1、课时作业 22 正弦定理和余弦定理一、选择题1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若sin(A B) ，a3， c4，则 sinA( )13A. B.23 14C. D.34 16解析： ，即 ，又 sinCsin(AB)asinA csinC 3sinA 4sinCsin(A B) ，sinA ，故选 B.13 14答案：B2(2018济南模拟 )在ABC 中，AC ，BC1，B60，13则ABC 的面积为( )A. B23C 2 D33解析：本题考查余弦定理、三角形的面积公式在ABC 中，由余弦定理得 AC2AB 2BC 22AB BCcosB，即( )132AB 2
2、1 221ABcos60，解得 AB4，所以ABC 的面积为S ABBCsinB 41sin60 ，故 选 A.12 12 3正确利用余弦定理求解三角形的边长是解题的关键答案：A3(2018重庆适应性测试) 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2b 2c 2ab ，则ABC 的面积为( )3A. B.34 34C. D.32 32解析：依题意得 cosC ，C 是三角形内角，即a2 b2 c22ab 12C 60，因此ABC 的面积等于 absinC ，选 B.12 12 3 32 34答案：B4(2018张掖市第一次诊断考试) 在ABC 中，内角 A，B，C的对边
3、分别是 a，b，c ，若 c2a，bsin BasinA asinC，则 sinB12为( )A. B.74 34C. D.73 13解析：由 bsinBasinA asinC，且 c2a，得 b a，cos B12 2 ，a2 c2 b22ac a2 4a2 2a24a2 34sinB .1 (34)2 74答案：A5(2018太原五中检测) 在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 sinA ，a2，S ABC ，则 b 的值为( )223 2A. B.3322C 2 D22 3解析：因为 SABC bcsinA bc ，所以 bc3.因为12 12 223 2AB
4、C 是锐角三角形，所以 cosA ，由余弦定理知13a2b 2c 2 2bccosA，即 4b 2c 223 ，所以 b2c 26.联立13，解得 bc ，故选 A.3答案：A二、填空题6(2017新课标全国卷) ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosBacosCccosA，则 B_.解析：方法一：由 2bcosBacosCc cosA 及正弦定理，得 2sinBcosBsin AcosCsinCcosA.2sin BcosBsin(AC)又 A BC，A CB.2sin BcosBsin(B)sinB.又 B (0，)，sinB 0，cos B .B .12 3
5、方法二：在ABC 中，acos Cc cosAb，条件等式变为 2bcosBb，cosB .12又 0BDC ，所以BCA ，所以 cosBCA .在ABC 中，4 6 32AB2AC 2 BC22ACBCcos BCA 262 2，所2 632以 AB ，所以ABC ，在 BCD 中， ，即26 BCsin BDC CDsin ABC ，解得 CD .622CD12 3答案： 38(2018深圳调研 )我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术” ，即ABC 的面积 S ，其中14a2c2 (a2 c2 b22 )2a，b，c 分别为 ABC
6、 内角 A，B，C 的对边若 b2，且 tanC，则 ABC 的面积 S 的最大值为 _3sinB1 3cosB解析：本题考查数学文化、三角恒等变换、正弦定理、三角形的面积公式、二次函数的图象与性质由 tanC ，可3sinB1 3cosB sinCcosC得 sinC (sinBcosCcosBsinC) sin(BC ) sinA，结合正弦3 3 3定理可得 c a，而 S 314a2c2 (a2 c2 b22 )2 12 ，当且仅当 a2，c23a4 (4a2 42 )2 12 a2 42 12 3时，等号成立，故ABC 的面积 S 的最大值为 .3 3答案： 3三、解答题9(2018山
7、东师大附中一模) 设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA acosB.3(1)求角 B 的大小；(2)若 b3， sinC2sinA，求 a，c 的值解析：(1) bsinA acosB，3由正弦定理得 sinBsinA sinAcosB.3在ABC 中， sinA0，即得 tanB ，B(0，) ，B .33(2)sinC2sinA，由正弦定理得 c2a，由余弦定理 b2a 2c 22ac cosB 即 9a 24a 22a2acos ，3解得 a ，c2a2 .3 310(2017 新课标全国卷) ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c .已知
8、ABC 的面积为 .a23sinA(1)求 sinBsinC；(2)若 6cosBcosC1，a3，求ABC 的周长解析：(1) 由 题设得 acsinB ，即 csinB .12 a23sinA 12 a3sinA由正弦定理得 sinCsinB .12 sinA3sinA故 sinBsinC .23(2)由题设 及 (1)得 cosBcosCsinBsinC ，12即 cos(BC) .12又 B C(0，)所以 BC ，故 A .23 3由题意得 bcsinA ，a3，所以 bc8.12 a23sinA由余弦定理得 b2c 2 bc9，即(b c)2 3bc9.由 bc8，得 bc .33
9、故ABC 的周长为 3 .33能力挑战11(2018 东北四市高考模拟) 已知点 P( ，1)，Q (cosx，sinx)，3O 为坐标原点，函数 f(x) .OP QP (1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 A 为ABC 的内角，f(A) 4，BC 3， ABC 的面积为，求 ABC 的周长334解析：(1) 由 题易知， ( ，1)，OP 3 ( cosx,1sinx)，QP 3所以 f(x) ( cosx)1sinx42sin ，3 3 (x 3)所以 f(x)的最小正周期 为 2.(2)因为 f(A)4，所以 sin 0，则 A k ，kZ，即(A 3) 3A k， kZ，因为 0A，所以 A ，3 23因为ABC 的面积 S bcsinA ，所以 bc3.12 334由 a2b 2c 22bc cosA，可得 b2c 26，所以(bc)2b 2c 2 2bc12，即 bc 2 .3所以ABC 的周长为 32 .3
