1、课 题：第 02 课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法教学目标：1、 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。2、 了解分析法和综合法的思考过程。教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法
2、，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果” ，后一种是“执果索因” 。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法” ；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法” 。二、典型例题：例 1、已知 ，且不全相等。求证：0,cbaabcca6)()()( 222 分析：用综合法。例 2、设 ，求证0,ba.23b证法一 分析法要证 成立.23a只需证 成立，又因 ，)()(bb0ba只需证 成立，又需证 成立，a22 2即需证 成立.而 显然成立. 由此命题得证。0)( 0)(2a证法二 综合法教学札记ababab
3、a 22222 00)(注意到 ，即 ，,由上式即得 ，从而 成立。)()(22 23议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例 3、已知 a，b，m 都是正数，并且 求证： （1）.ba.bam证法一 要证（1） ，只需证 （2）)()(m要证（2） ，只需证 （3）要证（3） ，只需证 （4）ab已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 是正数，所以 mab,amb两边同时加上 得 两边同时除以正数 得（1） 。)()()(mb例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横
4、截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面积L2L2L4L为 。所以本题只需证明 。24 24证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形L2L的水管的截面面积为 。只需证明： 。24 224L为了证明上式成立，只需证明 。162两边同乘以正数 ，得： 。因此，只需证明 。24L44上式显然成立，所以 。224L这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例 5、证明： 。c
5、abcba22证法一： 因为 （2）（3）c22（4）ac所以三式相加得 （5）)(2)(2cabcb两边同时除以 2 即得（1） 。证法二： ,0)(21)()()( 2222 acbacbacba所以（1）成立。例 6、证明： （1）.)()( 222d证明 （1） （2）0baccba（3）0)(22222 dbac（4）cdc（5）0)(2ab（5）显然成立。因此（1）成立。例 7、已知 都是正数，求证 并指出等号在什么时候成立？c, .33abc分析：本题可以考虑利用因式分解公式着手。)(3223 cacbaba 证明： c= )(22cac= .)()()(21222acbacb由
6、于 都是正数，所以 而 ，a, .00)()(22acb可知 33c即 （等号在 时成立）abcb探究：如果将不等式 中的 分别用 来代替，并在两c33 3,acba,边同除以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：，其中 是互不相等的正数，且 .27)1)()(1( ba cb, 1abc三、课堂小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、课堂练习：1、已知 求证：,0x.21x2、已知 求证,y.4yx3、已知 求证,0ba.ba4、已知 求证：.（1） （2） .4)(1 .8)()(332ba5、已知 都是正数。求证：dcba,（1） （2）;2cdab.44cdcba6、已知 都是互不相等的正数，求证c, 9)( ab五、课后作业：课本 25 页第 1、2、3、4 题。六、教学后记：高考试题库
