1、几何难题精选几何难题精选第 1 页 1几何难题精选解答题（共 30 小题）1 （2015河南）如图 1，在 RtABC 中，B=90，BC=2AB=8，点 D、E 分别是边BC、AC 的中点，连接 DE，将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现当 =0时， = ；当 =180时， = （2）拓展探究试判断：当 0360时， 的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明（3）问题解决当EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长2 （2015济南）如图 1，在 ABC 中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点 M 为射线AE 上任意一点（不与 A
2、 重合） ，连接 CM，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90得到线段 CN，直线 NB 分别交直线 CM、射线 AE 于点 F、D（1）直接写出NDE 的度数；（2）如图 2、图 3，当EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变， （1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图 4，若EAC=15 ， ACM=60，直线 CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条件不变，求线段 AM 的长几何难题精选几何难题精选第 2 页 23 （2015岳阳）已知直线 mn，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点，CD 与直线 m、n 不
3、垂直，点 P 为线段 CD 的中点（1）操作发现：直线 lm， ln，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时（如图所示），连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系： （2）猜想证明：在图的情况下，把直线 l 向上平移到如图的位置，试问（1）中的PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）延伸探究：在图的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得 APB=90（如图所示） ，若两平行线 m、n 之间的距离为 2k求证：PA PB=kAB4 （2015重庆）在 ABC 中， AB=AC，A=60，点 D 是线段 BC 的中点， EDF=120
4、，DE 与线段 AB 相交于点 E DF 与线段 AC（或 AC 的延长线）相交于点 F（1）如图 1，若 DFAC，垂足为 F，AB=4，求 BE 的长；几何难题精选几何难题精选第 3 页 3（2）如图 2，将（1）中的EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度， DF 仍与线段 AC 相交于点 F求证：BE+CF= AB；（3）如图 3，将（2）中的EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与线段 AC 的延长线相交于点 F，作 DNAC 于点 N，若 DNAC 于点 N，若 DN=FN，求证：BE+CF=（BECF） 5 （2015烟台） 【问题提出】如图，已知ABC 是等腰三角
5、形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且ED=EC，将BCE 绕点 C 顺时针旋转 60至ACF 连接 EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图，如果点 E 在线段 AB 的延长线上，其他条件不变，线段 AB，DB，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出 AB，DB，AF 之间的数量关系，不必说明理由6 （2015莆田）在 RtACB 和 RtAEF 中， ACB=AEF=90，若点 P 是 BF 的中点，连接 PC， PE特殊发现：如图 1，若点 E，F 分别落在边 A
6、B，AC 上，则结论：PC=PE 成立（不要求证明） 问题探究：把图 1 中的AEF 绕着点 A 顺时针旋转（1）如图 2，若点 E 落在边 CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图 3，若点 F 落在边 AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记 =k，当 k 为何值时，CPE 总是等边三角形？（请直接写出 k 的值，不必说明理由）几何难题精选几何难题精选第 4 页 47 （2015襄城区模拟）如图，正方形 ABCO 的边 OA、 OC 在坐标轴上，点 B 坐标为（3，3） 将正方形 ABCO 绕点
7、A 顺时针旋转角度 （090 ） ，得到正方形ADEF，ED 交线段 OC 于点 G，ED 的延长线交线段 BC 于点 P，连 AP、AG （1）求证：AOGADG；（2）求PAG 的度数；并判断线段 OG、PG、BP 之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2 时，求直线 PE 的解析式；（4）在（3）的条件下，直线 PE 上是否存在点 M，使以 M、A、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出 M 点坐标；若不存在，请说明理由8 （2015重庆校级一模）已知，四边形 ABCD 是正方形，点 P 在直线 BC 上，点 G 在直线 AD 上（P、G 不与正方形顶点重合，且在 CD 的同
8、侧） ，PD=PG ，DFPG 于点 H，DF交直线 AB 于点 F，将线段 PG 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PE，连结 EF（1）如图 1，当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 上时，若 PC=1，计算出 DG 的长；（2）如图 1，当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 上时，证明：四边形 DFEP 为菱形；（3）如图 2，当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 的延长线上时， （2）的结论：四边形 DFEP 为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由几何难题精选几何难题精选第 5 页 59 （2015房山区二模）在 ABC
9、 中，AB=BC=2 ， ABC=90，BD 为斜边 AC 上的中线，将ABD 绕点 D 顺时针旋转 （0180）得到 EFD，其中点 A 的对应点为点 E，点B 的对应点为点 FBE 与 FC 相交于点 H（1）如图 1，直接写出 BE 与 FC 的数量关系： ；（2）如图 2，M、N 分别为 EF、BC 的中点求证：MN= ；（3）连接 BF，CE，如图 3，直接写出在此旋转过程中，线段 BF、CE 与 AC 之间的数量关系： 10 （2015衢州校级模拟）图 1 是边长分别为 4 和 2 的两个等边三角形纸片 ABC 和ODE 叠放在一起（C 与 O 重合） （1）操作：固定ABC，将
10、0DE 绕点 C 顺时针旋转 30后得到ODE，连结AD、BE，CE 的延长线交 AB 于 F（图 2） ；探究：在图 2 中，线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论（2）在（1）的条件下将的ODE，在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移，平移后的CDE 设为PQR，当点 P 与点 F 重合时停止运动（图 3）探究：设PQR 移动的时间为 x 秒， PQR 与 ABC 重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数自变量 x 的取值范围（3）将图 1 中0DE 固定，把 ABC 沿着 OE 方向平移，使顶点 C 落在 OE 的中点
11、G 处，设为ABG，然后将ABG 绕点 G 顺时针旋转，边 BG 交边 DE 于点 M，边 AG 交边 DO于点 N，设BGE=（3090） ；（图 4）探究：在图 4 中，线段 ONEM 的值是否随 的变化而变化？如果没有变化，请你求出ONEM 的值，如果有变化，请你说明理由几何难题精选几何难题精选第 6 页 611 （2015武义县模拟） （1）将矩形 OABC 放在平面直角坐标系中，顶点 O 为原点，顶点C、A 分别在 x 轴和 y 轴上，OA=8，OC=10，点 E 为 OA 边上一点，连结 CE，将EOC沿 CE 折叠如图 1，当点 O 落在 AB 边上的点 D 处时，求点 E 的坐
12、标；如图 2，当点 O 落在矩形 OABC 内部的点 D 处时，过点 E 作 EGx 轴交 CD 于点 H，交 BC 于点 G，设 H（m，n） ，求 m 与 n 之间的关系式；（2）如图 3，将矩形 OABC 变为边长为 10 的正方形，点 E 为 y 轴上一动点，将EOC 沿CE 折叠点 O 落在点 D 处，延长 CD 交直线 AB 于点 T，若 = ，求 AT 的长12 （2015石家庄校级模拟）如图 1，在菱形 ABCD 中，AC=6，BD=6 ，AC，BD 相交于点 O （1）求边 AB 的长；（2）如图 2，将一个足够大的直角三角板 60角的顶点放在菱形 ABCD 的顶点 A 处，
13、绕点A 左右旋转，其中三角板 60角的两边分别于边 BC，CD 相交于 E，F，连接 EF 与 AC 相交于点 G判断AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中是否存在线段 EF 最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由几何难题精选几何难题精选第 7 页 713 （2015 春 泰安校级期中）如图，正方形 OEFG 绕着边长为 30 的正方形 ABCD 的对角线的交点 O 旋转，边 OE、OG 分别交边 AD、AB 于点 M、N （1）求证：OM=ON；（2）设正方形 OEFG 的对角线 OF 与边 AB 相交于点 P，连结 PM若 PM=13，试求 AM的长；（3）连接 MN，
14、求AMN 周长的最小值，并指出此时线段 MN 与线段 BD 的关系14 （2014天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（ 2，0） ，点 B（0，2） ，点 E，点 F 分别为 OA，OB 的中点若正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转，得正方形 OEDF，记旋转角为 （）如图，当 =90时，求 AE，BF 的长；（）如图，当 =135时，求证 AE=BF，且 AEBF；（）若直线 AE与直线 BF相交于点 P，求点 P 的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）15 （2014 春 青山区期末）已知正方形 ABCD 和正方形 EBGF 共顶点 B，连 AF，H 为 AF的中点，连 EH，正
15、方形 EBGF 绕点 B 旋转（1）如图 1，当 F 点落在 BC 上时，求证：EH= FC；（2）如图 2，当点 E 落在 BC 上时，连 BH，若 AB=5，BG=2，求 BH 的长；（3）当正方形 EBGF 绕点 B 旋转到如图 3 的位置时，求 的值几何难题精选几何难题精选第 8 页 816 （2013盐城）阅读材料如图，ABC 与DEF 都是等腰直角三角形，ACB= EDF=90，且点 D 在 AB 边上，AB、EF 的中点均为 O，连结 BF、CD、CO，显然点 C、F、O 在同一条直线上，可以证明BOFCOD，则 BF=CD解决问题（1）将图中的 RtDEF 绕点 O 旋转得到图
16、，猜想此时线段 BF 与 CD 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，若ABC 与DEF 都是等边三角形，AB、EF 的中点均为 O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出 BF 与 CD 之间的数量关系；（3）如图，若ABC 与DEF 都是等腰三角形，AB、EF 的中点均为 0，且顶角ACB=EDF=，请直接写出 的值（用含 的式子表示出来）17 （2013梅州）用如图 ， 所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出） ，完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC 和 ED 重合） ，在 BC 边上有一动点 P（1）当点 P 运动到
17、CFB 的角平分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长；（2）当点 P 在运动的过程中出现 PA=FC 时，求 PAB 的度数探究二：如图，将DEF 的顶点 D 放在 ABC 的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中心旋转DEF，使DEF 的两直角边与ABC 的两直角边分别交于 M、N 两点，连接几何难题精选几何难题精选第 9 页 9MN在旋转DEF 的过程中，AMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由18 （2015营口）如图，点 P 是O 外一点，PA 切O 于点 A，AB 是O 的直径，连接OP，过点 B 作 BCOP 交 O 于点 C，连接 AC
18、交 OP 于点 D（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若 PD= ，AC=8 ，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点 E 是 的中点，连接 CE，求 CE 的长19 （2015永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形 EFGH 的对角互补，那么四边形 EFGH 的四个顶点 E、F、G 、H 都在同个圆上） （二）问题解决：已知 O 的半径为 2，AB，CD 是O 的直径P 是 上任意一点，过点 P 分别作AB，CD 的垂线，垂足分别为 N，M（1）若直径 ABCD，对于 上任意一点 P（不与 B、C 重合）
19、 （如图一） ，证明四边形PMON 内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径 ABCD，在点 P（不与 B、C 重合）从 B 运动到 C 的过程中，证明 MN 的长为定值，并求其定值；（3）若直径 AB 与 CD 相交成 120角当点 P 运动到 的中点 P1 时（如图二） ，求 MN 的长；当点 P（不与 B、C 重合）从 B 运动到 C 的过程中（如图三） ，证明 MN 的长为定值（4）试问当直径 AB 与 CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值几何难题精选几何难题精选第 10 页 1020 （2015盘锦）如图 1，ABC 和 AED 都是等腰直角三角形，BAC=EA
20、D=90 ，点B 在线段 AE 上，点 C 在线段 AD 上（1）请直接写出线段 BE 与线段 CD 的关系： ；（2）如图 2，将图 1 中的ABC 绕点 A 顺时针旋转角 （0360 ） ，（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；当 AC= ED 时，探究在ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角 ，使以A、B、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角 的度数；若不存在，请说明理由21 （2015朝阳）问题：如图（1） ，在 RtACB 中，ACB=90 ，AC=CB， DCE=45，试探究 AD、DE、EB 满足的等量关系探究发现小聪
21、同学利用图形变换，将CAD 绕点 C 逆时针旋转 90得到CBH，连接 EH，由已知条件易得EBH=90，ECH=ECB+ BCH=ECB+ACD=45根据“ 边角边 ”，可证 CEH ，得 EH=ED在 RtHBE 中，由 定理，可得 BH2+EB2=EH2，由 BH=AD，可得 AD、DE、EB 之间的等量关系是 实践运用（1）如图（2） ，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E、 F 分别在 BC、CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求EAF 的度数；（2）在（1）条件下，连接 BD，分别交 AE、AF 于点 M、N，若 BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求
22、正方形的边长及 MN 的长几何难题精选几何难题精选第 11 页 1122 （2015自贡）在 ABC 中， AB=AC=5，cos ABC= ，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转，得到A 1B1C（1）如图，当点 B1 在线段 BA 延长线上时求证：BB 1CA1；求AB 1C 的面积；（2）如图，点 E 是 BC 边的中点，点 F 为线段 AB 上的动点，在 ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F 的对应点是 F1，求线段 EF1 长度的最大值与最小值的差23 （2015吉林）两个三角板 ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点 B 与点 D 重合，边 AB 与边 DE 在同一条直线上（假
23、设图形中所有的点，线都在同一平面内） 其中，C=DEF=90， ABC=F=30，AC=DE=6cm现固定三角板 DEF，将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移，当点 C 落在边 EF 上时停止运动设三角板平移的距离为 x（cm） ，两个三角板重叠部分的面积为 y（cm 2） （1）当点 C 落在边 EF 上时，x= cm；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）设边 BC 的中点为点 M，边 DF 的中点为点 N直接写出在三角板平移过程中，点M 与点 N 之间距离的最小值24 （2015汕尾）在 RtABC 中，A=90 ，AC=AB=4，D，E 分别是边
24、 AB，AC 的中点，若等腰 RtADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 RtAD1E1，设旋转角为 （0 180） ，记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P几何难题精选几何难题精选第 12 页 12（1）如图 1，当 =90时，线段 BD1 的长等于 ，线段 CE1 的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图 2，当 =135时，求证：BD 1=CE1，且 BD1CE1；（3）求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值 （直接写出结果）25 （2015赤峰）如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向
25、旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA（或它们的延长线）于点 E、 F，EDF=60，当 CE=AF 时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DE=DF（1）继续旋转三角形纸片，当 CEAF 时，如图 2 小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点 E、F 分别在 CB、BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出DE 与 DF 的数量关系；（3）连 EF，若DEF 的面积为 y，CE=x，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时，y有最小值，最小值是多少？26 （2015海南）如图，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，BCD=6
26、0 ，射线 AP 交 BC的延长线于点 E，射线 BP 交 DE 于点 K，点 O 是线段 BK 的中点（1）求证：ADPECP；（2）若 BP=nPK，试求出 n 的值；（3）作 BM 丄 AE 于点 M，作 KN 丄 AE 于点 N，连结 MO、NO ，如图 2 所示，请证明MON 是等腰三角形，并直接写出MON 的度数几何难题精选几何难题精选第 13 页 1327 （2015丹东）在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O；在 RtPMN 中，MPN=90（1）如图 1，若点 P 与点 O 重合且 PMAD、PN AB，分别交 AD、AB 于点 E、F，请直接写出 PE
27、与 PF 的数量关系；（2）将图 1 中的 RtPMN 绕点 O 顺时针旋转角度 （0 45） 如图 2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图 2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接 EF，若正方形的边长为 2，请直接写出线段 EF 的长；如图 3，旋转后，若 RtPMN 的顶点 P 在线段 OB 上移动（不与点 O、B 重合） ，当BD=3BP 时，猜想此时 PE 与 PF 的数量关系，并给出证明；当 BD=mBP 时，请直接写出PE 与 PF 的数量关系28 （2015成都）已知 AC，EC 分别是四边形 ABCD 和 EFDC 的对角线，点
28、E 在 ABC内，CAE+CBE=90（1）如图，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF（i）求证：CAECBF；（ii）若 BE=1，AE=2 ，求 CE 的长；（2）如图，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形，且 = =k 时，若BE=1，AE=2，CE=3 ，求 k 的值；（3）如图，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且DAB= GEF=45时，设BE=m，AE=n， CE=p，试探究 m，n，p 三者之间满足的等量关系 （直接写出结果，不必写出解答过程）几何难题精选几何难题精选第 14 页 1429 （2015锦州）如图 ， QPN 的顶点 P 在正
29、方形 ABCD 两条对角线的交点处，QPN=，将QPN 绕点 P 旋转，旋转过程中QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点 C，D 不重合） （1）如图，当 =90时，DE ，DF，AD 之间满足的数量关系是 ；（2）如图，将图中的正方形 ABCD 改为 ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时， （1）中的结论变为 DE+DF= AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明3
30、0 （2014绵阳）如图 1，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线 AC 折叠，使点B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE（1）求证：DECEDA；（2）求 DF 的值；（3）如图 2，若 P 为线段 EC 上一动点，过点 P 作AEC 的内接矩形，使其顶点 Q 落在线段 AE 上，定点 M、N 落在线段 AC 上，当线段 PE 的长为何值时，矩形 PQMN 的面积最大？并求出其最大值几何难题精选几何难题精选第 15 页 15几何难题精选(1) 旋转 圆 四边形参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1 （2015河南）如图 1，在 RtABC 中，B=9
31、0，BC=2AB=8，点 D、E 分别是边BC、AC 的中点，连接 DE，将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现当 =0时， = ；当 =180时， = （2）拓展探究试判断：当 0360时， 的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明（3）问题解决当EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）当 =0时，在 RtABC 中，由勾股定理，求出 AC 的值是多少；然后根据点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，分别求出 AE、BD 的大小，即可求出 的值是多少=180时，可得 AB
32、DE，然后根据 ，求出 的值是多少即可（2）首先判断出ECA= DCB，再根据 ，判断出 ECADCB，即可求出的值是多少，进而判断出 的大小没有变化即可（3）根据题意，分两种情况：点 A，D，E 所在的直线和 BC 平行时； 点 A，D，E所在的直线和 BC 相交时；然后分类讨论，求出线段 BD 的长各是多少即可【解答】解：（1）当 =0时，RtABC 中，B=90 ，AC= ，点 D、 E 分别是边 BC、AC 的中点， ， 几何难题精选几何难题精选第 16 页 16如图 1， ，当 =180时，可得 ABDE， ， = 故答案为： （2）如图 2， ，当 0360 时， 的大小没有变化，
33、ECD=ACB，ECA=DCB，又 ，ECADCB， （3）如图 3， ，AC=4 ，CD=4，CDAD，AD= = ，AD=BC，AB=DC， B=90，四边形 ABCD 是矩形， 几何难题精选几何难题精选第 17 页 17如图 4，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P， ，AC=4 ，CD=4，CDAD，AD= = ，点 D、 E 分别是边 BC、AC 的中点，DE= =2，AE=ADDE=82=6，由（2） ，可得，BD= = 综上所述，BD 的长为 4 或 【点评】 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力
34、，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握2 （2015济南）如图 1，在 ABC 中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点 M 为射线AE 上任意一点（不与 A 重合） ，连接 CM，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90得到线段 CN，直线 NB 分别交直线 CM、射线 AE 于点 F、D（1）直接写出NDE 的度数；（2）如图 2、图 3，当EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变， （1）中的结论是否发生变化？如果
35、不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图 4，若EAC=15 ， ACM=60，直线 CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条件不变，求线段 AM 的长几何难题精选几何难题精选第 18 页 18【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）根据题意证明MACNBC 即可；（2）与（1）的证明方法相似，证明MACNBC 即可；（3）作 GKBC 于 K，证明 AM=AG，根据MACNBC，得到BDA=90 ，根据直角三角形的性质和已知条件求出 AG 的长，得到答案【解答】解：（1）ACB=90 ， MCN=90，ACM=BCN，在MAC 和NBC 中
36、，MACNBC，NBC=MAC=90，又ACB=90，EAC=90，NDE=90；（2）不变，在MACNBC 中，MACNBC，N=AMC，几何难题精选几何难题精选第 19 页 19又MFD=NFC，MDF=FCN=90，即NDE=90；（3）作 GKBC 于 K，EAC=15，BAD=30，ACM=60，GCB=30，AGC=ABC+GCB=75，AMG=75，AM=AG，MACNBC，MAC=NBC，BDA=BCA=90，BD= ，AB= + ，AC=BC= +1，设 BK=a，则 GK=a，CK= a，a+ a= +1，a=1，KB=KG=1，BG= ，AG= ，AM= 【点评】本题考查
37、的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用3 （2015岳阳）已知直线 mn，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点，CD 与直线 m、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点（1）操作发现：直线 lm， ln，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时（如图所示），连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系： PA=PB （2）猜想证明：在图的情况下，把直线 l 向上平移到如图的位置，试问（1）中的PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由几何难题精选几何
38、难题精选第 20 页 20（3）延伸探究：在图的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得 APB=90（如图所示） ，若两平行线 m、n 之间的距离为 2k求证：PA PB=kAB【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）根据三角形 CBD 是直角三角形，而且点 P 为线段 CD 的中点，应用直角三角形的性质，可得 PA=PB，据此解答即可（2）首先过 C 作 CEn 于点 E，连接 PE，然后分别判断出PC=PE、 PCA=PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出 PACPBE，即可判断出 PA=PB 仍然成立（3）首先延长 AP 交直线 n 于点 F
39、，作 AEBD 于点 E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出AEF BPF，即可判断出 AFBP=AEBF，再个 AF=2PA，AE=2k，BF=AB ，可得 2PAPB=2kAB，所以 PAPB=kAB，据此解答即可【解答】解：（1）l n，BCBD，三角形 CBD 是直角三角形，又 点 P 为线段 CD 的中点，PA=PB（2）把直线 l 向上平移到如图 的位置，PA=PB 仍然成立，理由如下：如图，过 C 作 CEn 于点 E，连接 PE，三角形 CED 是直角三角形，点 P 为线段 CD 的中点，PD=PE，又 点 P 为线段 CD 的中点，PC=PD，PC=PE；PD=PE，CDE
40、=PEB，直线 mn，几何难题精选几何难题精选第 21 页 21CDE=PCA，PCA=PEB，又 直线 lm，ln，CEm， CEn，lCE，AC=BE，在PAC 和 PBE 中，PACPBE，PA=PB（3）如图，延长 AP 交直线 n 于点 F，作 AEBD 于点 E， ，直线 mn， ，AP=PF，APB=90，BPAF，又 AP=PF，BF=AB；在AEF 和 BPF 中，AEFBPF， ，AFBP=AEBF，AF=2PA，AE=2k，BF=AB，2PAPB=2kAB ，PAPB=kAB【点评】 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了
41、数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握几何难题精选几何难题精选第 22 页 224 （2015重庆）在 ABC 中， AB=AC，A=60，点 D 是线段 BC 的中点， EDF=120，DE 与线段 AB 相交于点 E DF 与线段 AC（或 AC 的延长线）相交于点 F（1）如图 1，若 DFAC，垂足为 F，AB=4，求 BE 的长；（2）如图 2，将（1）中的EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，
42、DF 仍与线段 AC 相交于点 F求证：BE+CF= AB；（3）如图 3，将（2）中的EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与线段 AC 的延长线相交于点 F，作 DNAC 于点 N，若 DNAC 于点 N，若 DN=FN，求证：BE+CF=（BECF） 【考点】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）如图 1，易求得B=60，BED=90 ，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出 BE 的值；（2）过点 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，如图 2，易证MBDNCD，则有BM
43、=CN，DM=DN，进而可证到EMDFND，则有 EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD= BC= AB；（3）过点 D 作 DMAB 于 M，如图 3同（1）可得：B=ACD=60，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN 由 DN=FN 可得 DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EM CF=BM+NFCF=BM+NC=2BM然后在 RtBMD 中，运用三角函数就可得到 DM= BM，即BE+CF= （BE CF） 【解答】解：（1）
44、如图 1，AB=AC，A=60，ABC 是等边三角形，B=C=60，BC=AC=AB=4点 D 是线段 BC 的中点，BD=DC= BC=2DFAC，即AFD=90 ，AED=3606090120=90，几何难题精选几何难题精选第 23 页 23BED=90，BE=BDcosB=2cos60=2 =1；（2）过点 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，如图 2，则有AMD=BMD= AND=CND=90A=60，MDN=36060 9090=120EDF=120，MDE=NDF 在MBD 和NCD 中，MBDNCD，BM=CN，DM=DN在EMD 和FND 中，EMDFND，EM=F
45、N，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD= BC= AB；（3）过点 D 作 DMAB 于 M，如图 3同（1）可得：B= ACD=60同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN DN=FN，DM=DN=FN=EM，BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM在 RtBMD 中，DM=BM tanB= BM，BE+CF= （BECF） 几何难题精选几何难题精选第 24 页 24【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形
46、的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN 是解决本题的关键5 （2015烟台） 【问题提出】如图，已知ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且ED=EC，将BCE 绕点 C 顺时针旋转 60至ACF 连接 EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图，如果点 E 在线段 AB 的延长线上，其他条件不变，线段 AB，DB，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出 AB，DB，AF 之间的数量关系，不必说明理由【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】首先判断出CEF 是等边三角形，即可判断出 EF=EC，再根据 ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60 ，所以EAF= BAC+CAF=120，DBE=120，EAF=DBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出 EDBFEA，即可判断出B
