1、课时规范练 46 抛物线基础巩固组1.(2018 山东春季联考)已知抛物线 x2=ay(a0)的焦点为 F,准线为 l,该抛物线上的点 M 到 x 轴的距离为 5,且|MF|= 7,则焦点 F 到准线 l 的距离是( )A.2 B.3 C.4 D.52.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 x 的焦点,P 为抛物线 C 上一点,若|PF|=4 ,则 POF 的面积为2 2( )A.2 B.2 C.2 D.42 33.(2018 云南昆明一中模拟,5)已知点 F 是抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点,O 为坐标原点,若以 F 为圆心,|FO|为半径的圆与直线 x-y+3=0 相切,则抛
2、物线 C 的方程为( )3A.x2=2y B.x2=4yC.x2=6y D.x2=8y4.(2018 广东江门一模,10)F 是抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上,点 Q 在抛物线的准线上,若=2 ,则|PQ|= ( )A. B.4 C. D.35.(2018 湖南师范大学附属中学三模 ,11)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 的直线 l 与抛物线 C相交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M,垂足为 E,若|AB|=6,则|EM|的长为( )A.2 B. C.2 D.2 6 3来源:学|科|网Z|X|X|K6.(2018 齐鲁名校教科研协作
3、体山东、湖北部分重点中学冲刺,11) 已知抛物线 C:y2=2px(p0),焦点为F,直线 y=x 与抛物线 C 交于 O,A 两点(O 为坐标原点), 过 F 作直线 OA 的平行线交抛物线 C 于 B,D两点(其中 B 在第一象限 ),直线 AB 与直线 OD 交于点 E,若 OEF 的面积等于 1,则抛物线 C 的准线方程为( )A.x=-1 B.x=-C.y=-1 D.y=-7.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )A.y2=9x B.y2=6xC.y2=3x D.y
4、2= x38.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 . 9.(2018 安徽巢湖一模,15)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点是 F,直线 l1:y=x-1 交抛物线于 A,B 两点,分别从A,B 两点向直线 l2:x=-2 作垂线 ,垂足是 D,C,则四边形 ABCD 的周长为 . 10.(2017 广东江门一模,10 改编 )F 是抛物线 y2=2x 的焦点,以 F 为端点的射线与抛物线相交于点 A,与抛物线的准线相交于点 B,若 =4 ,则 = . 综合提升组11.(201
5、8 山东烟台模拟,6)已知直线 l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,点 P 为抛物线 y2=-8x 上的任一点,则 P 到直线 l1,l2 的距离之和的最小值为( )A.2 B.2 C. D.34181734 16153412.(2017 全国 ,文 12)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方),3l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MNl,则 M 到直线 NF 的距离为 ( )A. B.2 C.2 D.35 2 3 313.已知抛物线的方程为 y2=2px(p0),O 为坐标原点,A,B 为抛物线上的点 ,若 OAB 为等边
6、三角形,且面积为 48 ,则 p 的值为 . 314.(2017 安徽马鞍山一模,20)设动点 P(x,y)(x0)到定点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1,记点 P的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程;(2)设 D(x0,2)是曲线 C 上一点,与两坐标轴都不平行的直线 l1,l2 过点 D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2 与曲线 C 的另一交点分别是 M,N,证明直线 MN 的斜率为定值.创新应用组15.(2018 北京城六区一模,2)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA 1=AB=2,BC=1,点 P 在侧面 A1ABB1 上,满足到直线 AA1
7、和 CD 的距离相等的点 P( )A.不存在B.恰有 1 个C.恰有 2 个D.有无数个16.(2018 河北衡水模拟,20)已知抛物线 C:y2=2px(p0),斜率为 1 的直线 l1 交抛物线 C 于 A,B 两点,当直线 l1 过点(1,0)时,以 AB 为直径的圆与直线 x=-1 相切.(1)求抛物线 C 的方程;(2)与 l1 平行的直线 l2 交抛物线于 C,D 两点,若平行线 l1,l2 之间的距离为 ,且OCD 的面积是OAB22面积的 倍,求 l1 和 l2 的方程.3课时规范练 46 抛物线1.C 因为|MF|= 7,点 M 到 x 轴的距离为 5,所以 =7-5,所以|
8、a|=8,|4因此焦点 F 到准线 l 的距离是 =4,故选 C.|22.C 利用|PF|=x P+ =4 ,可得 xP=3 .2 2 2 yP=2 . SPOF= |OF|yP|=2 .故选 C.612 33.B 由抛物线 C 的方程为 x2=2py(p0),则焦点坐标 F 0, ,所以焦点 F 0, 到直线 x-y+3=0 的距3离为 d= ,解得 p=2,所以抛物线的方程为 x2=4y,故选 B.|-2+3|2 =24.A 设抛物线的准线和对称轴的交点为 K.过点 P 作准线的垂线,垂足为 M,则|PF|=|PM|.由QFKQMP,得 ,即 ,所以|MP|=3 .故|PF|=3,|QP|
9、= ,所以|PQ|=|PF|+|QP|=.故|=| 1|=13选 A.5.B 由已知得 F(1,0),设直线 l 的方程为 x=my+1,与 y2=4x 联立得 y2-4my-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则 y1+y2=4m,则 y0= =2m,x0=2m2+1,所以 E(2m2+1,2m),又|AB|=x 1+x2+2=m(y1+y2)1+22+4=4m2+4=6,解得 m2=,线段 AB 的垂直平分线为 y-2m=-m(x-2m2-1),令 y=0,得 M(2m2+3,0),从而|ME|= ,故选 B.4+42=66.A7.C 如图,分别过点 A,B
10、作 AA1l 于点 A1,BB1l 于点 B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB1|. |BC|=2|BF|, |BC|=2|BB1|. BCB 1=30, AFx= 60.连接 A1F,则AA 1F 为等边三角形,过点 F 作 FF1AA 1 于点 F1,则 F1 为 AA1 的中点,设 l 交 x 轴于点 K,则|KF|=|A 1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= ,12 12 32故抛物线方程为 y2=3x.8.2 由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB| 取得最小
11、值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p= 4 时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2.9.18+4 由题知,F(1,0), 准线 l 的方程是 x=-1,p=2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 y,得 x2=-2 =-1,2=4,6x+1=0.因为直线 l1 经过焦点 F(1,0),所以|AB|=x 1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线 l1 的倾斜角是,所以|CD|=|AB|sin =8 =4 ,所以四边形 ABCD 的22 2周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+ 8+4 =1
12、8+4 .2 210. 由题意,设点 A 的横坐标为 m,过点 A 向准线作垂线交垂线于点 C,设准线与 x 轴的交点为 D,则由抛物线的定义,|FA|=m+ ,12由BACBFD,得 , m= .+121 =34 14 |FA|= ,|FB|=3,34 =|FA|FB|= .9411.C 抛物线 y2=-8x 的焦点为 F(-2,0),准线为 l1:x=2, P 到 l1 的距离等于|PF|, P 到直线 l1,l2 的距离之和的最小值为 F(-2,0)到直线 l2 的距离 d=.故选 C.|-6+0-30|9+25 =18173412.C 由题意可知抛物线的焦点 F(1,0),准线 l 的
13、方程为 x=-1,可得直线 MF:y= (x-1),与抛物线3y2=4x 联立,消去 y 得 3x2-10x+3=0,解得 x1=,x2=3.因为 M 在 x 轴的上方,所以 M(3,2 ).3因为 MNl,且 N 在 l 上,所以 N(-1,2 ).3因为 F(1,0),所以直线 NF:y=- (x-1).3所以 M 到直线 NF 的距离为 =2 .|3(3-1)+23|(- 3)2+12 313.2 设 B(x1,y1),A(x2,y2). |OA|=|OB|, .又 =2px1, =2px2, +2p(x2-x1)=0,即(x 2-x1)(x1+x2+2p)21+21=22+22 21
14、22 2221=0.又 x1,x2 与 p 同号, x1+x2=2p0. x2-x1=0,即 x1=x2.根据抛物线对称性可知点 B,A 关于 x 轴对称,由OAB 为等边三角形 ,不妨设直线 OB 的方程为 y= x,由 解得 B(6p,2 p), |OB|=33 =33,2=2, 3=4 p. OAB 的面积为 48 , =48 , p=2.(6)2+(23)2 3 334(43)2 314.(1)解 由题意知,动点 P 的轨迹方程是以 F(1,0)为焦点,以 x=-1 为准线的抛物线,故曲线 C 的方程为y2=4x.(2)证明 由 D(x0,2)在曲线 C 上,得 4=4x0,则 x0=
15、1,从而 D(1,2).设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l1:y=k(x-1)+2,则 l2:y=-k(x-1)+2,由 得 k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,=(-1)+2,2=4 x1= ,(-2)22 =2-4+42同理 x2= .2+4+42 x1+x2= ,x1-x2=- .22+82 8 y1-y2=k(x1+x2)-2k= .8 kMN= =-1,即直线 MN 的斜率为定值- 1.1-21-2=8-815.D 由于点 P 在侧面 A1ABB1 上,所以点 P 到直线 AA1 的距离为 PA,所以点 P 为到定点 A 与到定直线 CD 距离相等的点集
16、合,满足抛物线的定义,有无数个.故选 D.16.解 (1)设直线 AB 方程为 y=x-b,代入 y2=2px,得 x2-(2b+2p)x+b2=0,=(2b+2p)2-4b2=8bp+4p20.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2b+2p,x1x2=b2,|AB|= |x1-x2|= =2 ,2 2(1+2)2-412 22+2当 b=1 时,|AB|= 2 ,AB 的中点为(1 +p,p),22+2依题意可知 2(1+p+1)=2 ,解得 p=2.22+2所以抛物线方程为 y2=4x.(2)点 O 到直线 l1 的距离为 d= ,|2SOAB= |AB|d= 2 =2|b| .12 12 24+4|2 +1因为平行线 l1,l2 之间的距离为 ,所以直线 CD 方程为 y=x-(b+1),22SOCD=2|b+1| .+2依题意可知 2|b| =2|b+1| ,即 3b2(b+1)=(b+1)2(b+2),3 +1 +2化简得 2b2-3b-2=0,所以 b=- 或 b=2,满足 0,12所以 l1:y=x+ ,l2:y=x- 或 l1:y=x-2,l2:y=x-3.12 12
