1、流体力学,上海交通大学精品课程流体力学,主讲：张卫,流体力学”的配套教材，内容包括：流体力学的研究任务、方法及流体的主要力学性质；流体静力学；流体动力学基础；明渠流；堰流与闸孔出流；渗流；气体动力学基础；湍流射流。本书符合人才培养目标及课程的基本要求，深度适宜，科学理论与概念阐述准确，注重理论联系实际。与本书配套的有教学软件和试题库，可供读者使用。,流体力学,流体力学,第一章 绪论,第二章 流体静力学,第三章 流体动力学,第四章 相似和量纲分析,第五章 管 中 流 动,第六章 孔口和缝隙流动,第七章 气体的一元流动,第一章 绪论,1-1 流体力学研究的内容和方法,1-2 流体的概念及其模型化,
2、1-3 流体的主要物理性质,第二章 流体静力学,2-1 平衡流体上的作用力,2-2 流体的平衡微分方程,2-3 重力场中的平衡流体,2-4 静 压 强 的 计 算,2-5 平衡流体对壁面的作用力,2-6 液 体 的 相 对 平 衡,第三章 流体动力学,3-1 描述流体运动的两种方法,3-2 流体运动中的一些基本概念,3-3 连 续 方 程 式,3-4 理想流体的运动微分方程,3-5 伯 努 利 方 程 及 其 应 用,3-6 动 量 方 程 及 其 应 用,第四章 相似和量纲分析,4 -2 定 理 和 量 纲 分 析 的 应 用,4 1 相 似 原 理,第五章 管中流动,5-1 雷诺实验,5-
3、2 圆管中的层流,5-3 圆管中的湍流, 5-4 管道中的局部阻力,第六章 孔口和缝隙流动,第七章 气体的一元流动,81 声速和马赫数,82 一元气流的基本方程和流动特性,83 理想气体一元等熵流动的特征,84 收缩喷管与拉伐尔喷管的计算,第一章 绪 论,流体力学研究的主要内容：1、建立描述流体平衡和运动规律的基本方程；2、确定流体流经各种通道时速度、压强的分布 规律；3、探求流体运动中的能量转换及各种能量损失 的计算方法；4、解决流体与限制其流动的固体壁面间的相互 作用力。,1-1 流体力学研究的内容和方法,流体力学的研究方法：1、较严密的数学推理；2、实验研究；3、数值计算。,1-2 流体
4、的概念及其模型化 一、流体的物质属性 1、流体与固体,流体：可承受压力，几乎不可承受拉力，承受剪 切力的能力极弱。 易流性 在极小剪切力的作用下，流体就将产生无休止的（连续的）剪切变形（流动），直到剪切力消失为止。流体没有一定的形状。固体具有一定的形状。,固体：既可承受压力，又可承受拉力和剪切力，在一定范围内变形将随外力的消失而消失。,2、液体和气体气体远比液体具有更大的流动性。气体在外力作用下表现出很大的可压缩性。,二、流体质点的概念及连续介质模型流体质点 流体中由大量流体分子组成的，宏观尺度非常小，而微观尺度又足够大的物理实体。（具有宏观物理量 、T、p、v 等）,连续介质模型 流体是由无
5、穷多个，无穷小的，彼此紧密毗邻、连续不断的流体质点所组成的一种绝无间隙的连续介质。,1-3 流体的主要物理性质,一、密度lim M kg/m3V0 V流体密度是空间位置 和时间的函数。,V. M P ( x,y, z ),z,x,y,P =,kg/m3,对于均质流体：,二、压缩性 可压缩性 流体随其所受压强的变化而发生 体积（密度）变化的性质。,( m2/N ),式中：dV 流体体积相对于V 的增量；V 压强变化前(为 p 时)的流体体积；dp 压强相对于p 的增量。,体积压缩率（体积压缩系数）：,K 不易压缩。 一般认为：液体是不可压缩的（在 p、T、v 变 化不大的“静态”情况下）。则 =
6、 常数,体积（弹性）模量：,或:,( N/m2 ),三、液体的粘性 1、粘性的概念及牛顿内摩擦定律,流体分子间的内聚力流体分子与固体壁面间的附着力。 内摩擦力 相邻流层间，平行于流层表面的相互作用力。,定义：流体在运动时，其内部相邻流层间要产 生抵抗相对滑动（抵抗变形）的内摩擦力的性质称为流体的粘性。,y,x,v。,v+dv v,y,dy,v0,F,内摩擦力： 以切应力表示：式中： 与流体的种类及其温度有关的比例常数； 速度梯度（流体流速在其法线方向上的变化率）。,牛顿内摩擦定律,2、粘度及其表示方法 粘度 代表了粘性的大小 的物理意义：产生单位速度梯度，相邻流层在单位面积上所作用的内摩擦力（
7、切应力）的大小。,常用粘度表示方法有三种： 动力粘度 单位 ： Pa s （帕 秒）1 Pa s = 1 N/m2 s,相对粘度 其它流体相对于水的粘度恩氏粘度：E 中、俄、德使用赛氏粘度 : SSU 美国使用雷氏粘度: R 英国使用巴氏粘度: B 法国使用用不同的粘度计测定,运动粘度： 单位：m2 / s工程上常用：10 6 m2 / s (厘斯) mm2 / s,油液的牌号：摄氏 40C 时油液运动粘度的 平均厘斯( mm2 /s )值。,3、粘压关系和粘温关系 1粘压关系压强其分子间距离（被压缩）内聚 力粘度一般不考虑压强变化对粘度的影响。 2粘温关系（对于液体）温度内聚力 粘度 温度变
8、化时对流体粘度的影响必须给于重视。,4、理想流体的概念 理想流体假想的没有粘性的流体。 = 0 = 0 实际流体事实上具有粘性的流体。,小 结,1、流体力学的任务是研究流体的平衡与宏观机械运动规律。,2、引入流体质点和流体的连续介质模型假设，把流体看成没有间隙的连续介质，则流体的一切物理量都可看作时空的连续函数，可采用连续函数理论作为分析工具。,3、流体的压缩性，一般可用体积压缩系数 k 和体积模量 K 来描述。在压强变化不大时，液体可视为不可压缩流体。,4、粘性是流体最重要的物理性质。它是流体运动时产生内摩擦力，抵抗剪切变形的一种性质。不同流体粘性的大小用动力粘度 或运动粘度 来反映。温度是
9、影响粘度的主要因素，随着温度升高，液体的粘度下降。理想流体是忽略粘性的假想流体。,应重点理解和掌握的主要概念有：流体质点、流体的连续介质模型、 粘性、粘度、粘温关系、理想流体。流体区别于固体的特性。 还应熟练掌握牛顿内摩擦定律及其应用。,第二章 流体静力学,平衡（静止）,绝对平衡 流体整体对于地球无相对运动。 相对平衡 流体整体对于地球有相对运动，但流体质点间无相对运动。,平衡流体内不显示粘性，所以不存在切应力 。,2-1 平衡流体上的作用力 一、质量力 质量力 与流体的质量有关，作用在某一体积 流体的所有质点上的力。（如重力、惯性力）,fx 、fy、fz 单位质量力在直角坐标系中 x、y、
10、z 轴上的投影。,单位质量力 单位质量流体所受到的质量力。, 单位质量力（数值等于流体加速度）。,二、表面力 表面力 由于V 流体与四周包围它的物体相 接触而产生，分布作用在该体积流体的表面。 单位面积上的表面力（应力）： 法向分量 lim Fn A0 A 压强 KPa， MPa,=,pP,归纳两点： 1、平衡流体内不存在切向应力，表面力即为 法向应力（即静压强）； 2、绝对平衡流体所受质量力只有重力，相对 平衡流体可能受各种质量力的作用。,三、 流体静压强的两个重要特性。 1、流体静压强的方向总是沿着作用面的内法线方向。 2、平衡流体内任一点处的静压强的数值与其作用面的方向无关，它只是该点空
11、间坐标的函数。 证明：在平衡流体中取出一微小四面体ABOC，考察其在外力作用下的平衡条件。,表面力,各个面上的静压力,ABC 斜面面积,质量力 若,则：,质量力在三个坐标方向上的投影, x 方向上的力平衡方程式（Fx= 0）px1/2dydz pn ABCcos(n,x) + 1/6dxdydz fx = 0 因ABCcos(n,x) = 1/2dydz (ABC在yoz平面上 的投影) 则： 1/2dydz ( px pn ) + /6dxdydz fx = 0略去三阶微量 dxdydz. 可得： px = pn,同理： 在 y 方向上有 py = pn在 z 方向上有 pz = pn 则有
12、： px = py = pz = pn即：平衡流体中某点处所受的静压强是各向同 性的。静压强是一个标量。其大小由该点所处的空间位置决定。 p = p ( x、y、z ),2-2 流体的平衡微分方程（欧拉平衡微分方程） 平衡规律：在静止条件下，流体受到的静压力与质量力相平衡。,平衡微分方程的推导： 从平衡流体中取出一微小正平行六面体微团。,体积:,分析微小正平行六面体微团受力：,一、质量力 dFmx = dxdydz fx dFmy = dxdydz fy dFmz = dxdydz fz,二、表面力 先讨论沿 x 轴方向的表面力。 形心A( x、y、z ) 处的静压强为pA( x、y、z )
13、距A点 x 轴方向上 1/2dx 处的前、后两个面上的表面力分别为：,三、平衡微分方程 沿 x 轴方向有 Fx = 0 即：化简整理后，将方程两边同除以微小六面体的质量 dxdydz,得：,静止流体的平衡微分方程(欧拉平衡微分方程）,方程的物理意义 : 在静止流体中，作用在单位质量流体上的质量力与作用在该流体表面上的压力相平衡。,同理：,四、综合表达式 将平衡微分方程的三个表达式分别乘以dx、dy、dz 然后相加 得：,静压强的全微分,此式便于积分。对于各种不同质量力作用下流体内的压强分布规律，均可由它积分得到。,则：, 欧拉平衡微分方程的综合表达式,五、质量力的势函数,对于不可压缩流体， =
14、常数。 令p/ = w，因 p = p ( x, y, z )，则: w = w ( x, y, z ) 由综合式有： d (p/) = fxdx + fydy + fzdz = dw = (w/x)dx + (w/y)dy + (w/z)dz,则有 : fx= (w/x)， fy= (w/y), fz= (w/z),由于坐标函数 w ( x, y, z )与质量力之间存在着上述关 系，则称函数 w 为质量力的势函数，这样的质量力称为有 势质量力。,2-3 重力场中的平衡流体 讨论重力作用下，不可压缩平衡流体的压强分布规律。 一、静压强基本公式（方程）对于如图所示容器中的流体，单位质量 流体所
15、受质量力在各坐标方向上的分量为：,将上述结果代入欧拉平衡微分方程的综合表达式 得： 移项后得：,对于均质的不可压缩流体， = 常数 积分上式，则：式中：C为积分常数, 重力作用下、连续、均质、不可压缩流体 的静压强基本公式（静力学基本方程）。,如图若 1、2 两点是流体中的任意两点，则上式 可写成 ：,或：,二、静压强分布规律取流体中任意一点 A，考察该点处静压强。 对A点和液面上的一点C列写出静压强基本公式：或 gz + p = gz0 + p0整理得：p = p0 + g( z0 z ) = p0 + gh 式中：h A点处的液深 。 上式表示了不可压缩均质流体在重力作用下的压强分布规律，
16、是流体静力学中最常用的公式。,静压强分布规律,对公式的几点说明： 1、任意一点的静压强由两部分组成：液面压强 p0 和液重产生的压强 gh； 2、任意点处的压强都包含了液面压强（帕斯卡原理）； 3、h p , 呈直线规律分布； 4、距液面深度相同各点处的压强均相等。等压面为一簇水平面。,三、静压强基本公式的物理意义mgz 位置势能 z 单位重力流体对某一基准面的位置势能(位置水头)。,所以:,物理意义：重力作用下，静止流体中任意点处单位重力流体的位置势能与压强势能之和（总势能）为一常数。,对静止流体中的 A、B 两点列静压强基本公式 可得, 单位重力流体的压强势能（压强水头）,24 静压强的计
17、算 一、静压强的计算标准（表示方法）绝对压强 以绝对零值（绝对真空）为计算标准，所表示的压强。计示压强（相对压强、表压强） 以当地大气压为计算标准，所表示的压强。真空度以当地大气压为计算基准，小于大气压的部分。,三者之间的关系如图 或归纳如下：绝对压强 =大气压强 + 计示压强计示压强 = 绝对压强 大气压强真空度 =大气压强 绝对压强,二、静压强的计量单位 1、应力单位：Pa (N/m2), KPa, MPa（法定计量单位）,2、液柱高单位 ：,国外：bar (巴) 1 bar = 105 Papsi (巴斯) 1 psi = 6.89 KPa,m H2O , mm Hg 等,用不同介质的液
18、柱高表示压强时的换算关系：,三、压强的测量,金属式压力表 机械式,压力传感器 电测法,液柱式测压计 基于以静压强基本公式,2-5 平衡流体对固体壁面的作用力 讨论质量力仅为重力时平衡流体对壁面的作用力。 一、固体平面壁上的作用力（大小、方向、作用点） 考察平面壁AB上的作用力。建立坐标 lom如图。,1、平板上的作用力（大小） 微元面积dA上的压强：p = p0 + gh 微元面积dA上的微小作用力为dF dF = ( p0 + gh ) dA = ( p0 + glsin ) dA,整个平板AB上的作用力 F 应为： F = AdF = A p0dA + + A g l sin dA = =
19、 p0A +g sin AldA 式中： AldA = lCA 面积矩定理 式中：lC 平面A形心C点的 l 轴坐标。,则 F = p0A + g sin lC A = ( p0 + ghc )A = pCA 式中: hC 平面A形心C处的液深；pC C点处的压强。,上式表明：重力作用下，静止液体对平面壁的作 用力等于平面形心处的静压强与平面面积的乘积。,2、压力中心（压力作用点） 因 F lD = A l dF 式中：lD 平面A压力中心D点的 l 轴坐标。 将 F 和 dF 的表达式代入上式 得：( p0 + ghc)A lD = A ( p0 + g l sin ) l dA,Im 平面
20、A对m轴的惯性矩；ICm 平面A对通过其形心C并与m轴平行的 C C 轴的惯性矩 ( 典型平面的ICm值可查表获 得)。,若 p0 = 0 （液面为大气压） , 则可得到很简单的形式：可见总有: lD lC ， 二者之间的距离为,压力中心D(作用点)液深 ：,若平面A关于 l 轴不是对称的,尚需求出点D的m轴坐标,才能确定压力中心D的位置则 D( mD , lD ) 式中: Iml 平面A对m轴和 l 轴的惯性积。,二、曲面壁上的作用力讨论如图所示的二维曲面（柱面）上的静止液体的作用力F。设有一个承受液体压力的二维曲面ab，其面积为A，曲面在 xoz 坐标平面上的投影为曲线 ab。液深为h 处
21、的微小曲面积 dA上的液体微小作用力为dF。dF = ( p0 + gh ) dA,1、作用力的水平分力为Fx微小水平分力为：dFx = dF cos = ( p0 + gh ) dA cos = ( p0 + gh ) dAx式中：dAx 微小曲面积 dA 在 x 轴方向(或 yoz 坐标平面)上的投影面积。,则 Fx = AxdFx = Ax ( p0 + gh)dAx= p0Ax + g Ax h dAx 式中： Ax hdAx = hCAx 曲面A在 yoz 平面上的投影面积 Ax 对 y 轴的面积矩 。hC 投影面积Ax形心处C的液深。,所以：Fx = p0Ax + ghC Ax =
22、 ( p0 + ghC)Ax作用力的水平分力,2、作用力的垂直分力Fz微小垂直分力为： dFz = dFsin = ( p0 + gh)dA sin = ( p0+gh)dAz 式中：dAz 微小曲面积 dA 在 z 方向上的投影面积。,则： Fz = AzdFz = Az ( p0 + gh)dAz= p0Az + g Azh dAz 显然，式中：Az hdAz = VF 曲面ab上方的液体体积，称为压力体。,液体对曲面的作用力:,所以： Fz = p0Az + gVF 作用力的垂直分力, F 的方向与垂直方向的夹角。,F 的作用方向：,三、压力体的概念积分式 Azh dAz 纯几何体积。
23、定义：由所研究的曲面A，通过曲面A的周界（外缘）所作的垂直柱面，以及对曲面A有作用的液体自由液面（或其延伸面）所围成的封闭体积，用VF表示，称为压力体。,压力体液重： gVF,实压力体 压力体与受压面同侧。 虚压力体 压力体与受压面异侧。,例题：某水坝用一长方形闸门封住放水口。闸门高 L = 3 m ，宽 B = 4 m ，闸门两边水位分别为 H1= 5 m ，H2 = 2 m ，闸门垂直放置，试确定：1、开启闸门时绳索的拉力（绳索与水平面的夹角为 60 ）；2、关闭闸门时 A 点处的支承力。,解：1、作用在闸门右侧的总压力为：,总压力 F1 的作用点：,作用在闸门左侧的总压力为：,总压力 F
24、2 的作用点：,将闸门两侧的水压力及绳索拉力对转轴 O 点取矩， 应有：,即：,求得绳索的拉力 T = 348.9 KN,2、,即：,解得： FA = 174.4 KN,例题 ( 习题 2 32 ) : 求封闭液体关闭闸门所需的力 F 。,解：设液体对弧形闸门（以 R 为半径的四分之一圆柱面）的总压力为 P 。其垂直指向圆柱面，且作用线通过圆柱曲面的曲率中心。 则应有：F R = P l 上式中：l = R sin P 对铰点 O 的力臂 P 的作用线与垂直方向的夹角,需求出,1、首先求出容器液面压强 p0由 U 形管差压计知：,2、由 Px = pc Ax,得：,3、,4、,5、,6、,7、
25、,例题：一圆柱形压力水罐（压力容器）。半径R = 0.5 m，长 l = 2 m，压力表读数pM = 23.72 KPa。 试求：1、两端部平面盖板所受的水压力；2、上、下半圆筒所受的水压力。,解：1、端盖板所受的水压力,2、上、下半圆筒所受的水压力,或：压力表用测压管代替时,相对平衡流体所受的质量力：重力惯性力,2-6 液体的相对平衡,除了重力场中的流体平衡问题以外，还有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问题：液体质点彼此之间固然没有相对运动，但盛装液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。如果我们把运动坐标取在容器或机件上，则对于这种所谓的非惯性坐标系来说，液体就成为相对平衡了。,
26、工程上常见的流体的相对平衡有两种：1、作匀加速直线运动容器中的液体；2、作等角速旋转运动容器中的液体。,讨论作等角速旋转运动容器内液体的相对平衡。,如图，盛有液体的圆柱形容器绕铅垂轴 z 以角速度作旋转运动，液体被甩向外周。 当旋转角速度稳定不变时，液体形成如图所示的自由表面，液体质点之间不再有相对运动,液体连同容器作整体回转。如果将运动坐标系固结在回转容器上,且坐标原点取在自由液面的最低点，则液体对运动坐标系形成相对平衡。,容器作等角速回转运动,下面讨论其静压强分布规律和等压面方程。单位质量力 单位质量液体所受质量力的各分量为：fx = 2 r cos= 2xfy = 2 r sin = 2
27、yfz = g式中：r 流体质点到旋转轴的距离；x、y r 在两水平坐标轴上的投影。,此时作用在液体上的质量力有两种：重力 W = mg虚构的离心惯性力 F = m2 r（方向与向心加速度的方向相反）,将各单位质量力的分量代入等压面微分方程式， 可得：2 x dx + 2 y dy g dz = 0,作不定积分得：,一、等压面方程在等压面上 p = C则 dp = 0由平衡微分方程式的综合表达式可得等压面微分方程式： fxdx + fydy + fzdz = 0,或:,自由表面方程：在自由表面上，当 r = 0 时，z = 0，可得积分常数 C = 0，故自由表面方程为：,或:,等角速旋转容器
28、中 液体的等压面方程,可见等压面是一簇绕 z 轴的旋转抛物面。,则,在Oxy 坐标平面以上的旋转抛物体内的液体体积为,上式说明,圆柱形容器中的旋转抛物体的体积,恰好是高度为最大超高的圆柱形体积之半。,二、静压强分布规律将前述单位质量力的各坐标分量代入平衡微分方程式的综合表达式中，得： dp =(2 x dx +2 y dy g dz),作不定积分，则,由边界条件：当 r = 0 时，z = 0 ； p = p0,可见：等角速旋转容器中液体的静压强分布规律与重力作用下静止液体中的静压强分布规律形式完全相同。,小 结,流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律。静止流体中 粘性不起作用，表面力只
29、有压应力。所以流体静力学的核心问题是以 压强为中心，主要阐述流体静压强的特性、欧拉平衡微分方程、静压 强的分布规律、作用在平面壁或曲面壁上的静压力的计算方法等。,掌握以下基本概念：绝对压强、相对压强、真空度、测压管水头、压 力体、压力中心。,掌握静压强的两个重要特性,掌握并熟练运用静力学基本方程、静压强分布规律（重力作用下）， 理解其物理意义，,掌握并能运用欧拉平衡微分方程及其综合表达式，理解其物理意义，,掌握作用在平面壁和曲面壁上的静压力的计算方法。,第三章 流体动力学 动力学比静力学多了两个参数：粘度和速度,3-1 描述流体运动的两种方法 流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。描述流体
30、的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时间 连续变化的规律。,一、拉格朗日法（随体法）着眼于流场中具体流体质点的运动。即跟踪每一个流体质点，分析其运动参数随时间的变化规律。,二、欧拉法（局部法、当地法）着眼于某瞬时流场内处于不同空间位置上的流体质点的运动规律。广泛采用。 N 流体的运动参数。N = N ( x, y, z, t ) = N x(t), y(t), z(t), t ( x, y, z, t ) 欧拉变数,用初始时刻 t0 某流体质点具有的空间坐标(a,b,c)来标识不同的流体质点，用流体质点的初始坐标(a,b,c)和时间变量 t 共同表达流体质点的运动规律 x = x ( a,b
31、,c,t )、y = y ( a,b,c,t )、z = z ( a,b,c,t )。,3-2 流体运动中的一些基本概念一、定常（恒定）流动：流体的运动参数（物 理量） N 仅仅是空间坐标的函数，而与时间无关的流动。即 N = N( x, y, z ) 或,二、控制体：流场中人为选定的，相对于坐标系有固定位置，有任意确定形状的空间区域。,三、物理量(运动参数)的质点导数(随体导数)： 物理量的质点导数（全导数）,N 是时间 t 的复合函数，由多元复合函数 求导法则可得：,时变导数(当地导数)：,在某一固定空间点上物理量N对时间 t 的变化率。,流体质点所在空间位置变化，所引起的物理量N对时间
32、t 的变化率。,位变导数(迁移导数)：,对于定常流动： （时变导数为零）对于均匀流动：（位变导数为零）对于不可压缩流体： (全导数为零）,四、一元（维）流动：运动参数仅沿着流动方向变化的流动。,五、流线 ： 在某一瞬时，液流中的一条条光滑曲线。在该瞬时，位于流线上各点处流体质点的速度方向与流线相切。,流线的性质：流线是一个瞬时概念。定常流动下，流线形状不随时间变化。流线不能相交，也不能突然转折。,六、流束 ：过液流中由封闭曲线 l 围成的面积 A 上的每一点作流线，所作流线的集合称为流束。微小流束 当面积 A 无限缩小趋于零时的流 束。,七、过流断面 ： 流束中与所有流线相垂直的截面。,缓变流
33、动 流线间基本平行的流动。 缓变流动下的过流断面可近似为一平面。,八、流量 ： 单位时间内流过某一过流断面的流体体积。q m3/s l/min,dq = v dA 微小流束过流断面的流量。q = A v dA 流束过流断面的流量。,九、断面平均流速 ：假想的过流断面上各点处都相等的流速。,3-3 连续方程式（一元流动） 物理本质：控制体中流体质量的增量，必然等于 同一时间内流入与流出控制体的流体质量之差。,沿如图所示的流束表面及两个过流断面 A1、 A2取出控制体。,单位时间内流入、流出控制体的流体质量之差等于该控制体内流体质量（密度）的变化率。,一、定常流动,二、对于不可压缩流体流动 = C
34、onst 则： 即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过流断面积成反比。,则：,直角坐标系下微分形式的连续性方程,1、连续性微分方程的一般形式,在流场中取一微元平行六面体作为控制体 边长分别为dx、dy、dz。,中心点 A ( x,y,z ) 流速为vx、vy、vz ，密度为( x,y,z,t ) 考察在 dt 时间内流入、 流出控制体的流体质 量与控制体内流体质 量变化的关系。,首先考察沿 y 方向流入、流出控制体的流体质量。,流入质量：,流出质量：,在 dt 时间内自垂直于 y 轴的两个面流出、流入的 流体质量之差为：,dt 时间内经控制体净流出的流体质量应等于该时 间控制体内流体质量的
35、减少（由质量守恒定律）。,即：,同理可得自垂直于 x、z 轴的平面流出、流入的 流体质量之差分别为：,不可压缩流体的连续性微分方程：, = Const,2、不同适用范围的使用形式,定常流动的连续性微分方程：,于是可得流体连续性微分方程的一般形式为：,物理意义：不可压缩流体在单位时间内， 流出、流入单位空间的流体体积之差等于零。,适用范围：理想、实际，定常流或非定常流的 不可压缩流体。,3-4 流体微团的运动分析,一、流体微团运动的组成,亥姆霍兹速度分解定理：任一流体微团的运动可以分解为三个运动： 1、随同任一基点的平移； 2、绕通过这个基点的瞬时轴的旋转运动； 3、变形运动（包括角变形和线变形
36、）。,按二维情况,平 动,平移+线变形,平移+角变形,平移+旋转运动,实际的流体运动多为平动、转动和变形三种基本运动形式或两种基本运动形式的组合。,二、流体微团的旋转运动,流体微团的旋转运动对流动分析有很重要的意义。,1、旋转角速度的定义原相互垂直的两邻边的旋转角速度的平均值为流体 微团绕某转轴的旋转角速度i ( i = x, y, z )。,2、旋转角速度的数学表达式,A点速度：vx、vy,与A点相邻的 D 点速度：,AD边的旋转角：,同理AB边的旋转角：,AD边与AB边的旋转角速度分别为：,（顺时针为负）,（逆时针为正）,由旋转角速度的定义，可得流体质点绕 z 轴的 旋转角速度z,同理：,
37、三、有旋流和无旋流,按流体质点是否绕自身轴旋转，流动分为 有旋流动和无旋流动。,有旋流动（亦称涡流），x、y、z中至少有 一个不为零。,无旋流动（亦称有势流动），,x=y=z= 0,，,，,或,有无旋仅取决于每个流体微团本身是否 旋转，而与流体微团的运动轨迹无关。,3-5 理想流体的运动微分方程(欧拉运动微分方程)仍采用微元体积法：在流场中取出一个正平行六面体 流体微团。dV = dxdydz. 在某瞬时 t形心A( x, y, z ) 处的压强为 pA( x, y, z, t )，形心A( x, y, z ) 处的速度为 vx, vy, vz ，作用在微元平行六面体上的力有质量力和表 面力。
38、 以 y 方向为例分析受力。,dFm,一、y 方向的质量力dFmy = dx dy dz fy,二、y方向的表面力 左表面：右表面：式中： 压强沿 y 方向的变化率。,三、y方向的运动方程（力平衡关系式） 由牛顿第二定律，在 y 方向上有： Fy = may即：,所以：,得：, 单位质量流体在 y方向上运动规律的数学表达式,同理，可推得在 x、z 方向有：,理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）,3-5 伯努利方程及其应用,一、理想流体沿流线的伯努利方程,单位质量的流体质点经 dt 时间沿流线产生微小位移 。,将上述三式分别与欧拉运动微分方程三个表达式的两边相乘，然后分别相加可得：,引入以
39、下限制条件，对上式中的三类项分别进行化简。流体为不可压缩的；流体作定常流动；流体所受的质量力仅为重力。,1、质量力（由条件3）fxdx + fydy + fzdz = gdz,2、表面力（由条件2）,3、惯性力于是化简后可得：积分上式，并考虑条件 1 ， = 常数 得：,对于同一流线上的任意两点 1、2 ，上式可写成：, 在重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，沿流线的伯努利方程(能量方程)。,单位重力流体的动能 （速度水头）,除以 g, 则：,物理意义：重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，各点处不同性质的流体能量之间可以相互转换，但在流线任意点处总的机械能守恒。,二、理想流体总流（
40、流束）的伯努利方程总流 流体通过有限过流断面的流动。表达了两个过流断面处流体能量的关系，但要以过流断面上的平均值表示。,过流断面上速度分布越均匀， 1。,2、势能项 若将 yoz 坐标平面取在缓变过流断面上， 则有： vx = v ， vy = vz = 0,三、实际流体总流的伯努利方程用能量的观点把“理想”拓广到“实际”中。粘性摩擦对流体运动的阻力，要由一部分机械能去克服，使机械能 热能，沿流动方向机械能降低。,应用伯努利方程解决工程实际应用问题时应注意以下几点： 1、适用条件：不可压缩流体、定常流动、质量力只有重力作用。 2、往往与连续方程联合使用。 3、在选取适当的位置势能为零的水平基准
41、面后，可选择过流断面上任意高度为已知点 z1 和 z2 列出伯努利方程。（三选一列） 4、所选用的过流断面必须是缓变过流断面。且其中一个断面应选在待求未知量所在处，另一个断面应选在各参数已知处。,5、压强 p 可取绝对压强或计示压强。但两个断面必须采用同一种表示方法。 6、一般取 1 = 2 7、沿流程若有能量输入或输出时（经水泵、通风机等），式中：H 单位重力流体流经流体机械获得 ( + ) 或失去 ( ) 的能量。（水泵的扬程）,四、伯努利方程的应用（文丘里流量计）文丘里流量计由进出口过流断面积分别为A1和A2的一段渐缩管组成。并在进出口处接入水银差压计（或测压管）。根据伯努利方程，只要读
42、出 h 或 h 即可由 A1和 A2（或 d1和 d2）求得管中流量 q。,取基准面0-0，另在缓变流动区取断面1-1，2-2，断面形心为计算点。考虑理想流体（暂不计流动的能量损失）。,对两过流断面1-1，2-2列出伯努利方程：,( 取 = 1 ),由连续方程知：,解出：,代入伯努利方程得：,解得：,对于测压管：,对于U 型差压计:,文丘里流量计若用测压管测压，则,推导：,则：,同除以 g 有 ：,则：,文丘里流量计若用U 形管差压计测压，则:,推导：取水平面过U 型管左支管的两液 体分界面，列等压面方程。,左支管：,右支管：,即：,于是理论流量：qT = v1A1,考虑实际流体流动中的能量损
43、失后 实际流量为：q = Cqv1A1 其中Cq 流量系数。,流量的测量、计算与文丘里流量计放置的倾斜角度无关。,所以：,例题 3 2：如图所示射流泵，将蓄水池中的水吸上后从出水管排出。,已知：H = 1 mh = 5 mD = 50 mm喷嘴 d = 30 mm不计摩擦损失 求： 1、真空室中的压强 p2 ， 2、排出水的流量 qV 。,解：取 5 个过流断面如图。,对11，33 断面列伯努利方程得：,则：,由连续方程知：,即：,再对 11，22 断面列伯努利方程得：,解得：,真空室压强 p2 低于大气压，降至 0.345105 Pa 后， 蓄水池中的水被压上来。,流量为：,v 吸水管中的流
44、速,对 44 和 55 断面列伯努利方程求 v :,解得：,排出水的流量：, 3-6 动量方程及其应用 质点系的动量定理： 即：质点系动量的变化率等于作用在质点系上所有外力的矢量和。,在某一瞬时 t ，从流场中取出一控制体（如虚线所示），其一部分控制表面与要计算作用力的固体壁面相重合。 按照作用力与反作用力大小相等、方向相反的原理，讨论运动流体对固体壁面的作用力。,t +dt 时刻，流体质点系的动量为: ( mv )t +dt + ( mv )t +dt 而 ( mv )t +dt = = ( mv )t +dt ( mv )t +dt,则在dt 时间内流体质点系运动到新的空间位置后， 其动量
45、的增量为： d(mv) = (mv)t +dt (mv)t +dt + (mv)t +dt (mv)t = (mv)t +dt (mv)t + (mv)t +dt (mv)t +dt ,式中： 项 控制体内流体动量在dt 时间内的增量。 项 在dt 时间内通过控制表面A2 流出控制体的流体动量。 项在dt 时间内通过控制表面A1 流入控制体的流体动量。,二、定常、不可压缩、一元流动的动量方程,1、定常、一元流动项为零, 则有：d(mv) = = (mv)t +dt (mv)t +dt = 2q2dt2v2 1q1dt1v1,由动量定理得： F = 2q22v2 1q11v1,2、对于不可压缩、定常、一元流动1 = 2 则：F = q（2v2 1v1） 不可压缩、定常、一元流动的动量方程。,动量方程的投影形式：（最常使用此形式）Fx = q（2v2x 1v1x） Fy = q（2v2y 1v1y） Fz = q（2v2z 1v1z）,
