1、单元质检卷九 解析几何(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2018 名校联盟二模,4)“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1= 0 和直线 ax-3y+3=0 垂直”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2019 届河北武邑中学调研三 ,文 7)双曲线 my2-x2=1 的一个顶点在抛物线 y=x2 的准线上,则该双曲线的离心率为( )A. B.2 C.2 D.5 5 3 3来源:Z|xx|k.Com3.已知直线 l: =1(a0,b0)将圆 C:x2+y2-2x-
2、4y+4=0 平分,则直线 l 与两坐标轴围成的三角形的+面积的最小值为( )A.8 B.4 C.2 D.14.(2018 西藏自治区拉萨中学模拟 ,11)已知直线 x-y+m=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且OAB为正三角形,则实数 m 的值为 ( )A. B.32 62C. 或- D. 或-32 32 62 625.(2018 广东佛山七校联考,5)已知双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线2222上,OAF 是边长为 2 的等边三角形( O 为原点), 则双曲线的方程为 ( )A. -y2=123B.x2- =123C. =124212D
3、. =1212246.已知直线 l:mx+y-1=0(mR) 是圆 C:x2+y2-4x+2y+1=0 的对称轴,过点 A(-2,m)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|的值为( )A.4 B.2 C.4 D.35 27.(2019 届湖南、湖北八市十二校一调联考 ,9)已知点 A(0,2),抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,射线FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,若 ,则 p 的值等于( )|=55A. B.C.2 D.48.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B 为
4、切点,若四边形 PACB 面积的最小值是 2,则 k 的值是( )A. B.2212C.2 D.2 29.(2018 河北衡水二模,9)已知 O 是坐标原点,双曲线 -y2=1(a1)与椭圆 +y2=1(a1)的一个交2 2+2点为 P,点 Q( ,0),则POQ 的面积为( )+1A. B.aC.1 D.1210.(2018 河北衡水中学第十七次模拟 ,10)若抛物线 y2=4x 的焦点是 F,准线是 l,点 M(4,m)是抛物线上一点,则经过点 F,M 且与 l 相切的圆共有( )A.0 个 B.1 个C.2 个 D.4 个11.(2018 四川成都七中三诊,11)已知双曲线 C: -4y
5、2=1(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于22,抛物线 E:y2=2px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合,则抛物线 E 上的动点 M 到直线 l1:4x-3y+6=034和 l2:x=-1 距离之和的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.412.(2018 青海西宁二模,11)抛物线 C1:y2=4x 和圆 C2:(x-1)2+y2=1,直线 l 经过 C1 的焦点 F,依次交C1,C2 于 A,B,C,D 四点,则 的值为( )A. B.1 C.2 D.4二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知点 A(1,0),B(3,0),若直线 y=kx+1 上
6、存在点 P,满足 PAPB,则 k 的取值范围是 . 14.(2019 届河北衡水联考,14)已知点 P(-1,2)及圆(x-3) 2+(y-4)2=4,一光线从点 P 出发,经 x 轴上一点 Q反射后与圆相切于点 T,则|PQ|+|QT|的值为 . 15.(2018 河南南阳联考,15)M 是抛物线 C:y2=4x 上一点,F 是抛物线 C 的焦点,O 为坐标原点且|MF|=2,K 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点,则MKO= . 16.(2018 云南曲靖一中质检七 ,16)已知椭圆 =1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 P,直22+22线 l:x-2y=0 交椭圆于 A,B
7、 两点,若|AF|+|BF|= 2,点 P 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆离心率的取值55范围是 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分)17.(14 分)(2019 届广东广州测试 ,20)设 O 为坐标原点,曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上有两点 P,Q,满足关于直线 x+my+4=0 对称,又满足 =0.(1)求 m 的值;(2)求直线 PQ 的方程 .18.(14 分)(2019 届广东湛江调研 ,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率 e= ,且右焦点为22+22 63(2 ,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作
8、等腰三角形,顶点为 P(-3,2).2(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求PAB 的面积.19.(14 分)(2019 届四川成都棠湖中学模拟 ,20)如图,已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴上,抛物线上的点 A 到 F 的距离为 2,且 A 的横坐标为 1.过 A 点作抛物线 C 的两条动弦 AD,AE,且 AD,AE的斜率满足 kADkAE=2.(1)求抛物线 C 的方程;(2)直线 DE 是否过某定点 ?若过某定点,请求出该点坐标;若不过某定点 ,请说明理由.20.(14 分)(2018 东北师范大学附中五模 ,20)已知椭圆 C: =1(a0,b0)的离心率为 ,点2
9、2+22 32 3,12在 C 上.(1)求椭圆 C 的方程;(2)过点 A(-2,0)作直线 AQ 交椭圆 C 于另外一点 Q,交 y 轴于点 R,P 为椭圆 C 上一点,且 AQOP,求证: 为定值.|221.(14 分)(2019 届江西抚州七校联考 ,20)已知圆 M 与直线 3x- y+4=0 相切于点(1, ),圆心 M 在 x7 7轴上.(1)求圆 M 的方程 ;(2)过点 M 且不与 x 轴重合的直线 l 与圆 M 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,直线 OA,OB 分别与直线x=8 相交于 C,D 两点,记OAB,OCD 的面积分别是 S1,S2,求 的取值范围.12单元
10、质检卷九 解析几何1.A 当 a=1 时,直线(2a+1)x+ay+1=0 的斜率为-3,直线 ax-3y+3=0 的斜率为,两直线垂直; 当 a=0 时,两直线也垂直,所以“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1= 0 和直线 ax-3y+3=0 垂直” 的充分不必要条件,故选A.2.A 抛物线的方程为 y=x2, 抛物线的准线方程为 y=-. 双曲线 my2-x2=1 的一个顶点在抛物线y=x2 的准线上, 双曲线的顶点坐标为 0,- , a=.又 b=1, c= ,则双曲线的离心率为 .故52 =5选 A.3.B 圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心坐标为(1,2),则 =1
11、2 , ab8,1+2 2当且仅当 a=2,b=4 时,等号成立. 直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S= ab4.12 直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是 4,故选 B.4.D 由题意得,圆 O:x2+y2=1 的圆心坐标为(0,0),半径 r=1.因为OAB 为正三角形,则圆心 O 到直线x-y+m=0 的距离为 r= ,即 d= ,解得 m= 或 m=- ,故选 D.32 32 |2=32 62 625.B 双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,OAF 是边长为 2 的等边2222三角形(O 为原点),可得 c=2, ,即 =3, =3
12、,解得 a=1,b= ,双曲线的焦点坐标在 x 轴,所=3 22 2-22 3得双曲线的方程为 x2- =1,故选 B.236.A 由 x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2) 2+(y+1)2=4, 圆心 C(2,-1),半径 r=2.由题意可得,直线 l:mx+y-1=0 经过圆 C 的圆心(2,-1), 2m-1-1=0, m=1,点 A(-2,1). AC= ,CB=r=2,20 切线的长|AB|= =4.20-47.C 设 F ,0 ,MK 是点 M 到准线的距离,点 K 是垂足.由抛物线定义可得 |MK|=|MF|,因为,所以 ,那么|KN| |KM|=2 1,即直线 FA 的
13、斜率是- 2,所以 =-2,解得 p=2.|=55 |=55 2-00-2故选 C.8.C 圆的方程为 x2+(y-1)2=1, 圆心 C(0,1),半径 r=1.当四边形 PACB 的面积最小时,圆心 C 到点 P 的距离最小,最小值为圆心 C 到直线kx+y+4=0(k0)的距离 d,此时 PA=PB=2. d= ,解得 k=2.5=|1+4|1+2 k0, k=2.故选 C.9.D 由题意知两曲线有相同的焦点 ,设左右两个焦点分别为 F1,F2,根据双曲线的定义得到|PF 1|-|PF2|=2 ,根据椭圆的定义得到|PF 1|+|PF2|=2 , +2联立两个式子得到|PF 1|= ,|
14、PF2|= ,由椭圆与双曲线的标准方程得|F 1F2|=2+2+ +2,+1所以 Q 与 F2 重合,由余弦定理得到 cosF 1PF2= =0,故F 1PF2= ,2(2+2)-4(+1)2 2则 SPOQ = )( )= ,故选 D.1212=1212(+2+ +2 1210.D 因为点 M(4,m)在抛物线 y2=4x 上,所以可求得 m=4.由于圆经过焦点 F 且与准线 l 相切,所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上.又圆经过抛物线上的点 M,所以圆心在线段 FM 的垂直平分线上,故圆心是线段 FM 的垂直平分线与抛物线的交点.结合图形知对于点 M(4,4)和(4,-4), 线段 FM
15、的垂直平分线与抛物线都各有两个交点.所以满足条件的圆有 4 个.故选 D.11.B 由双曲线方程 -4y2=1(a0)可得,双曲线的右顶点为(a,0),渐近线方程为 y= x,即22 12x2ay=0. 双曲线的右顶点到渐近线的距离等于 , ,解得 a2=, 双曲线的方程为34 1+42=34-4y2=1, 双曲线的焦点为(1,0).又抛物线 E:y2=2px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合, p=2, 抛423物线的方程为 y2=4x,焦点坐标为 F(1,0).如图,设点 M 到直线 l1 的距离为|MA|,到直线 l2 的距离为|MB|,则 |MB|=|MF|, |MA|+|MB|=|M
16、A|+|MF|.结合图形可得当 A,M,F 三点共线时,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,且最小值为点 F 到直线 l1 的距离 d=2.故选 B.|41+6|42+3212.B 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),易知直线 l 存在斜率且不为 0,设方程为 y=k(x-1),联立得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,解得 A 1+ ,D 1+=(-1),2=4, 2222+12 ,222+12,22+22+12 ,2+22+12联立 得(k 2+1)(x-1)2=1,解得 B 1- ,- ,C 1+ ,=(-1),(-1)2+2=1, 12+1 2+1 12+1, 2+
17、1则 = - ,- , =12+122+22+12 2+12+22+1,则 =1.22+22+12 12+1,2+22+1 2+113. 以 AB 为直径圆的方程为(x-1)(x- 3)+y2=0,把 y=kx+1 代入上述方程可得(1+k 2)x2+(2k-4)-43,0x+4=0. 直线 y=kx+1 上存在点 P,满足 PAPB, =(2k-4)2-16(1+k2)0,化为 3k2+4k0.解得- k0,则 k 的取值范围是 .43 -43,014.4 点 P 关于 x 轴的对称点为 P(-1,-2),3由反射的对称性可知,直线 PQ 与圆相切,|PQ|+|QT|=|PT|, 圆(x-3
18、) 2+(y-4)2=4 的圆心坐标为 A(3,4),半径 r=2, |AP|2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2, |PQ|+|QT|=|PT|= =4 ,故答案为 4 .|2-|2 3 315.45 由抛物线的对称性不妨设 M(x1,y1)(y10),则 x1+1=2,得 M(1,2),因为 K(-1,0),O(0,0),所以=(2,2), =(1,0),可得 =2,| |=2 ,| |=1.cosMKO=cos = , 2 ,|=22所以MKO=45.16. 设椭圆的左焦点为 F,连接 AF,BF(图略), 因为点 A、B 关于原点对称,所以(0,32|AF|+|B
19、F|=|BF|+|AF|=2,则|AF|+|AF|+|BF|+|BF|=4,即 2a=2,a=1,设 P(0,b),因为点 P 到直线 l 的距离不小于 ,所以 ,即 b,即 c= ,即 0, ,即椭圆离心率的取值范围是 0,55 |2|555 1-232 32.3217.解 (1)x2+y2+2x-6y+1=0(x+1)2+(y-3)2=9,所以曲线为以(-1,3) 为圆心,3 为半径的圆,由已知,直线过圆心,所以-1+3m+4=0,解得 m=-1.(2)设 PQ:y=-x+b,联立方程组 2+2+2-6+1=0,=-+, 得 2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0,设 P(x1,y1)
20、,Q(x2,y2),则有 x1+x2=b-4,x1x2= ,2-6+12又 =0,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2-b(x1+x2)+b2=0,将 x1+x2=b-4,x1x2= 代入上式得 b2-2b+1=0,2-6+12所以 b=1,所以直线 PQ 的方程为 y=-x+1.18.解 (1)由已知得 c=2 ,解得 a=2 .2,=63 3b2=a2-c2=4, 椭圆 C 的标准方程为 =1.212+24(2)设直线 l 的方程为 y=x+m,代入椭圆方程得4x2+6mx+3m2-12=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 E(x0,y0),则 x0= =-
21、 ,y0=x0+m= ,1+22 34 4因为 AB 是等腰三角形 PAB 的底边,所以 PEAB.所以 PE 的斜率为 k= =-1,解得 m=2,2-4-3+34此时方程 为 4x2+12x=0.解得 x1=-3,x2=0,所以 y1=-1,y2=2,所以|AB|=3 ,2此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离d= ,|-3-2+2|2 =322所以PAB 的面积 S= |AB|d= .12 9219.解 (1)设抛物线方程为 C:y2=2px(p0),由其定义知|AF|= 1+ ,又|AF|=2,2所以 p=2,y2=4x.(2)易知 A(1,2),设 D(x1,y
22、1),E(x2,y2),DE 方程为 x=my+n(m0).把 DE 方程代入抛物线 C,并整理得 y2-4my-4n=0,=16(m2+n)0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.由 kADkAE= =2 及 =4x1, =4x2 得1-21-12-22-1 21 22y1y2+2(y1+y2)=4,即-4n+24m=4,所以 n=2m-1,代入 DE 方程得:x=my+2m-1,即(y+2) m=x+1,故直线 DE 过定点(- 1,-2).20.解 (1)由题可得 e= ,=32且 =1,a2=b2+c2,(3)22 +(12) 22所以 a=2,c= ,b=1,3所以椭圆 C 的方程为
23、 +y2=1.24(2)设直线 AQ:y=k(x+2),R(0,2k),由 (1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,=(+2),24+2=1由韦达定理可得:1+2=-1621+42,12=162-41+42,x1=-2,x2=xQ= ,2-821+42则|AQ|= |xQ-x1|= +2 = ,1+21+22-821+42 1+2 41+42|AR|= |0-(-2)|=2 ,|OP|= |xP-0|,1+2 1+2 1+2令直线 OP 为 y=kx 且令 yP0,xP0.得 (1+4k2)x2-4=0,=,24+2=1,由韦达定理可得 x2=xP= ,1+2=0,12= -41+4
24、2, 41+42所以|OP|= =2,21+21+42,|2 =41+42241+42所以 为 2.|R|221.解 (1)设圆的方程为( x-a)2+y2=r2,(1-)2+7=2,71-37=-1,解得 a=4,r=4,所以圆的方程为(x-4) 2+y2=16.(2)由题意知:AOB= ,2设直线 OA 的斜率为 k(k0),则直线 OA 的方程为 y=kx,由 得(1+k 2)x2-8x=0,=,2+2-8=0,解得 则点 A 的坐标为 ,又直线 OB 的斜率为- ,同理可得=0,=0,或 = 81+2,= 81+2, 81+2, 81+2 1点 B 的坐标为 .821+2, -81+2由题意知,C(8,8k), D 8,- ,8因此, .12=又 ,同理, ,=81+28 = 11+2 = 21+2所以 ,当且仅当|k|=1 时取等号.12= 24+22+1= 12+12+214又 0,所以 的取值范围是 0, .1212 14
