1、矩阵的对角化（李体政 徐宗辉） 教学目标与要求通过学习，使学生明白为什么要进行矩阵的对角化, 并且熟练掌握一般方阵对角化的方法, 特别是实对称矩阵的对角化方法. 教学重点与难 点教学重点： 一般方阵可以对角化的条件及其对角化; 实对称矩阵的对角化.教学难点： 求正交矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵. 教学方法与建 议先引入相似矩阵的概念, 通过分析相似矩阵的性质, 让学生看到: 讨论方阵与一个对角矩阵相似(在本节中我们称为矩阵的对角化)的问题是非常有意义的, 从而提出矩阵对角化的两个核心问题:(1)对于任何一个方阵,是否一定可以对角化(即存在性问题);(2)对于一个方阵,若可以对角化,那么如何进
2、行对角化.围绕这两个问题,完成本节课的教学任务. 教学过程设计1. 问题的提出我们先引入相似矩阵的概念: 定义 1: 对于阶数相同的方阵 和 , 若存在可逆方阵 , 使得ABP1P则称矩阵 与 相似, 记为 , 而对 进行的运算 称为对 进行的相似变换, AB:1A可逆方阵 称为把 变为 的相似变换矩阵.P利用相似矩阵的定义及前面的知识不难得出如下结论:性质 1: 设 , 则有1) ;2) ;rAB3) , 从而具有相同的特征值. II说明: 性质 1 表明, 假如矩阵 与 相似, 则 与 具有相同的行列式、相同的秩AB以及相同的特征值. 而且很自然地推出, 若 与一个对角矩阵 相似, 那么
3、的主对角线元素恰好就是 的 个特征值. 考虑到对角矩阵是一类性质优良的矩阵, 我们进一步会问:An1) 是否对任何方阵 , 都存在相似变换矩阵 , 使 (对角矩阵)?P1A2) 对 阶方阵 ,若存在相似变换矩阵 ,使 , 如何构造 ?nAP1AP2. 一般方阵的对角化我们先来讨论第二个问题. 设 , 并设12(,)ndiag:可逆, 由 得 , 即有12(,)nPp 1212(,)(,nnAppp 由此可见, 只要取 的列为矩阵 的 个特征向量即可. 因为12(,P A可逆, 所以 应线性无关. 12,n所以, 我们得出第一个问题的结论: 方阵 要与一对角矩阵相似, 则 必须要有A个线性无关的
4、特征向量. 进一步有下面的结论:n1) 由于方阵 的不同特征值所对应的特征向量线性无关, 故有A结论 1: 如果方阵 的 个特征值互不相同, 则 可以对角化.2) 若方阵 的 重特征值与它所对应的线性无关的特征向量的个数 有 ,即 为in imiin非亏损矩阵,那么 有 个线性无关的特征向量, 故有结论 2: 若方阵 为非亏损矩阵, 则 可以对角化.A当 , 即 为亏损矩阵,这时 没有 个线性无关的特征向量, 所以 不能对角iimnA化. 综上所述有如下定理:定理 1： 方阵 可以对角化的充要条件为 是非亏损矩阵A说明: 1) 定理 1 表明,方阵 的对角化问题最终归结为求方阵 的特征值以及求
5、特征值所对A应的齐次线性方程组的基础解系的问题, 同时也给出了构造相似变换矩阵 的具体方法.P2) 一般地, 我们不对非亏损矩阵进行一般性的讨论, 而仅仅讨论 为实对称矩阵的情形, 这种情形比较简单,而且实际应用上较为常见.3. 实对称矩阵的对角化和一般的方阵相比, 实对称矩阵具有更好的性质:性质 2: 设方阵 是实对称矩阵, 则有A1) 的所有特征值均是实数;2) 的不同特征值所对应的特征向量不但线性无关, 而且相互正交;定理 2: 设 为 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵 , 使nP112(,)nPdiag其中 为 的特征值.12,n说明: 1) 定理 2 表明, 任何实对称矩阵 都能对角化
6、为一个对角矩阵 ,而且 的主对角线A元素就是 的特征值, 同时说明 是非亏损矩阵;A2) 定理 2 的证明采用数学归纳法易于学生理解;3) 强调这里的矩阵 不仅可逆,而且是正交矩阵.P这样对于任何实对称矩阵 ,第一问题已经得到了圆满的解决,下面通过举例说明如何求正交矩阵, 使实对称矩阵对角化,这也是本节刚开始提出的第二个问题.4. 举例例 1 设 4031A求一正交矩阵 , 使 .P解: 240314IA由此得 的特征值为 .A123,4当 时 , 解方程组 得一个基础解系 , 将其规范化120IAx10,T得 110,2Tp当 时, 解方程组 得一个基础解系23440IAx, 21,T3,1
7、T由于 恰好正交, 所以只要规范化为23, 21,0Tp30,2Tp因此 12301, 2Pp并且 1(2,4)PAdiag由这个例子可见, 对于实对称矩阵 , 求一个正交矩阵 , 使得 的步骤如P1A下:第一步 求 的特征值;第二步 求对应于每个特征值的特征向量. 对单特征值, 只需将属于它的特征向量规范化; 对 重特征值,需要先求出属于它的 个线性无关的特征向量, 然后对这 个特征向rr r量进行正交规范化, 这样就可以得到 个两两正交的单位特征向量;n第三步 以正交规范化的特征向量为列组成矩阵, 它就是要求的正交矩阵 , 使P, 这时 的主对角线元素只需按组成 时特征向量的顺序依次将它们所属的1PAP特征值排列即可.说明: 由于方程组 的基础解系不唯一, 所以由此得到的正交矩阵0IAx不是唯一的. 比如在例 1 中, 对应于 的单位特征向量可取为P1210,Tp对应于 的基础解系可取为234, 21T31,T由于 不正交, 所以需先正交化, 取23,2.23342,3T再将 规范化得23, 21,3Tp321,6Tp于是 1203621136P练习 1 设 201A求一正交矩阵 ,使 .P练习 2 问 能否对角化? 若可以, 求可逆矩阵 和对角矩阵 .3564 P
