1、 2矩阵可对角化的条件 实对称矩阵的对角化 1特征值与特征向量 相似矩阵 第五章矩阵的特征值与特征向量 2矩阵可对角化的条件 实对称矩阵的对角化 2矩阵可对角化的条件 实对称矩阵的对角化 一 矩阵可对角化的条件 二 实对称矩阵的对角化 称矩阵A可对角化 定义1 矩阵A是一个阶方阵 若存在可逆矩阵 使为对角矩阵 即A与对角矩阵相似 则 一 矩阵可对角化的条件 定理1 设矩阵A是一个阶方阵 则A可对角化 有个线性无关的特征向量 推论若n阶矩阵A有n个不同特征值 则A可对角化 定理2 设矩阵A是一个阶方阵 则A可对角化 属于A的每个特征值的线性无关特征向量的个数 等于该特征值的重数 例1 设 问为何
2、值时 A可对角化 对角化的判断 1 求出矩阵A的全部互不相等的特征值 2 对每一个特征值 求出齐次线性方程组 步骤 的一个基础解系 此即A的属于的全部线性无关 的特征向量 3 若全部基础解系所含向量个数之和等于n 则 矩阵A可对角化 否则A不可对角化 4 以这些解向量为列 作一个n阶方阵P 则P可逆 就是对角矩阵 对角矩阵对角线上元素是A的 互不相等的特征值 例2 问A是否可对角化 若可 求可逆矩阵P 使 为对角矩阵 这里 得A的特征值是2 2 7 解 A的特征多项式为 对于特征值2 求出齐次线性方程组 对于特征值 7 求出齐次方程组 的一个基础解系 的一个基础解系 令 则 所以A可对角化 二
3、 实对称矩阵的对角化 性质1设A是实对称矩阵 则A的特征值都是实数 证 设是A的任意一个特征值 则有非零向量 满足 其中为的共轭复数 令 又由A实对称 有 于是 由于是非零复向量 必有 故 注 1 对称矩阵的特征值未必是实数 2 特征值皆为实数的实矩阵未必是实对称矩阵 3 反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数 性质2实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交 分别是属于的特征向量 则 证 设是A的两个不同特征值 即 故 即与正交 定理3 对n阶实对称矩阵A 总有正交矩阵T 使 其中为的全部特征值 注 实对称矩阵一定可以对角化 与对角矩阵 相似 且正交相似于对角矩阵 对于实对称矩阵A 使 成立的正交矩阵不是唯一的 实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤 i 求出A的所有不同的特征值 其重数必满足 ii 对每个 解齐次线性方程组 求出它的一个基础解系 它是A的属于特征值的特征向量 把它们按正交化过程化成两两正交的单位特 征向量 iii 以为列向量构成正交矩阵T 则有 为对角形 例3 设 1 求一可逆矩阵P 使成对角形 2 求一正交矩阵T 使成对角形 作业 作业2 习题8 作业1 习题2 3 作业3 习题9 2
