1、试卷第 1 页，总 4 页文科立体几何线面角二面角专题学校 :_姓名： _班级：_ 考号：_一、解答题1如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点PABCAB=BC=22 O AC（1）证明： 平面 ；ABC（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值M MPAC2如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点PABCAB=BC=22PA=PB=PC=AC=4（1）证明： 平面 ；PO（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离MC=2MB3（2018 年浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面ABC，ABC=120 ，A1A=4，C1
2、C=1，AB=BC=B1B=2试卷第 2 页，总 4 页（）证明：AB 1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值4如图，在三棱柱 中，点 P，G 分别是 ， 的中点，已知 平面ABCA1B1C1 B1C1ABC， = =3， = =2.AA1B1C1 A1B1A1C1（I）求异面直线 与 AB 所成角的余弦值；A1G（II）求证： 平面 ；A1G BCC1B1（III）求直 线 与平面 所成角的正弦值.PC1 BCC1B15如图，四棱锥 ，底面 是正方形， ， ， ， 分别是PB=PC= 2EF， 的中点.PBCD试卷第 3 页，总 4 页（1）求证 ；（2）求
3、二面角 的余弦值.6如图，三棱柱 中，侧棱 底面 ，且各棱长均相等. ， ， 分别为棱 ，ABCA1B1C1 ABC DEF AB， 的中点.BCA1C1（1）证明： 平面 ；A1CD（2）证明：平面 平面 ；A1ABB1（3）求直线 与直 线 所成角的正弦 值.EF7如图，在四边形 ABCD 中， AB/CD，ABD=30， AB2CD2AD2，DE平面ABCD，EF/BD，且 BD2EF（）求证：平面 ADE平面 BDEF；（）若二面角 C BF D 的大小 为 60，求 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值 8如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，PABCDPA AD=CD=1试卷第
4、4 页，总 4 页，点 是 与 的交点，点 在线段 上，且 .ADC=1200 MACBD N PB（1）证明： 平面 ；MN/PDC（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.MN PAC9在多面体 中，底面 是梯形，四边形 是正方形， ， ， ，AC=EC= 5（1）求证：平面 平面 ；EBD（2）设 为线段 上一点， ，求二面角 的平面角的余弦值.M EC 3EM=EC10如图，在多面体 中，四边形 为等腰梯形， ，已知 ， ，四 边形 为直角梯形， ， .AF/DEDAF=90（1）证明： 平面 ，平面 平面 ；AC CDE ABCD（2）求三棱锥 的体积.EABF本卷由系统自动生成，请仔细
5、校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 15 页参考答案1（1）见解析（2）34【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得 结论， (2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.详解：（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 .AP=CP=AC=4 AC OPAC OP=23
6、连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，OB AB=BC=22AC ABC且 ， .OBACOB=12AC=2由 知 .OP2+OB2=PB2 POOB由 知 平面 .OPOB,OPACPO ABC（2）如图，以 为 坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .OB O-xyz由已知得 取平面 的法向量O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,23), PAC.OB=(2,0,0)设 ，则 .M(a,2-a,0)(0|=mn|m|n|=cos60 h=68 DE=68又 ,则 ，设 CF 与平面 ABCD 所成角为
7、，CF=228 则 sin = .68+228=3311故直线 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 3311点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知 识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.8（1）见解析；（2）14【解析】分析：（1）由题意得 是等边三角形，故得 ，于是 ，从而得 ，ABC BM=32 BMMD=3 BMMD=BNNP=3所以 ，然后根据线面平行的判定定理可得 结论成立 （2）由 平面 可得MN/PD PA ABCD，
8、于是 平面 又 ，所以直 线 与平面 所成角即直线 与平面BDPA BD PACMN/PD MN PAC PD所成角，从而得到 即为所求角，然后根据解三角形可得所求PAC DPM详解：（1）因为 ，AB=BC,AD=CD所以 垂直平分 线段 BD AC又 ，ADC=1200所以 MD=12AD=12在 中，由余弦定理得ADC，AC2=DA2+DC2-2ADDCcosADC=1+1-211cos120=3所以 AC= 3本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 12 页，总 15 页又 ，AB=BC= 3所以 是等边三角形，ABC所以 ，BM=32所以 ，BMMD=3又因为 ，
9、PN=14PB所以 ，BMMD=BNNP=3所以 MN/PD又 平面 平面 ，MN PDC,PD PDC所以 平面 MN/PDC（2）因为 平面 ， 平面 ，PA ABCDBD ABCD所以 ，BDPA又 ，BDAC,PAAC=A所以 平面 BD PAC由（1）知 ，MN/PD所以直线 与平面 所成角即直线 与平面 所成角，MN PAC PD PAC故 即为所求的角DPM在 中， ，RtPADPD=2所以 ，sinDPM=DMDP=122=14所以直线 与平面 所成角的正弦值为 MN PAC14点睛：（1）证明空间中的位置关系时要注意解题的规范性和严密性，运用定理证明时要体现出定理中的关键性词
10、语（2）用几何法求空间角时可分为三步，即 “一找、二 证、三计算”，即首先根据所求角的定义作出所求的角，并给出证明，最后利用解三角形的方法得到所求的角（或其三角函数 值）9(1)见解析；（2） .cos(m,n)=mn|m|n|= 22 3=63【解析】分析：（1）由勾股定理的逆定理可得 ， ；又由条件可得到 ，于是ADDCEDDC EDAD平面 ，可得 ，从而得到 平面 ，根据面面垂直的判定定理得平面ED ABCD EDBC BC EBD平面 （2）由题意得可得 ， ， 两两垂直，故可建立空间直角坐标系，结合题意EBC EBD DADCDE本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
11、答案第 13 页，总 15 页可得点 ，于是可求得平面 的法向量为 ，又 是平M的坐 标为 (0,23,23) MBD m=(-1,1,1) BC=(-1,1,0)面 的一个法向量，求得 后结合图形可得所求余弦 值为 EBD cos=63 63详解：（1）由 ， ， ，得 ，AD=1CD=2AC= 5 AD2+CD2=AC2 为直角三角形，且ADC ADDC同理 为直角三角形，且 EDC EDDC又四边形 是正方形，ADEF ADDE又 AB/DC .DAAB在梯形 中，过点作 作 于 ，ABCD B BHCDH故四边形 是正方形，ABHD .ADB=45在 中， ，BCHBH=CH=1 ，
12、，BCH=45BC= 2 ，BDC=45 ，DBC=90 .BCBD ， , ，EDADEDDCADDC=D 平面 ,ED ABCD又 平面 ，BC ABCD ，又 ， 平面 ，EBD又 平面 ，EBC平面 平面 EBD（2）由（1）可得 ， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴建立如图所示DADCDE D DADCDE x,y,z的空间直角坐标系 ，D-xyz本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 14 页，总 15 页则 .D(0,0,0),E(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0)令 ，则 ，M(0,y0,z0) EM=(0,y0,z0-1)E
13、C=(0,2,-1) ，3EM=EC (0,3y0,3z0-3a)=(0,2,-1)点 .M的坐 标为 (0,23,23) 平面 ，BC EBD 是平面 的一个法向量.BC=(-1,1,0) EBD设平面 的法向量为 .MBD m=(x,y,z)则 ，即 ，可得 .mDB=0mDM=0 x+y=023y+23z=0 x=-y=-z令 ，得 y=-1 m=(-1,1,1) cos=mBC|m|BC|= 223=63由图形知二面角 为锐角，M-BD-E二面角 的平面角的余弦值为 M-BD-E63点睛：利用空间向量求二面角的注意点（1）建立空间直角坐标系时，要注意 证明得到两两垂直的三条直 线然后确
14、定出相 应点的坐标，在此基础上求得平面的法向量（2）求得两法向量的夹角的余弦值后， 还要结合图形确定二面角是 锐角还是钝角，然后才能得到所求二面角的余弦值这 一点在解题时容易忽视，解 题时 要注意10（1）见解析（2）433本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 15 页，总 15 页【解析】分析：（1）通过取 AD 中点 M，连接 CM，利用 得到直角；再利用 可得CM=12AD ACEC平面 ；再根据线面垂直判定定理即可证明。AC CDE由前面已经证明的线面垂直，可得 ，而 平面 平面DEAC DE ABCD， DE ADEF所以可得面面垂直。（2）根据等体积法，变换顶
15、点即可求得体 积。详解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，AD M CMAB=AF=BC=2BC/AM由四边形 为平行四边形，可知 ，在 中，有 ， .ABCM CM=12AD ACD ACD=90 ACDC又 ， ， 平面 ，ACECDCEC=C AC CDE 平面 ， .ED CDEDEAC又 ， ， 平面 .DEADADDE=D DE ABCD 平面 ，平面 平面 .DE ADEF ABCD ADEF（2）解：由（1）知平面 平面 ，ABCD ADEF作 ， 平面 ， ， BHAD BH ADEFBH= 3连接 ， .AEVE-ABF=VB-AEF=13SAEFBH=131224 3=433点睛：本题综合考查了线面垂直、面面垂直的判定，等体积法在立体几何中的应用等，关键注意书写的格式和步骤，属于中档 题。 您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。
