1、课时作业 47 椭圆一、选择题1(2018河北张家口模拟) 椭圆 1 的焦点坐标为( )x216 y225A(3,0) B(0 ，3)C (9,0) D(0 ，9)解析：根据椭圆方程可得焦点在 x 轴上，且c2a 2b 2 2516 9，c3，故焦点坐标为(0，3)故选 B.答案：B2(2018湖南长沙一模) 椭圆的焦点在 x 轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是 2 的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )A. 1 B. y 21x22 y22 x22C. 1 D. 1x24 y22 y24 x22解析：由条件可知 bc ，a2，所以椭圆的标准方程为 2x24 1.故选 C
2、.y22答案：C3(2018上海浦东新区二模，3) 方程 kx24y 24k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( )Ak 4 Bk4C k 4 D0k4解析：方程 kx24y 24k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，即方程 x24 1 表示焦点在 x 轴 上的椭圆，可得 0k 4，故选 D.y2k答案：D4(2018陕西西安八校联考) 某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A. B.12 24C. D.22 32解析：依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为 a，则斜边长为 a，圆锥的底面
3、半径为 a、母线长为222a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为 a、短 轴长为 a，其离心率 e2 ，选 C.1 ( a2a)2 22答案：C5(2018泉州质检 )已知椭圆 1 的长轴在 x 轴上，x2m 2 y210 m焦距为 4，则 m 等于( )A8 B7C 6 D5解析：椭圆 1 的长轴在 x 轴上，x2m 2 y210 mError!解得 6b10)与双曲线 C2： 1( a20，b 20)的公共x2a21 y2b21 x2a2 y2b2焦点，它们在第一象限内交于点 M，F 1MF290，若椭圆的离心率 e1 ，则双曲线 C2 的离心率 e2 为( )34A. B.92 322C. D
4、.32 54解析：设|F 1M|m，|F 2M|n，m n，则 mn2a 1，mn2a 2，m2n 24c 2，可得 a a 2c 221 2可得 2，又 e1 ，1e21 1e2 34所以 e2 .故选 B.322答案：B7(2018宜昌调研 )已知 F1，F 2 分别是椭圆 1( ab0)的x2a2 y2b2左、右焦点，点 A 是椭圆上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点， | |2，若椭圆的离心率为 ，则直线 OA 的方程是( )OA OF2 OF2 22Ay x By x12 22C y x Dy x32解析：设 A(xA，yA)，又 F2(c,0)，所以 (x A，yA)(c,0)O
5、A OF2 cx A c2，因 为 c0，所以 xAc ，代入 椭圆 方程得 1，解得c2a2 y2b2yA ，故 kOA ，又 ，故 c a，故 kOAb2a b2ac b2ac a2 c2ac ca 22 22 ，故直线 OA 的方程是 y x，故选 B.a2 ( 22a)2a22a 22 22答案：B8(2018江西九江模拟) 椭圆 1(ab0) ，F 1，F 2 为椭圆x2a2 y2b2的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 为椭圆上一点，|OP | a，且24|PF1|，|F 1F2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( )A. B.24 23C. D.63 64解析：设 P(
6、x，y)，则| OP|2x 2y 2 ，a28由椭圆定义得，|PF 1|PF 2|2a，|PF 1|22|PF 1|PF2| PF2|24a 2，又|PF 1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，|PF 1|PF2|F 1F2|2 4c2，则|PF 1|2|PF 2|28c 24a 2，(x c) 2y 2( xc) 2y 28c 24a 2，整理得 x2y 25c 22a 2，即 5c 2 2a2，整理得 ，a28 c2a2 38椭圆的离心率 e .故选 D.ca 64答案：D9(2018江西高安模拟，5) 椭圆 C： 1(ab0) 的左焦x2a2 y2b2点为 F，若 F 关于直线 xy
7、0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则3椭圆 C 的离心率为( )A. B.12 3 12C. D. 132 3解析：设 F(c, 0)关于直线 xy 0 的对称3点 A(m，n)，则Error!m ，n c，c2 32代入椭圆方程可得 1，把 b2a 2c 2代入，c24a234c2b2化简可得 e48e 24 0，解得 e242 ，又30e 1，e 1，故选 D.3答案：D10(2017 新课标全国卷文科) 设 A，B 是椭圆 C： 1x23 y2m长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足AMB120，则 m 的取值范围是( )A(0,19，) B(0， 9，)3C (0,14 ，) D
8、(0， 4，)3解析：方法一：设焦点在 x 轴上，点 M(x，y)过点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 N，则 N(x,0)故 tanAMBtan(AMNBMN) 3 x|y| 3 x|y|1 3 x|y| 3 x|y|.23|y|x2 y2 3又 tanAMBtan 120 ，3且由 1 可得 x23 ，x23 y2m 3y2m则 .23|y|3 3y2m y2 3 23|y|(1 f(3,m)y2 3解得|y| .2m3 m又 03 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19
9、， ) 故选 A.答案：A二、填空题11(2018 苏州一模)若椭圆的两焦点与短轴的两端点在单位圆上，则椭圆的内接正方形的边长为_解析：不妨设椭圆的方程为 1(ab0) ，依题意得x2a2 y2b2bc 1，a ，则椭圆 的方程为 y 21 ，设椭圆的内接正方形在2x22第一象限的顶点坐标为(x 0，x0)，代入椭圆方程，得 x0 ，所以正方63形边长为 .263答案：26312(2018 江西赣州模拟) 已知圆 E：x 2 2 经过椭圆(y 12) 94C： 1( ab0)的左、右焦点 F1，F 2，与椭圆在第一象限的交x2a2 y2b2点为 A，且 F1，E，A 三点共线，则该椭圆的方程为
10、_解析：对于 x2 2 ，当 y0 时，x ，(y 12) 94 2F 1( ，0)，F2( ，0)，E 的坐标为 ，直线 EF1的方2 2 (0，12)程为 ，即 y x ，由Error!y 012 0 x 20 2 24 12得点 A 的坐标为( ，1)，2则 2a|AF 1|AF 2|4，a2， b 22，该椭圆的方程为 1.x24 y22答案： 1x24 y2213(2018 兰州一模)已知椭圆 1(ab0) 的左、右焦点x2a2 y2b2分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP| |F1F2|，12且|PF 1|PF2|a 2，则该椭圆的离心率为_解析：由|O
11、P | |F1F2|，且| PF1|PF2|a 2，可得点 P 是椭圆的短轴12端点，即 P(0，b)，故 b 2cc，故 a c，即 .12 2 ca 22答案：2214(2018 武汉调研)已知直线 MN 过椭圆 y 21 的左焦点x22F，与椭圆交于 M，N 两点直线 PQ 过原点 O 与 MN 平行，且 PQ与椭圆交于 P，Q 两点，则 _.|PQ|2|MN|解析：本题考查椭圆的几何性质因为 a ，b1，所以 c1，2当 MNx 轴时 ，由通径公式知 |MN| ，又 PQ 过原点且2b2a 22 2与 MN 平行，所以|PQ |2b2，所以 2 ；当直线 MN 的|PQ|2|MN| 4
12、2 2斜率存在时， 设直线 MN 的方程为 yk( x 1)，则直线 PQ 的方程为ykx ，由Error! 得(2 k21)x 24k 2x2k 220.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，所以 4k22k2 1 2k2 22k2 1|MN| |x1x 2| ，将代入化简1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2整理，得| MN| ；同理可求得|PQ| ，所以 221 k22k2 1 81 k22k2 1 |PQ|2|MN|2 .综上所述， 2 .822 2 |PQ|2|MN| 2答案：2 2能力挑战15(2018 烟台一模)已知椭圆 C 的中心在原点，
13、焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 .12(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 经过点 M(0,1)，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，若2 ，求直线 l 的方程AM MB 解析：(1) 设椭圆 方程为 1( a0， b 0)，x2a2 y2b2因为 c1， ，所以 a2，b ，ca 12 3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由题 意得直 线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 ykx1，则由Error!得(34k 2)x28kx 80，且 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 2 得 x12x 2.AM MB 又Error!所以Error!，消去 x2，得 2 .(8k3 4k2) 43 4k2解得 k2 ，k .14 12所以直线 l 的方程为 y x1，即 x2y20 或 x2y20.12
