1、平移一. 本周教学内容：平移学习要求：1. 通过具体实例认识图形的平移变换，探索它的基本特征，理解平移的基本性质。2. 能按要求作出简单的平面图形平移后的图形。知识讲解：一. 平移的定义某一基本的平面图形沿着一定的方向平行移动而产生的结果，这种图形的平行移动简称为平移。二. 平移的性质1. 平移后的点、角、线段间的关系。图形经过平移后， “对应点连线平行（或在同一条直线上） ，并且相等” “对应角相等” “对应线段平行（或在同一条直线上） ，并且相等” 。2. 平移后图形的形状和大小的变化。平移后图形的形状和大小都没有发生变化。平移现象在我们生活中无处不在，平移的关键是方向、距离和它的特征，我
2、们可以利用它的特征，去解决平移的作图问题，所以它是本课的重点，学习中应注意：（1）应多体会平移的形成和应用过程，自觉地加以分析，逐步形成正确的数学观。（2）平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对应角分别相等，图形的大小形状都没有发生变化。（3）经过几次平移后得到的图形，或经过两次翻折（对称轴互相平行）后得到的图形，可以看成是原图形经过一次平移得到的。【典型例题】例 1. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，ADBC，BE 是 BC 的一部分。即 BE 平移的方向是射线 BC 的方向，平移的距离小于 BCB、E 的对应点 F、G 一定在 BC 边上。（2）DFG
3、 是ABE 平移得到的ABDC/，又 ，FCB例 2. 如图所示，ABC 是等边DEF 沿着线段 BC 方向平移得到的，请你想一想，图中共有多少个等边三角形？多少个平行四边形？ A D G B E C F 分析：ABC 沿 BC 方向平移到DEF 的位置，其中点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 是三对对应点，根据平移的特征，有 DE=AB，EF=BC，DF=AC；AD/BE，AD/CF，AB/DE，AC/DF；且点 B、E、C、F 四个点在同一条直线上，ABC 是等边三角形，DEF 也是等边三角形，又由平行线的性质，通过角与角的关系转化，易知AGD 和GEC 也是等边三角形，
4、同理四边形 ABED 和四边形 ACFD 是平行四边形。解答：图中一共有 4 个等边三角形，它们分别是ABC、DEF、AGD 和GEC，图中一共有两个平行四边形，它们分别是四边形 ABED 和四边形 ACFD。说明：要学会观察图形平移前后的位置变化，确定有关对应点，对应线段和对应角。例 3. 如图所示，在纸上画ABC 和两条平行的对称轴 m、n，画出ABC 关于直线 m 成轴对称的A 1B1C1，再画出A 1B1C1关于直线 n 成轴对称的A 2B2C2，观察ABC 和A 2B2C2，这两个三角形的位置关系是_。 m n A A1 A2 B C B1 C1 B2 C2 分析：由于ABC 和A
5、1B1C1关于直线 m 成轴对称，A 1B1C1又和A 2B2C2关于直线 n 成轴对称，故ABC 和A 2B2C2中，AC/A 2C2， /2， A/2、 A，BCAB22， ，则 AC2为ABC 平移后的图形。解答： 是ABC 平移后的图形。说明：若图形 A 与图形 B 关于直线 m 成轴对称，图形 B 与图形 C 关于直线 n 成轴对称，且直线 m/n，则图形 C 可看成是由图形 A 通过平移而成。例 4. 如图所示，A、B 两镇位于小河两旁，河岸 a/b，河宽为 d，现设计一座桥，使桥面垂直于河岸，桥址应如何选择才能使从 A 到 B 的路程最短？ A B D D a A d B b C
6、 C 分析：如图所示，假定桥在 CD 处，所谓 A 到 B 的最短路程，就是求折线 AD、CB 的最小值。解法 1：（1）过 A 作 a，垂足为 A（2）在 AA上截取 AB=d（3）连结 BB，交 b 于 C；（4）过 C 作 CDa 于 D。则 CD 即为符合设计要求的桥址。解法 2：将 A 沿垂直于河岸的方向平移至 B，使 AB与河宽相等，连结 BB，与靠近 B 点的河岸交于点 C，在 C 处架桥，则路程 ADCB 最短。说明：本题是一道利用平移解决的实际问题，对于一道数学实际问题，关键是它应用什么数学知识解答，即如何建立数学模型。例 5. 如图 1 所示，在ABC 的边 BC 上取两点
7、 D、E 且 BD=CE，你能运用三角形三边的关系和平移的知识发现并证明 AB+AC 与 AD+AE 之间的长度关系吗？ A B D E C 图 1分析：观察易发现 AB+ACAD+AE，关键是将这四条线段如何通过平移，转化到同一个三角形中来比较它们的长度关系。解答：AB+AC 与 AD+AE 之间的长度关系为：AB+ACAD+AE。证明：如图 2 所示，将AEC 沿着线段 EB 的方向由 E 点移动到 B 点得到ABD（即过 B 点作 BA/EA，过 D 点作 DA/CA，DA交 BA于点 A） 。ADBCEADBOOOABCE ()()() 是 平 移 得 到 的， ， 设 与 的 交 点
8、 为，A A O B D E C 图 2说明：解答本题的突破口是：根据 BD=CE，且 B、D、E、C 四点在同一条直线上，于是可将AEC 平移至ABD 的位置，这样，比较 AB+AC 与 AD+AE 的长度关系就转化成比较 AB+AD 与AD+AB 的大小关系，再运用三角形三边间的关系进行比较。例 6. 图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为 a，竖直方向的边长均为 b）：在如下图 1 所示中，将线段 A12向右平移 1 个单位到 B12，得到封闭图形 AB12（即阴影部分） ，在如下图 2 所示中，将折线 3向右平移 1 个单位到 123，得到封闭图形AB1231（即阴影部分）
9、 。 A1 B1 A2 B2 图 1 A1 B1 A2 B2 A3 B3 图 2（1）在如图 3 所示中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移 1 个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影。图 3（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1_； S2_； S3_。（3）联想与探索：如图 4 所示，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是 1 个单位） ，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。 草 小 草 地 路 地 图 4分析：本题主要考查平移的特征以及阴影部分的面积，在图 1 中 A2不管怎么画，平移后得
10、到的阴影部分 AB12的面积不变，均为 b。在图 2 中，可把阴影部分 B1321分为两部分，即 和 32，它们的底边都为 1，高之和为 b，所以阴影部分面积仍是 b。在图 3 中可用上述相同方法解决，阴影部分面积同样为 b，在图 4 中，可以猜想，阴影部分面积也为 b。解答：（1）画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致） ，如图 5 所示。 图 5（2） SabSabSab123， ，（3）根据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是 ab。方法：将“小路”沿左右两个边“剪去” ；将左侧的草地向右平移一定单位；得到一个新的矩形（如图 6 所示） 。草 草 地 地 图 6理由：在新得到的矩
11、形中，其纵向宽仍然是 b，其水平方向的长度变成了 a1，所以草地面积是： bab()1。【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）一. 填空题1. 图形的平移由_和_决定。2. 如图所示，在等边三角形 ABC 中，D、E、F 分别是边 BC、AC、AB 的中点，图中有四个小等边三角形，其中FBD 可以看成是由AFE 平移而得到，则平移的方向是_，平移的距离为_。 A F E B D C 3. 如图所示，四边形 ABCD 平移后得到的四边形 EFGH。（1）平移的方向是_，量出平移的距离约为_cm；（2）对应顶点有_，对应线段有_；（3） CDHE/， ；（4） FC， ；（5） /。 D H C
12、G A B E F 4. 如图所示，ABC 沿着 BC 方向平移到DEF 的位置，若 BE=2cm，则 CF=_。A D B E C F 二. 选择题5. 如图所示，矩形 ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一个阴影是平行四边形，根据图中尺寸，其中空白部分的面积是（ ）A. bcac2 B. abc2C. 2 D. ab26. 下列现象中，属于平移的是（ ）A. 乒乓球比赛中乒乓球的运动 B. 空中放飞的风筝的运动C. 推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行运动 D. 温度计水银柱上下移动7. 观察下面四幅图中，是由左图平移得到的是（ ）8. 如图所示，在边长为 1 的正方形网格内，下列方案中不能把A
13、BC 平移到DEF 的位置的是（ ）A. 先把ABC 沿水平方向向右平移 4 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度B. 把ABC 沿 BF 的方向由 B 至 E 移动 8 个单位长度C. 把ABC 沿 BE 的方向由 B 至 E 移动 5 个单位长度D. 先把ABC 向上平移 3 个单位长度，再沿水平方向向右平移 4 个单位长度9. 关于如图所示中各图案的说法不正确的是（ ）A. 只有（1）和（3）是平移B. （1）和（3）是平移， （2）和（4）也是平移C. 把（1）和（2）看成一个整体图案，它与由（3）和（4）组成的图案也是平移D. （1）和（2） 、 （2）和（3） 、 （1）和（4）
14、都是轴对称，不是平移10. 如图所示，将ABC 平移后得到DEF，BNF=100，则DEF 等于（ ）A. 100 B. 80 C. 50 D. 12011. 将 RtABC 沿直角边 AB 向右平移 2 个单位得到 RtDEF，如图所示，若 AB=4，ABC=90，且三角形 ABC 的面积为 6 个平方单位，试求图中阴影部分的面积。12. 如图所示，六边形 ABCDEF 中，AB/DE，BC/EF，CD/AF，其各对边之差相等，即BCEFDABFC0，求证：六边形 ABCDEF 的各角相等。13. 一机器人在点 A 处发现一个小球自 B 点处沿着射线 BO 方向匀速滚去，机器人立即从 A 处
15、匀速直线前进去拦截小球，若小球滚动速度与机器人行走速度相等，请在如图所示中标出机器人的平移方向及最快能截住小球的位置 C。 （本题中的机器人行走、小球滚动均视为点的平移） 。【试题答案】一. 填空题1. 方向、距离。2. 由 F 到 B（或点 F 到点 B 的方向） ，线段 FB 的长。点拨：由平移的特征知平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等。3. （1）如图所示，从点 A 沿 AE 到点 E 的方向便是平移方向。平移距离约为 2.2cm。 D H C G A B E F （2）对应顶点： EF， ， ，对应线段： ABCGDHA， ， ，（3） CDGH/，（4） F，（5） BA
16、E/点拨：只有找准对应顶点和对应线段（包括对应角） ，才能正确解决平移中的问题，依据平移的特征解题：对应线段平行且相等，对应角相等；对应点连线平行且相等。4. 2cm。点拨：ABC 沿着 BC 的方向移到DEF 的位置，根据平移的性质，经过平移，对应线段相等，因此 BC=EF，从而得到 BE=CF。二. 选择题5. B点拨：观察图形可知，四个空白四边形经过平移可构成一矩形，长= ac，宽 bc面 积 为 ()acbacb26. C点拨：图形的平移由移动的方向和距离决定，并且平移的方向在整个平移过程中保持不变；而 A、B 选项中物体运动的方向具有不确定性，因而应排除，而 D 项中水银的上下移动是
17、由热胀冷缩引起的，并且体积发生改变，属物理现象不是平移也应排除，答案为 C。7. B点拨：图形的平移不改变其形状和大小，A、C、D 选项应排除。8. B点拨：需找出每个关键点经过两次平移后的对应点。9. A点拨：在解答此题中要善于观察图形，发展图形之间的规律。10. B点拨：由平移的特征知 AB/DEDEFNA180又 B11. 15.点拨：由平移可知 AD=2，则 D2又 ，SABCSABCAB612即 24HSDB3215，.12. 过 A、C、E 分别作 AQ/BC、CF/DE、EP/AF，且交于 P、Q、R 三点四边形 APEF、AQCB、CDER 为平行四边形PQ=AQ-AP=BC-
18、EF同理 QR=DE-AB，PR=AF-CDPQRPQR， 即 为 等 边 三 角 形E180120同理 ACDRQB120CBAFDEFAPE120120， ， ，即六边形 ABCDEF 的各角相等，均为 120。点拨：由于所给的条件比较分散，可考虑平移 AF、ED、BC 到 PE、CR、AQ，则条件中的BEFDC、 ，直接显示为 PQ、QR、RP，且集中在等边三角形 PQR 里。13. 连结 AB，作 AB 的垂直平分线，交射线 BO 于点 C，则点 C 即为机器人截住小球的位置。机器人平移的方向为从点 A 到点 C 的方向。点拨：此题乍一看，无从下手，若换个角度，理解为“现要在射线上确定
19、一点，使该点到点A 和点 B 的距离相等” ，则由线段的垂直平分线的性质，便使问题迎刃而解。本题揭示了点动成线的基本规律，从现实中找到了真实原型。【励志故事】骆驼的无奈在动物园里的小骆驼问妈妈：“妈妈妈妈，为什么我们的睫毛那么的长？”骆驼妈妈说：“当风沙来的时候，长长的睫毛可以让我们在风暴中都能看得到方向。 ”小骆驼又问：“妈妈妈妈，为什么我们的背那么驼，丑死了！”骆驼妈妈说：“这个叫驼峰，可以帮我们储存大量的水和养分，是我们能在沙漠里忍耐十几天的无水无食的条件。 ”小骆驼又问：“妈妈妈妈，为什么我们的脚掌那么厚？”骆驼妈妈说：“那可以让我们重重的身子不至于陷在软软的沙子里，便于长途跋涉啊。 ”小骆驼高兴坏了：“哗，原来我们这么有用啊！可是妈妈，为什么我们还在动物园里，不去沙漠远足呢？”天生我才必有用，可惜现在没人用。一个好的心态+一本成功的教材+一个无限的舞台=成功。每人的潜能是无限的，关键是要找到一个能充分发挥潜能的舞台。
