对应于 的特征向109 123,11量 为 ，求矩阵 A1,TP解：因为 A 是实对称矩阵，所以 A 可以对角化，即 A 由三个线性无关的特征向量，设对应于 的特征向量为 ，它应与特征向231123,TPX量 正交，即 ，该齐次方程组的基础解系为1P123,00X，它们即是对应于 的特征向量。取23,0TT231，则 ，于是1231,0,0B1PAB1110200APB 4.判断矩阵是否相似我们已经知道当级方阵 A 与 B 有相同特

19、征值（不一定互异），且均可相似于对角矩阵，必有 例 10：下述矩阵是否相似 123010201,3A解：矩阵 的特征值都是 (二重 )， ，其中 已是对角123,A121阵，所以只需判断 是否可对角化，先考查 ，对于特征值 解齐次线2A性方程组 得其基础解系为 ，由于 是 的二重20EX1,0T12A特征值，却只对应于一个特征向量，故 不可对角化或者说 与 不相似。22再考查 ，对于特征值 ，解齐次线性方程组得基础解系，对于特3A1征值解齐次线性方程组 ，得基础解系 ，320EX12,0,10TT对于 特征值解齐次线性方程组 ，得基础解系 ，23A3由于 有三个线性无关的特征向量，所以 可对角

20、化，即 与 相似u3A A15.求特殊矩阵的特征值例 11：设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 ，又 ，求矩阵 A 的全部2Arn特征值 解：设 为 A 的任一特征值， 为 A 的对应特征值 的特征向量，所以，有 ，又因为 ，所以 ，所以2222A，由此可得 或 0，因为 A 是实对称矩阵，所以 A 必能对角化即2，且 ，故 2 的个数为 A 的秩数，即 A 的20A r特征值为 r 个 2 及(n-r)个 06.在向量空间中的应用例 ：设 V 是 n 维列向量空间，A 是 n 阶复矩阵， 是任一复数，令1 ，则若 A 相似于对角阵，1 2,WEWVEA有 20证明：对任意 ，有 和 所以012

21、X0X0EX又因为 A 相似于对角阵，有 与 的解2EA 0A2A空间相同，所以 和 ，所以 2E0E12W7.在线性变换中的应用例 ：设 为数域 P 上次数小于 n 多项式及零多项式的全体，试1231nPX判断微分变换 在 的任何一组基下的矩阵是否为对角形n证明：取 的一组基 ，则 在这组基下的矩阵为n1,2!nX ，所以 ，若 在某一组基下的矩阵 B 为对角矩阵，由10nEnA知 A 可对角化，存在可逆矩阵 T 使得 ，所以 ，由 的B1A1T全为零知 B=0，所以 A=0，这不可能，所以微分变换 在 的任何一组基下nPX的矩阵都不是对角阵参考文献:1北京大学教学系几何与代数教研室代教小姐

22、尚等代数(第二版)M北京：高等教育出版社，19882曹锡皓高等代数M北京：北京师范大学出版社，19873张力宏高等代数M北京：人民教育出版社，20024张远达线性代数原理M上海：上海科学出版社，19815刘学鹏特殊矩阵的特殊对角化方法研究J大学数学，2005，21(5)：112115.6胡显佑主编线性代数挚习指导M天津：南开大学出版社，19977刘九兰，张乃一，曲问萍主编线性代数考研必读M天津：天津大学出版社，200858谢国瑞主编线性代数及应用M北京：高等教育出版社。19999张学元主编线性代数能力试题题解M武汉：华中理工大学出版社，200010徐仲主编线性代数典型题分析解集M西北工业大学出版社，1998，611樊辉，钱吉林主编，代数学辞典M武汉；华中师范大学出版社1994，1212彭海明对“矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨”的改进意见J数学通报，1993（2）：45-47