1、1981 年2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编9、解析几何部分2018A 4、在平面直角坐标系 中，椭圆 （ ）的左右焦点分别是xOyC1:2byax0a，椭圆 的弦 与 分别平行于 轴和 轴，且相交于点 ，已知线段21,FCSTUVP的长分别为 ，则 的面积为 PVSU, 6,32121FP答案： 5解析：由对称性，不妨设点 在第一象限，则 ，0,yx 20PSTx120PUVy即 。进而可得 ， ，代入椭圆方程解得： ， ，从而,2,1,4S20a5b。52011 yFSPF2018B 6、设抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 作一直线 与抛物线 相切xC2: A)0,1(BlC
2、于点 ,过点 作 的平行线，与抛物线 交于点 ，则 的面积为为 KAlCNM,K答案： 21解析:设直线 与 的斜率为 ， ， 分别联立抛物线方程得到：lMNk:l1yx:21ykx（ ） ，和 （ ）022yk02y对（ ）由 得 ；对（ ）得k 242kyNM所以 121KBANMBNKMSS2017A 3、在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ， 是 的焦点， 为 的xOyC1092yxFCA右顶点， 是 上位于第一象限内的动点，则四边形 的面积最大值为 PCOAP答案： 21解析：由题意得 ， ，设 点的坐标为 ，其中 ，则0,3A1,FPsin10,co32,0，可得面积最大值为 i
3、2s2sin2OFPAOPFSS。2132017B 7、设 为非零实数，在平面直角坐标系 中，二次曲线 的焦距为 ，axOy022ayx4则实数 的值为 答案： 21解析：二次曲线方程可写成 ，显然必须 ，故二次曲线为双曲线，其标准方21xya0a程为 ，则 ，注意到焦距 ，可知221()(yxa222()(c24c，又 ，所以 .24a072018A 11、 （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 中，设 是抛物线 的过点xOyABxy42的弦， 的外接圆交抛物线于点 （不同于点 ） 若 平分 ，求)0,1(FAOBP,PF的所有可能值。P解析：设 ， ， ，由已知条件知 两两不等且不为 0
4、.12,4yA2,yB32,4yA321,y设直线 的方程为 ，由 得 ，知 ，txxt12042t421。ty421设外接圆的方程为 ，由 得 ，02eydxxyedx402 04162eydy知该四次方程的根即为 ，由根与系数关系得 ，即 ，321,0 321321又 平分 ，由角平分线定理得 ，结合PFAB2yFBAP所以212112323213213221 64 yyyyy 96116821221yy即 ，22626 494y0192421421 yy当 时， ，此时 ，得 与 重合，舍去。021y1y03PO当 时，由得 ，得424 0892121yy，所以这样的 是存在的，对应的
5、也是存在的。212183yy2, BA,所以 13408421 yPF2018B 11、 （本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 中， 与 分别是椭圆xOyBA,DC,（ ）的左、右顶点与上、下顶点设 是椭圆上且位于第一象限的两1:2byax0a QP,点，满足 ， 是线段 的中点，射线 与椭圆交于点 .APOQ/MOMR证明：线段 能构成一个直角三角形。BCR,证明:设点 的坐标为 ，由于 ，则 ，P0,yxAPOQ/OA又 ，所以 ，故存在实数 ，使得 ,OMR/ 21,PQ，此时点 的坐标可以分别表示为 ， 。由AR, 00,yax00,yax于点 在椭圆上，所以 ，化简整理得
6、RQ, 11202020202byaxbyax，则 ， （ ）12200ax )(02x)(20xa因此， ， 02020 yyaxORQ2020)()(2 axyxa)()( 02020 xyax00201xaay20202baBC线段 能构成一个直角三角形。ORQ,2017B 11、 （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 中，曲线 ，曲线xOy1C:xy422C:经过 上一点 作一条倾斜角为 的直线 ，与 交于两个不同的点 ，8)4(2yx1CP045l2RQ,求 的取值范围。PRQ解析：设 ，则直线 的方程为 ，代入曲线 的方程得，2(,)tl 2yxt2C，2(4)8x化简可得： ，
7、22(4)()80txt由于 与 交于两个不同的点，故关于 的方程的判别式 为正，计算得，l2C2222(4)()()()16()16ttttt，2884因此有 ，(,0)2,t设 的横坐标分别为 ，由知， ， ，,QR1x21xt212()8xt因此，结合 的倾斜角为 可知，l452224111|()()()Pxttxtxt:2 4()8t332488t，428t2()4t由可知， ，故 ，从而由得：,(,1)2()0,4(,196)t2|()8PQRt:注 1：利用 的圆心到 的距离小于 的半径，列出不等式 ，2Cl2C2|t同样可以求得中 的范围.t注 2：更简便的计算 的方式是利用圆幂
8、定理，事实上， 的圆心为 ，半径为|PQR: 2C(4,0)M，故 .r2224|(4)()8Mrttt2016A 7、双曲线 的方程为 ，左右焦点分别为 、 ，过点 作一直线与双曲线C132yx1F22的右半支交于点 、 ，使得 ，则 的内切圆半径是 CPQ019PFPQ1答案： 17解析：由双曲线的性质知， ， 43212121FF因 =90，故 ，因此PQF12FP从而直角 的内切圆7)()( 221212 PQ1半径是 )(122 QFQr2016A 11、 （本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系中， 是 轴正半轴上的一个动点。设x为焦点， 为顶点作抛物线 。设 是第一象限内
9、抛物线 上的一点， 是 轴负半轴上的一FOCPC点，使得 为抛物线 的切线，且 ，圆 ， 均与直线 相切于点 ，且均与 轴PQ2|Q12PQx相切。求点 的坐标，使得圆 与 的面积之和取到最小值。1解析：设抛物线 C 的方程是 ，点 Q 的坐标为 ，并设 的圆)0(2pxy )0(,a21,C心分别为 ),(),(21xOy设直线 PQ 的方程为 ，将其与 C 的方程联立，消去 可知max02pmy因为 PQ 与 C 相切于点 P，所以上述方程的判别式为 ，解0242pam得 进而可知，点 P 的坐标为 于是pa ),(),(ayxP)2(21|0|1|2 ppaymPQP 由PQ=2 可得5
10、42pa分注意到 OP 与圆 相切于点 P，所以 设21,C21O圆 与 轴分别相切于点 M，N ，则 分别21,x,是 的平分线，故 =90从而PO21由射影定理知 payxOPy P22221212 结合，就有 10 分34apay由 共线，可得21,OP2112121 yNOMPypay 化简得15 分2121y令 ，则圆 的面积之和为 根据题意，仅需考虑 T 取到最小值的情况21T21,CT根据、可知， 212121214)( ypayy2222 )(3()()34( aa作代换 ，由于 ，所以 于是1t042pt t431313)(3 tttT上式等号成立当且仅当 ，此时 ，因此结合
11、得，t 1ta3131122ttap从而 F 的坐标为 20 分)0,()0,2p2016B 6、在平面直角坐标系 中，圆 关于直线 对称的圆为xOy0:21ayxCl,则直线 的方程为 032:22 ayxyCl答案： 45.解析： 的标准方程分别为12,C22212:,:1.Cxyxya由于两圆关于直线 对称，所以它们的半径相等因此 解得 故 的圆心l 20,.12,C分别是 直线 就是线段 的垂直平分线，它通过 的中点 ，由此120,.Ol12O12O1,2M可得直线 的方程是l450.xy2016B 11、 （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 中，双曲线 的方程为 求符合xyC12
12、yx以下要求的所有大于 的实数 ：过点 任意作两条互相垂直的直线 与 ，若 与双曲线 交1a0, 1l2lC于 两点， 与 交于 两点，则总有 成立QP,2lCSR, RSPQ解析：过点 作两条互相垂直的直线 与,0a1:lxa2:0.ly易知， 与 交于点 （注意这里 ） ， 与 交于点1l 2200,Pa1a2lC由条件知 ，解得00,RS2001QRS.这意味着符合条件的 只可能为a.下面验证 符合条件2事实上，当 中有某条直线斜率不存在时，则可设 ，就是前面所讨论的1,l 12:,:0lxaly的情况，这时有 若 的斜率都存在，不妨设12,l .PQRS12,l2:,: 0,ykxly
13、xk注意这里 （否则 将与 的渐近线平行，从而 与 只有一个交点） 11lC1lC联立 与 的方程知， 即1l 220,xk2210,kxk这是一个二次方程式，其判别式为 故 与 有两个不同的交点 同样， 与240k1lC,PQ2l也有两个不同的交点 由弦长公式知，C,.RS22411.kkPQ用 代替 ，同理可得 于是k221.1kRS.PQRS综上所述， 为符合条件的值2a2015A 11、 （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 中， ， 分别是椭圆 的左右xOy1F212yx焦点，设不经过焦点 的直线 与椭圆交于两个不同的的 ，点 到直线 的距离为 ，如果1Fl BA,2ld直线 ，
14、， 的斜率依次成等差数列，求 的取值范围。1AlBd解析：由条件知，点 、 的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) 设直线 l 的方程为 ，12 ykxm点 A、B 的坐标分别为 和 ，则 满足方程 ，即(,)xy2(,)12,x22()1xkm2()4kkm由于点 A、B 不重合，且直线 l 的斜率存在，故 是方程的两个不同实根，因此有的12,判别式 ，即222(1)()8()0k 21由直线 的斜率 依次成等差数列知， ，又1,Fl 21,ykx 12ykx，所以 ，化简并12ykxmyk 2()1()()1mxkx整理得， 12()0假如 ，则直线 l 的方程为 ，即 z 经过点 （-
15、1, 0)，不符合条件yk1F因此必有 ，故由方程及韦达定理知， ，即12x 1224()mxk k由、知， ，化简得 ，这等价于 2221()kmk24k|2k反之，当 满足及 时，l 必不经过点 （否则将导致 ，与矛盾）, 而此,| 1Fm时 满足，故 l 与椭圆有两个不同的交点 A、B，同时也保证了 、 的斜率存在（否则,mk 1ABF中的某一个为- l，结合 知 ，与方程有两个不同的实根矛盾） 1012x120x12x分点 （l , 0）到直线 l: 的距离为Fykm2222|()11kd k 注意到 ，令 ，则 ，上式可改写为|k21tk(,3)t213()()tdt考虑到函数 在
16、上上单调递减，故由得， ，即1ft,3 (3)(1)fdf20 分(3,2)2015B 7、设 为椭圆 上的动点，点 ，则 的最大值为 P1342xy )1,0(,BAPBA答案： 5解析：取 F ( 0 , l )，则 F, B 分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4因此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|4+|FA|=4+l= 5当 P 在 AF 延长线与椭圆的交点 时，|PA|+|PB|最大值为 53(,1)22015B 11、 （本题满分 20 分）已知椭圆 的右焦点为 ，存在经过点)0(2bayx )0,(cF的一条直线 交椭圆于 两点，使得 ，求该椭
17、圆的离心率的取值范围FlBA,OBA解析：设椭圆的右焦点 F 的坐标为（ , 0)显然 l 不是水平直线，设直线 l 的方程为 ，c xkyc点 A、B 的坐标分别为 ， 将直线 l 的方程与椭圆方程联立，消去 得 1(,)xy2()222()40bkaykbca由韦达定理 12422,().kbybaa1112()OABxkycy 2121()()kykcy5 分4222()k c4ba因为 等价于 ，故由上式可知，存在满足条件的直线 l，等价于存在实数0OAB，使得 , 42back422(1)abkc显然存在 满足等价于 15 分又 ，所以等价于 ，两边除以 得到204a,即 22(1)
18、0ca2()e由于 ，解得： 20 分e51,2014A 6、设椭圆 的两个焦点 、 ，过点 的直线与 交于点 ，若 且1F21QP,|2F|21，则椭圆 的短轴与长轴的比值为 |4|311QFP答案： 762解析：不妨设 ， 。记椭圆 的长轴，短轴的长4|1PF3|1Q度分别为 ， ，焦距为 ，则 ，且由椭圆的定义知，a2bc2cFP2|124| 121 Q于是 | 12cQFP设 为线段 的中点，则 ，且有 。由勾股定理知，H1 5|,2|H12PF1122 | FQ即 ，解得 ，进而 ，)(5)(ccc6,7ba因此椭圆 的短轴与长轴的比值为62ab2014A 9、 （本题满分 16 分
19、）平面直角坐标系 中， 是不在 轴上的一个动点，满足条件：过xOyPx可作抛物线 的两条切线，两切点连线 与 垂直.设直线 与直线 ， 轴的交点Pxy42lPlOx分别为 。RQ,证明： 是一个定点；求 的最小值。解析：（1）设 点的坐标为 ，易知 。记两切点 ， 的坐标分别为 ，P)0(,baaAB),(1yx，则 ， 的方程分别为),(2yxAB11)(2xy而点 的坐标 同时满足，。故 ， 的坐标均满足方程P,baAB ，)(xby),(1yx),(2故就是直线 的方程。AB直线 与 的斜率分别为 与 ，由 知， ，故 。 4 分OabPO12ba2a从而即为 ，故 与 轴的交点 是定点
20、（2，0） 。 8 分)2(xyxR（2）因为 ，故直线 的斜率 ，直线 的斜率 。设 ，则a1bk42kOPR为锐角，且 2|8|42)(|tan1| 21 bQRP当 时， 的最小值为 。 16 分2b|2014B 6、 、 是椭圆 （ ）的两个焦点， 为椭圆上的一点，如果1F221xyab0baP的面积为 ， ， ，则 21Ptn21P2tn1FPa答案： 5解析：不妨假定 ， （ ） ， 。则直线 的斜率为)0,(1cF),(20c),(0yx1PF，直线 的斜率为 2tan12k.因此，我们得到：tan21PkP，从这两个方程中我们解得 ， 。cxy0 cx350y40又 ，解得 ，
21、则 。从而202134121 cyFSPF )32,6(P，即152 2002021 ycxycxPFa 215a2014B 11、 （本题满分 20 分）如下图，椭圆 ， , 是椭圆 上的两点，4:2y0A1B直线 ， ， （ ， ）是 上的一个动点， 是过点 且1l2:xl1:y0,yxP03lP与 相切的直线， 分别是直线 与 ， 与 ， 与 的交点.EDC,1l2l31l3求证:三条直线 共点。BA解析：直线 的方程是 ，进而可得 , ，3l 140yx)12(C1,)(40xyD，02,yxE所以直线 的方程为 ；AD0)2(00yx直线 的方程为 ；BE120y由过 ， 交点的直线
22、系方程为 ，AD 02)1()2( 00 yxyx把 代入可得 ，此时直线系就变为 ，)1,2(C1 )()( 00 x再令 ，可以解得 ，即该直线过点 ，0x0y0,yxP说明三条直线 共点。CPBEAD,另解：利用塞瓦定理得。，200000 421)(42yxyxyxCE 而 在椭圆上，所以 ，得 代入上式，即可征得0,yxP14:20 )(4020。1422)(2 00000 yxyxyxEDBCA所以三条直线 共点。P,2013A 2、在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，满足 ， 是抛xOyBA,xy424OBAF物线的焦点，则 与 的面积之比为 FA答案：解析：由题意得 ，设 ，
23、 ，代入 得 ，0,112,4y2,4y4 821y所以 与 的面积之比为OFAB21OF2013A 10、 （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 中，椭圆的方程为 ，xy12byax)0(a分别为椭圆的左右顶点， 分别为椭圆的左右焦点， 为椭圆上不同于 的任意一21,A21,FP21,A点.若平面中有两个点 满足 , , , ，试确定线段RQ,PA2Q1FR2的长度与 的大小关系，并给出证明。QRb解析：记 ，则 ， ， ， 。设 ，2ac0,1a,20,1c,10,yxP，1,yxQ，则 ， ，由 ， 得2,R120byax01PAQ2，两式相减得 ，代回解得 ，于是 02022 111
24、 yxPAQ01x021yax，同理根据 , 可得0,yax1PFR202,ycR因此 ，由于 ，故 （其中等号成立的充分必要条件是 ，即02bRb,0bQby0）P,2013B 11、 （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 内，点 的坐标为 ，点 在抛物线xOyF1,0,AB上，满足 ， ，求 的值 。24yx4OAB43FBAB解析：设 ， ,则 ， ，代入 得 ，1,y2yx1x2y4821y，又 恰为抛物线的焦点，所以 ，所以21xF0 321xF，所以842121x1 yBA2012A1、设 是函数 （ ）的图像上任意一点，过点 分别向直线 和 轴作Py0Pxy垂线，垂足分别为 ，
25、则 的值是 BA,P答案： 1解析：设 则直线 的方程为 即02(,),px002()(),yxx02.yx由 又0001(,).2yAxxx 0(,),Bx所以 故001(,)(,).PABxx01().PABx2012A 4、在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是抛物线上的Oyy42FlBA,两个动点，且满足 ，设线段 的中点 在准线 上的投影为 ，则 的最大值3AFBABMlN|M为 答案： 1解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 .2FBN在 中,由余弦定理得AFB22cos3ABFA2()322()3() 22().FMN当且仅当 时等号成立.故 的最大值为1.
26、AFBMNAB2012A 11、 （本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，且xOyABCD4.6|ODB求证： 为定值；|CA当点 在半圆 （ ）上运动时，4)2(yx2x求点 的轨迹。解析：因为 所以, ,OBDABCD山的共线。,AC如图,连结 ,则 垂直平分线段 ,设垂足为 ,于是有K()()K(定值) (2)设22OKA22()()BKAB22640OBA其中 则 .(,)cos,in,Cxy(),XMXC因为 所以 由(1)的结2222()(s)81cos)scos2论得 所以 从而cs5,O5.xOCin5ta,5.yO故点 的轨迹是一条线段,其两个
27、端点的坐标分别为 C(,),)AB2012B3、如图，设椭圆 （ ）的左右焦点分别为12byax0a，过点 的直线交椭圆于 ， 两点。21,F2 ),(1A),(2yxB若 内切圆的面积为 ，且 ，则椭圆的离心率为 BA42y答案： 2解析：由性质可知 的周长为 ，内切圆半径为 ，则BAF1a1，可得 ，即241ycaSBAF c2ae2012B 11、 （本题满分 20 分）已知抛物线 （ ） ， 是抛物线上不同于顶点 的pxy20BA, O两个动点，记 ， （ ） 。若 ，试求当 取得最小值时 的最大AOB09tanmSAOB tan值。解析：由 ，所以 ，即 。tanmSAB cosis
28、i21mO2记 ， ， ，12,pt2,pt0,1则 ，令 ，则 ，222124t t210,1，当 时， 取得最小值 。tpm2mp此时 ，当且仅当 ， ，即211tan21ttkOBA 12t时，等号成立，所以 的最大值为 。21tttan2011A 7、直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线上的一点，012yxxy42BA,C，则点 的坐标为 09ACB答案： 或 )2,1()6,解析：设 ，由 得 ，则)2,(,(,21tCyx,4012xy 0482y， 又 ，所以 ，821y421 ,21 1)(2121x因为 ，所以 ，)(4 yx 90AB0CBA即有 ，)()( 21212y
29、ttxtt即 ，421214 yt即 ，0362tt即 显然 ，否则 ，则点 在直线)(4( 02t 012tt C上，从而点 与点 或点 重合所以 ，解得 12yxCAB343,2tt故所求点 的坐标为 或 C)2,()6,92011A 11、 （本题满分 20 分）作斜率为 31的直线 与椭圆 :C交于 两点（如图所l14362yxBA,示） ，且点 在直线 上方。)2,3(Pl证明： 的内切圆的圆心在一条定直线上；AB若 ，求 的面积。06解析：（1）设直线 ： ， lmxy31),(),(21yxBA将 代入 中，化简整理得 xy3462 036962m于是有 ， 2369,121 x
30、,21xykxykPBPA则 ，332112121 xykPBA上式中，分子 )()(3( 1221 xmmx621x)2()3(2(693 ，01612mm从而， 0PBAk又 在直线 的左上方，因此， 的角平分线是平行于 轴的直线，所以 的内切圆lAPByPAB的圆心在直线 上 23x（2）若 时，结合（1）的结论可知 60APB 3,PBPAk直线 的方程为： ，代入 中，消去 得)23(2xy 1462yxy它的两根分别是 和 ，所以0)31(8)31(6942 xx 1x23，即 831 421所以 7)13(|3|)(| 12 xPA同理可求得 7)|B所以 49317273713
31、2160sin21 PASPB2011B 8、抛物线 上动点 到点 的距离的最小值记为 ，满足2()pyxA(,0)B()dp的所有实数 的和为 ()dp答案： 13解析：设 ，则yxA,22222 933pxpxpxB ， （ ）px632当 ，即 时，当 时， 取得最小值， ，又0px32ABppd62)(，即 解得 或 ；2)(d421当 ，即 时，当 时， 取得最小值， ，解得3ppx246)(22pd10综上，满足条件的实数 的和为p13022011B 11、 （本题满分 20 分）已知 是抛物线 上不123(,)(,)(,)AxyAxy2(0)ypx同的三点， 有两边所在的直线与抛
32、物线 相切，证明：对不同的123A2(0)xqy， 为定值.,ij()ijijy证明：依题意有 ， ， 互不相等。iipx23,21321,y不妨设 , 所在的直线与抛物线 相切，因为 的过原点 的切线21A3 (0)xqqyx2O与抛物线 只有一个公共点，所以原点 不能是所设内接三角形的顶点，即(0)yxO（ ） 。,ix,21i由于设 所在的直线与抛物线 相切，所以 不平行 轴，即 ，21A(0)xqy21Ay21x。y直线 的方程为 ，联立 得21 2121yxypqyx20421212yqxpx由 化简得 0q21由于 所在的直线与抛物线 相切，同理可得 32A2(0)xyqpy232
33、3减去式，及 ， 得 ，即 代入得0,iyx210321y01qpy2313综上，对不同的 ， 为定值 .,3ij()ijijyqp22010A B3、双曲线 的右半支与直线 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横12x10x坐标均为整数的点）的个数是 答案： 980解析：由对称性知，只要先考虑 轴上方的情况，设 与双曲线右半支于 ,交x )9,2(ky kA直线 于 ，则线段 内部的整点的个数为 ，从而在 轴上方区域内部整点的个1xkBkA9x数为 .又 轴上有 98 个整点，91()94851kx所以所求整点的个数为 .98045122010A B10、 （本题满分 20 分）已知抛物线 上
34、的两个动点 和 ，其中xy62 ),(1yxA),(2yB且 ，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的面积的最大值。21x421ABC解析：解法一：设线段 的中点为 ，则 ，),(0yxM2,21010 yx.0121212 366yxykAB 线段 的垂直平分线的方程是 . （1）)2(30xy易知 是（1）的一个解，所以线段 的垂直平分线与 轴的交点 为定点，且点0,5yx ABxC坐标为 .由（1）知直线 的方程为 ，即 . C),(AB)2(0xy2)(30y（2）（2）代入 得 ，即 . （3）xy6212)(20y1202y依题意， 是方程（3）的两个实根，且 ，所以21, y,
35、解得 .20004()48yy3202121(xAB2120)3(y4)(9212120y)()(2020y.193y又定点 到线段 的距离 . )0,5(CAB 202029)()5( yyCMh所以 02091)9(321ySAB 4)(202020y3202020)399(13y. 74当且仅当 ，即 , 或20209y563635(,57),(,7)AB时等号成立. 63563(,(7),(,7)AB所以， 面积的最大值为 . C14解法二：同解法一，线段 的垂直平分线与 轴的交点 为定点，且点 坐标为 . AxC)0,5(设 ，则 的绝对值, 4, 21221 ttxt 160521
36、2tSAB221212 )6565( ttttSABC 21)3)(4(2121tt,3)2所以 , 当且仅当 且 ，即 71ABCS 5)(2121tt 421t ,6571t, 或652t 363(,57),(,7)B时等号成立.635635(,(7),(,7)AB所以， 面积的最大值是 . C142009*2、已知直线 和圆 ，点 在直线 上，点09:yxL 0182: yxxMAL为圆 上两点，在 中， ，直线 过圆心 ，则点 横坐标的取值范B,MAB045CABM围为 答案： 6,3解析：设 A（a，9-a） ，则圆心 M 到直线 AC 的距离 d= sin ，由直线 AC 与圆 M
37、 相交，A45得 .解得 .234d62009*5、椭圆 （ ）上任意两点 ，若 ，则 的最小12byax0aQP,OQP值为 答案： .2ba解析：设 ，)sin,co(OP).2sin(),2cos(OQQ由 在椭圆上，有 （1） ， （2）QP、 2in1bacosba（1）+（2）得 .2于是当 时， 达到最小值2baOOQP.2ba2009*9、 （本题满分 14 分）设直线 （其中 为整数）与椭圆 交于不同两点 ，与双曲线mkxyl:k, 126yxBA,交于不同两点 ，问是否存在直线 ，使得 ，若存在，指出这样的124xDC, l0DC直线有多少条？若不存在，请说明理由。解析：由
38、题意得 消去 化简整理得126yxmky 0488)43(22mkx设 ，则 .),(),(1ByA2218kx（1）0)4(34822 kk由 消去 化简整理得1yxmy 0123(2mx设 ，则 .),(),(43DC243kx（2）0)1(22kk因为 ，所以 ，此时， .由0AB(134 0)()(1324yy，得 .所以 ，或 .由上试解得4321xx228mkk或 .0km当 时，由（1）和（2）得 .因 是整数，所以 的值为m当 时，由（1）和（2）得 .因 是整数，.,03k所以 于满足条件的直线共有 9 条。2008A 15、如图， 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，Pxy2
39、CB,y圆 内切于 ,求 面积的最小值。1)(2yxBCP解析：设 ，不妨设 直线 的方程 : ，化简得 0(,),(0,)PxyBbCcbcPB0ybx又圆心 到 的距离为 1， ，故00()ybx(1,0)PB0201()ybx，易知 ，上式化简得 ，同222()ybxyb0x20()byx理有 所以 ， ，则 因00()cc0c2048()c是抛物线上的点，有 ，则 ， 所以,Px20224()()x0x当 时，上式取等号，0 01()()2BCxSbc82()4此时 04,xy因此 的最小值为 8PBC2008B 15、如图， 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆0122yxCB,1x
40、内切于 ,求 面积的最小值。1)(22yxPBC解析：设 ，不妨设 0,()1PxBbcbc直线 的方程 : ，化简得0yx000()(1)ybx又圆心 到 的距离为 1，即 ， ,PB00221()()xby故 ，222000000()()()yx展开得 ，易知 ，1()bxybx x故 ，2000()()同理有 2xcc所以 ， ， 0()1yb01ybx22200004()8(1)48() ()xyxycx因 是抛物线上的点，有 ，即 ，则0,Px001200，22200484()()y故 ， (1)()bc0014xbc所以 000(1)()()(2PBC xS P FD CBA004
41、43(1)248xx当 时，上式取等号，此时 2(1)03,1xy因此 的最小值为 8 PBCS2007*5、设圆 和 是两个定圆，动圆 与这两个定圆都相切，则圆 的圆心轨迹不可能是 1O2PPA. B. C. D.答案：A解析：设圆 O1 和圆 O2 的半径分别是 r1、r 2，|O 1O2| ，则一般地，圆 P 的圆心轨迹是焦点为cO1、O 2，且离心率分别是 和 的圆锥曲线（当 时，O 1O2 的中垂线是轨迹的一1rc|21r部份，当 时，轨迹是两个同心圆）。0c当 且 时，圆 的圆心轨迹如选项 B；21r21P当 时，圆 P 的圆心轨迹如选项 C；当 且 时，圆 P 的圆心轨迹如选项
42、D。c由于选项 A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆 P 的圆心轨迹不可能是选项 A。2007*7、在平面直角坐标系内，有四个定点 ， ， ， )3,1(及一个动点 ，)0,3(A)1,(B,0P则 的最小值为 PDCBP答案： 523解析：解：如图，设 与 交于 点，ABF则 ，A FBDP，因此，当动点 与 点重合时， 取到最小值PFC。523|BDC2007*14、 （本题满分 20 分）已知过点 的直线 与曲线 （ ）交于两个不同)1,0(l:xy10的点 。求曲线 在 处的切线的交点的轨迹。NM, N,解析：设点 、 ，曲线 在点 处的切线分别为 ，其交点 的坐标1,yx2yxCNM, 21,lP为 。若直线 的斜率为 ，则 的方程为 。pyx,lkl1kxy由方程组 ，消去 y，得 ，即 012xk。1kxy1x由题意知，该方程在 上有两个相异的实根 ，故 ，且 (1)，,021,0)1(4k(2)， (3)，由此解得 。21x 012kx43k对 求导，得 ，则 ， ，于是直线 的方程为yy21|1xyx21|2xyx1l，即 ，化简后得到直线 的方程为)(1
