1、2.3.1,双曲线及其标准方程,1、复习,2. 引入问题：,动画,椭圆, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,（1）差的绝对值等于定值 ；,平面内与两个定点F1，F2的距离之差,等于定值 的点的轨迹叫做双曲线.,（2）定值小于F1F2,动画,的绝对值,2a（小于F1F2）,注意,定义:,设2a = | |MF1 | |MF2 | |,(1) 当 |MF1 | |MF2 |=2a时,点M的轨迹 是,当 |MF2 | |MF1|=2a时,点M的轨迹 是,双曲线的右支;,双曲线的左支,(2)当2a = 2c时,点M的轨迹是两条射线；,当2a 2c时,点M的轨迹不存在,注意
2、,方程的推导,1、取过焦点F1、F2 的直线为 x轴取线段F1、F2 的中垂线为y轴。,2、设M(x,y)点为曲线上任一点， | F1F2|=2c,F1(-c,o),F2(c,0),3、依定义得： | |MF1|-|MF2| | =2a,化简得,令,得,双曲线的标准方程,问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,练习：写出以下双曲线的焦点坐标,F(5,0),F(0,5),例1 （1） 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线 上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程., 2a = 8, c=5, a = 4, c = 5, b2 = 52-42 =9,所
3、以所求双曲线的标准方程为：,根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：,解:,变式 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，PF1|PF2|= 8，求点P的轨迹方程.,解:,根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：,由题知点P的轨迹是双曲线的右支，, 2a = 8, c=5, a = 4, c = 5, b2 = 52-42 =9,所以点P的轨迹方程为：,(x0),变式2 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，满足|PF1|PF2| |= 10，求点P的轨迹方程.,解:,因为|PF1|PF2| |= 10,|F1F2|= 10,| |PF
4、1|PF2| |= |F1F2|,所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线，,其轨迹方程是：,y= 0,变式3 已知双曲线的焦距为10，双曲线上一点P 到两焦点F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程.,解:,所以所求双曲线的标准方程为：,或,课堂练习,1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程1) a=4 ，b=3 ， 焦点在x轴上.2）a= ，c=4 ，焦点在坐标轴上.思考题：如果方程 表示双曲线，求m的取值范围。,答：双曲线的标准方程为,分析:,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),小结,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系：,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,课后思考: 当 时 ， 表示什么图形?,作业 ：一、 P108 习题 8.3: 2，3、(1)(2)二、预习课本P106例2、例3,欢迎指导,
