1、课时作业 26 平面向量的数量积与应用举例一、选择题1设 xR，向量 a(1 ，x)，b(2，4)，且 ab，则 ab( )A6 B. 10C. D105解析：a(1，x)， b(2，4)且 ab，42x 0，x2，a(1，2)，ab10，故选 D.答案：D2(2018湖南湘中名校联考) 已知向量 a( x， )，b(x ，3)，若(2a b) b，则| a|( )3A1 B. 2C. D23解析：因为(2ab) b，所以(2ab) b0，即(3 x， )(x， )3 33x 23 0，解得 x 1，所以 a(1， )，3|a| 2，故 选 D.12 32答案：D3(2018河南豫北名校对抗赛
2、) 已知ABC 的外接圆的半径为1，圆心为点 O，且 3 4 5 0，则 ( )OA OB OC OC AB A. B.85 75C D.15 45解析：因为| | | O |1，由 3 4 5 0 得 3OA OB C OA OB OC 5 4 和 4 5 3 ，两个式子分别平方可得OA OC OB OB OC OA 和 .所以 ( ) OA OC 35 OB OC 45 OC AB OC OB OA OC OB .故选 C.OC OA 15答案：C4(2018安徽皖江名校联考) 在ABC 中，已知向量 (2,2)，AB | | 2， 4 ，则ABC 的面积为 ( )AC AB AC A4
3、B5C 2 D3解析： (2,2) ，| | 2 .AB AB 22 22 2 | | |cosA2 2cosA4， cosA ，AB AC AB AC 2 2200，n0)，若 mn1,2，则OB OC OA OB | |的取值范围是( )OC A ，2 B ，2 5 10 5 5C ， D ，2 5 10 5 10解析：本题考查平面向量的线性运算、向量的模由已知得 (3mn， m3n)，则OC | | ，由OC 3m n2 m 3n2 10m2 n2m0，n0,1mn2 ，得 1(mn) 22(m 2n 2)，当且仅当 mn 时取等号，所以 m2n 2 ，即 .又(m 2n 2)(mn)
4、24，所12 m2 n2 22以 2，所以 2，则 | |2 ，故选 A.m2 n222 m2 n2 5 OC 10答案：A二、填空题11(2017 新课标全国卷，文科) 已知向量 a( 1,2)，b( m,1)若向量 a b 与 a 垂直，则 m_.解析： a(1,2) ，b(m,1) ， ab(1m,21)( m1,3)又 ab 与 a 垂直， (ab)a0，即(m1)(1)320，解得 m7.答案：712(2018 合肥检测)不共线向量 a，b 满足|a| b|，且a( a2b)，则 a 与 b 的夹角为_解析：本题考查平面向量的数量积设 a、b 的夹角为， 0，由 a( a2b) 得
5、a(a2b)|a| 2 2ab|a| 22|a| 2cos0，解得 cos ，故 .12 3灵活应用数量积的运算法则是本题的解题关键答案：313(2018 广东五校高三第一次考试) 已知向量 a(1 ， )，3b(3 ，m)，且 b 在 a 上的投影为 3，则向量 a 与 b 的夹角为_解析：因为 ab3 m，|a| 2，|b| ，由3 1 3 9 m2|b|cosa，b3 可得| b| 3，故 3，解得 m ，故|b|ab|a|b| 3 3m2 32 ，故 cosa，b ，故a，b ，即向量 a 与 b 的9 3 3323 32 6夹角为 .6答案：614(2018 东北三省四市联考模拟)
6、两个单位向量 a，b 满足ab，且 a( xab)，则 |2a(x 1)b| _.解析：本题考查向量垂直的充要条件、向量的模因为 ab，所以 ab0，又 a(xa b)，所以 a(xab) xa2abx 0，所以|2a( x1) b|2|2ab |24a 24abb 25 ，所以 |2a( x1)b| .5答案： 5能力挑战15(2017 新课标全国卷) 已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 ( )的最小值是( )PA PB PC A2 B32C D143解析：方法一：(解析法)图(1)建立坐标系如图(1)所示，则 A，B ，C 三点的坐标分别为 A(0，)，
7、B (1,0)，C(1,0) 3设 P 点的坐标为( x，y)，则 (x ， y)，PA 3( 1x ，y)， (1x ，y)，PB PC ( )(x ， y)(2x，2y )2( x2y 2 y)PA PB PC 3 32 2 .当且仅当 x0，y 时，x2 (y 33)2 34 ( 34) 32 32( )取得最小值，最小值为 .PA PB PC 32故选 B.方法二：(几何法)图(2)如图(2) 所示， 2 (D 为 BC 的中点)，则 ( )PB PC PD PA PB PC 2 .PA PD 要使 最小，则 与 方向相反，即点 P 在线段 AD 上，PA PD PA PD 则(2 )
8、min2| | |，问题转化为求 | | |的最大值PA PD PA PD PA PD 又| | | |2 ，PA PD AD 32 3 | | | 2 2 ，PA PD (|PA | |PD |2 ) ( 32) 34 ( )min(2 )min2 .PA PB PC PA PD 34 32故选 B.答案：B16(2017 新课标全国卷) 在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 ，则 的最大值为( )AP AB AD A3 B2 C. D22 5解析：建立如图所示的直角坐标系，则 C 点坐标为(2,1)设 BD 与圆 C 切于点 E，连接
9、CE，则 CEBD . CD 1，BC2， BD ，12 22 5EC ，BCCDBD 25 255即圆 C 的半径为 ，255 P 点的 轨迹方程为(x 2) 2(y1) 2 .45设 P(x0，y0)，则Error! ( 为参数)，而 (x 0，y0)， (0,1)， (2,0) AP AB AD (0,1)(2,0)(2， )，AP AB AD x01 cos，y 01 sin.12 55 255两式相加，得1 sin1 cos2sin( )3255 55，(其 中 sin 55，cos 255)当且仅当 2k ，kZ 时， 取得最大值 3.2故选 A.答案：A17(2018 长沙模拟)已知| a|3，| b|4，ab0，若向量 c 满足(a c)(bc )0，则|c |的取值范围是_ 解析：本题考查平面向量的数量积设 a(3,0)，b(0,4)，c( x，y)，则 (ac)(bc )(3x ，y)( x,4y)x 23xy 24y 0，即 2(y2) 2 ，则点(x ，y)的轨迹为以(x 32) 254点 为圆 心，r 为半径的圆，| c|表示坐标原点到圆上一点的距离，(32，2) 52又圆心 到坐标原点的距离为 ，则 0 r|c| r5，则|c|(32，2) 52 52 52的取值范围是0,5答案：0,5
