矩阵的可对角化及其应用 2.doc

1、附件： 分类号 O15 商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位 数学与计算科学系 指导老师 刘晓民 作者姓名 陈毕 专业班级 数学与应用数学专业 07 级 1 班 提交时间 二 0 一一年五月 矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系 2007 级 1 班）指导老师 刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂利用特征值

2、求行列式的值由特征值和特征向量反求矩阵判断矩阵是否相似向量空间线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换Matrix diagonolization and its applicationChen Bi(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science)Advisor:Lecturer Liu Xiao MinAbstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonoliza

3、tion matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, al

4、so discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application o

5、f linear transformation, etc. Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的） ，同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化的判定条件以及如何应用可对角化的相关性质将矩阵化为对角形，同时也总结了它在相关方面的运用。预备知识：定义 1：如下形式的 nn 矩阵 = 称

6、为对角矩阵简记为 =diag( , , , )120n 12 n定义 2：把矩阵 A（或线性变换 ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为 1 的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵 A（或线性变换 ）的初等因子。定义 3：设 A 是数域 P 上的 n 级矩阵，如果数域 P 上的多项式 f(x)使得 f(x)=0，则称 f(x)以 A 为根，在以 A 为根的多项式中，次数最低且首项系数为 1 的多项式称为 A 的最小多项式。定义 4：设 V 是 P 上的线性空间， 是 V 上的一个变换，如果对任意 V 和 P 都有 ，kk则称 为 V 的一个

7、线性变换定义 5：设 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性变换，如果存在 P 中的一个数 和 V 中非零元素 使得 ，则称为 的一个特征值，而称 为 的属于特征值 的一个特征向量，由 的属于特征值 的全部特征向量再添上零元素构成的集合 构成 V 的一个子空间，称为,的一个特征子空间。 定义 6:设 A,B 为数域 P 上的两个 n 级矩阵，如果存在数域P 上的 n 级可逆矩阵 X 使得 B= AX，则称 A 相似于 B，1记为 A B，并称由 A 变到 B 得变换为相似变换，称 X 为相似变换矩阵。主要结论：1.1A 可对角化当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量。证明：必要性设 在基

8、下具有对角矩阵 ，这就是说1n 1n，因此 就是 的 n 个线性无关的特征向,2,ii 1n 量。反过来，如果 有 n 个线性无关的特征向量 ，那么1n就取 为基，显然在这组基下 的矩阵是对角矩阵。1n推论 1.1.1 如果在 n 维线性空间 V 中，线性变换 的特征多项式在数域 P 中有 n 个不同的根，即 有 n 个不同的特征值，那么 在某组基下的矩阵是对角形的。推论 1.1.2 在复数域上的线性空间中，如果线性变换 的特征多项式没有重根，那么 在某组基下的矩阵是对角形的。例：已知 在一组基下的矩阵为 ，试问 A 是否可3452A对角化？若能，写出相应的基变换的过渡矩阵 T。解：由于 所以

9、特征值为347252A。当 时，解方程组 ，求得它的1211205x基础解系是 ，因此对应的的 的特征向量为 。当112时，解方程组 ，求得它的基础解系是212540x，因此 对应的特征向量为 。综上可知4522124的特征值为 7，-2 对应的特征向量为 ，又 12，即过渡矩阵 T= 且有12124,5 4513170922TA2.1.A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为 n.证明：必要性设 所对应的矩阵可对角化，即存在 V 的一组基，使 在这组基下的矩阵为 。12n 1trrE互不相同，显然 ，12t 12r 1V， ，对于任一向量 ，则 12tt tnrrnV 这里11ttrrnn

10、12t， ， 于是11r 1tttrnV。下证 就是 的一组基，显然只需证每个1tV 1,r 1V与特征根 相应的特征向量都可由 线性表出，先将1 1,r分解，即 ， 如果 ，那么2t 12t 10是 的属于特征根 的特征向量，并且 不能全为零。12,t设其中只有 ， 是 中的 k 个元素，那么1,kii 0ki ,3t，这显然矛盾，故 即 。1kii 1011r同理可证与 相应的一组基向量 是 的一组基，222,rr 2V，与 相对应的一组基向量 是 V 的一组基，故 tV1tnrnV= ，即 V 的维数等于各特征子空间的维数之12tV和。充分性取 的一组基 且 在这组基下的矩阵(1,2)i

11、Vt 1,1r 为 ，则 为 V 的一组基，从而 在此基1irE1,1r 1,rtt 下的矩阵为 ，故 可对角化，即 所对应的矩trE阵可对角化。例设 A= ，试判断 A 是否可对角化？若能，10则求出可逆矩阵 T 使 A 成对角形。解：A 的特征多项式得 （二重） ，221010E1（二重）是 A 的两个互异的特征根，又有特征矩阵20。秩均为 2，易得1 201101EAE， 12210A令 。则 为 A 的属于 0123401,012,2的所有线性无关的特征向量， 为 A 的属于 2 的所有34,1线性无关的特征向量。令 T= 12340,1，则有 120TA3.1.A 可对角化当且仅当

12、A 的所有重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数。证明：若 所对应的矩阵可对角化，则有 V=，这里 是 的所有互不相同的特征根，12tV 12,t 取每个 的一组基， ，合起来就是 V 的一组基，那i i么 在这组基下的矩阵显然是对角形。A= 。于 1trrE是 的特征多项式为 ，显然 的1() trrfxEAx ()fx根都在 F 内，且每个特征根 的重数恰是 的维数，必要性iiV得证。反之，若设 是 的特征多项式的全部根，它们12,t P的重数分别设为 ，那么 ，取每个 V 的一tr 12trrn 组基 ，合起来凑成一个含有 n 个向量的向量组1,rii，从而是 V 的一组基，故

13、 在这组基下的矩阵为对2,n 角阵。例：判断矩阵 A= 是否可对角化，若可以，3216求可逆矩阵 T 使 为对角阵。1A解：设 ,且TE320, 611TAE故 A 的特征值为 （二020241 12重） ， ，其中 ，2400,0241DP又 中的零行数=2= 的重数， 的零行数=1= 的重D1D2数，故 A 可对角化，由 可得102, 3P是 A 属于 2 的线性无关的特征向量，由0,12,3TT可得 是 A 属于-4 的014,63DP1,3T线性无关的特征向量，令 T= ，则 .021244.1.A 可对角化当且仅当 A 的初等因子是一次的。定理 4：复数域上每一个 阶矩阵 都与一个若

14、尔当标准nA形相似。这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵 唯一决定的。它称为 的若尔当标准形。A由相似是一个等价关系知，与 相似的矩阵都有相同的A若尔当标准形。从这个意义上讲，我们可以把 级方阵划分n为以若当标准形为代表元素的等价类。等价类中的每个元素是相似的。由若尔当标准形的构造知，它包含对角形矩阵为它的特殊情况。那么当它满足什么条件时，一个若尔当标准形是一个对角矩阵，也就是可对角化的条件。由于每个初等因子对应一个若当块，例如初等因子为，那它对应的若当块为 ，()ir 1iiii rJ 而若当形矩阵是由这样的若当块组成的。例： ， 所以如果每一个若当块都是 1 阶，12SJJ那么

15、，这个若当形矩阵 J 就成了对角阵，那么与之对应的初等因子都是一次的。推论 4.1.1：n 级方阵可对角化的充要条件它的不变因子无重根推论 4.1.2：n 级方阵可对角化的充要条件它的最小多项式无重根这三个充要条件充分利用了不变因子，初等因子及最小多项式之间的关系，但在具体的解题过程中很少直接去求不变因子和初等因子，一般情况下是通过求最小多项式来解题的。例：由最小多项式的定义知，对于任一个零化多项式 都满足 ， 表示矩阵 A 的最小多项式。()fx()|Amxf()Amx因此若 无重根，则 一定无重根。当然这只是一种方f ()A法。由此给出推论 4.1.3：n 级方阵可对角化的充分条件是它的零

16、化多项式无重根。推论 4.1.4：n 级方阵可对角化充分条件特征多项式无重根例：设复数域上的矩阵 A= ，求 A 的最小多项103式，并判定 A 是否可对角化？解：， ,由于 中3210()3fEEA右上角的 2 阶子式 ，所以 ，故01121D，可见 即是 A 的最小多项321231,dd()f式，利用有理多项式求有理根的方法知 ，从而10，于是 A 的特征值为2()f，由于 无重根，故 A 在复数域123,12iim上可对角化。5.1.A 是实对称矩阵，则 A 可对角化。定理 5.1.1 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即对于任意一个对称矩阵 A 都可找到一个可逆矩阵

17、 C 使 AC 成对角阵。例：化二次型 成标准型。1231232, 6fxxx解： 的矩阵为 ，取123,fx0A1101102, 0340CAC 再取 20,1再取2122012044AC ，33230 120,0120146AC 正是对角矩阵，因此令 ，就有3A123310C，作非退化线性替换 X=CY，即得206C。2212313,fxyy二：求一组基，使线性变换再该基下的矩阵为对角矩阵的计算。第一步，取 n 维线性空间 V 的一组基 ，求线性变12,n换 在该基下的矩阵 A。第二步，求 n 级可逆矩阵 X，使 为对角矩阵。1A第三步，由 求出 V 的另一组基1212,nn ，则 在该基

18、下的矩阵为对角矩阵 .12,n 例：设 是四维线性空间 V 的一组基，线性变换12,n在这组基下的矩阵为 A=52433195071） 求在基 下的矩阵12342342）求一可逆矩阵 T，使 成对角形。1A解：因为 = ，而1,23,412340,11234,X1 5065032421319573123705XA 故 在基 下的矩阵为 B=1,23,4065432052）因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以，即特征值为2065417305EAB，对应特征值 0 的线性无关的特征向量为12341,2，对应特征值 1 的特征向量为14，对应特征值 的特征向量为312341243）由 得 ，且123

19、41234,T1342061012TA三：可对角化矩阵的应用。1.求方阵的高次幂例设 V 是数域 P 上的一个二维线性空间， 是一组基，12,线性变换 在 下的矩阵 A= ，试计算 。12,210kA解：首先计算 在 V 的另一组基 下的矩阵，这里12,，且 在 下的矩阵为1212,12,显然1000 ，再利用上面得到的关系101k我们可以得到210201111210kk kk 2.利用特征值求行列式的值。例：设 n 阶实对称矩阵 =A 满足，且 A 的秩为 r，试求行2A列式 的值。2EA解：设 AX= X，X 0，是对应特征值 的特征向量，因为 ，则 ，从而有 ，因为2220XX 0，所以

20、 ，即 =1 或 0，又因为 A 是实对称矩阵，1所以 A 相似于对角矩阵，A 的秩为 r，故存在可逆矩阵 P，使 =B，其中 是 r 阶单位矩阵，从而10rEPE110222rnrrABP 3 由特征值与特征向量反求矩阵。若矩阵 A 可对角化，即存在可逆矩阵 P 使，其中 B 为对角矩阵，则例 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵 A。解：因为 A 是实对称矩阵，所以 A 可以对角化，即 A由三个线性无关的特征向量，设对应于 的特征向量231为 ，它应与特征向量 正交，即123,TPX1P，该齐次方程组的基础解系为,00，它们即是对应于 的特征向量。23,1TT23

21、1取 ，则 ，于是12310,0,PB1PAB1 011020AB 4 判断矩阵是否相似例 下述矩阵是否相似 123010201,3AAA解：矩阵 的特征值都是 (二重)， ，其123, 12中 已是对角阵，所以只需判断 是否可对角化，先考查1A23,A，对于特征值 解齐次线性方程组 得其基础2120EAX解系为 ，由于 是 的二重特征值，却只对应1,0T12于一个特征向量，故 不可对角化或者说 与 不相似。2A21再考查 ，对于特征值 ，解齐次线性方程组得31基础解系，对于特征值解齐次线性方程组 ，得基30EAX础解系 ，对于 特征值解齐次线性方12,0,10TT23程组 ，得基础解系 ，由

22、于 有三个线性3EAX31,0T3无关的特征向量，所以 可对角化，即 与 相似。3A3A15 求特殊矩阵的特征值例 设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 ，又 ，2ArAn求（1）A 的全部特征值， （2）行列式 的值E解：（1）设 为 A 的任一特征值， 为 A 的对应特征值 的特征向量，所以 ，有 ，又因为22，所以 ，所以 ，由此可得 或2A20，因为 A 是实对称矩阵，所以 A 必能对角化即，且 ，故 2 的个数为 A 的秩数，20 r即 A 的特征值为 r 个 2 及(n-r) 个 0（2）因为由（1）可得 AB，即存在可逆矩阵C，使得 ，故有 , =B1ACBEA11EE 11r 6

23、在向量空间中的应用例 设是 n 使维列向量空间，A 是 n 阶复矩阵， 是任一复数，令 ，则若 A 相似1 2,WEVWEA于对角阵，有 120证明：对任意 ，有 和 所12X0X0EX以 又因为 A 相似于对角阵，有 与20EA A的解空间相同，所以 和 ，20EA20EA0XEA所以 。12W7 在现行变换中的应用例 设 为数域 P 上次数小于 n 多项式及零多项式1nPX的全体，则微分变换 在 的任何一组基下的矩阵不是对nX角形。证明：取 的一组基 ，则 在这组基下nP1,2!n 的矩阵为 ，所以 ，若 在某一组基下的矩阵10EnAB 为对角矩阵，由 知 A 可对角化，存在可逆矩阵 T

24、使得B，所以 ，由 的全为零知 B=0，所以 A=0，这1TA1T不可能，所以微分变换 在 的任何一组基下的矩阵都不nPX是对角阵参考文献:1北京大学教学系几何与代数教研室代教小姐尚等代数(第二版)M北京：高等教育出版社，19882胡显佑主编线性代数挚习指导天津：南开大学出版社，19973刘九兰，张乃一，曲问薄主编线性代数考研必馕，天津：天牵大学出版社，200B。54谢国瑞主编线性代数及应用北京：高等教育出版社。19995张学元主编线性代数能力试题题解武汉：华中理工大学出版社，20006徐仲主编线性代数典型题分析解集西北工业大学出版社，1998，67樊辉，钱吉林主编，代数学辞典武汉；华中师范大

25、学出艋社1994，128曹锡皓高等代数M北京：北京师范大学出版社，19879张远达线性代数原理M上海：上海科学出版社，198110张力宏高等代数M北京：人民教育出版社，200211刘学鹏特殊矩阵的特殊对角化方法研究J大学数学，2005，21(5)：112115.12彭海明对“矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨”的改进意见J数学通报，1993（2）：45-47谢 辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师刘晓民副教授的悉心指导，在此表示衷心的感谢。刘老师严谨治学的态度使我受益匪浅.在论文写作的这段时间里,他时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,最后才能使得我顺利完成论文。同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友。