1、第 6 章,圆 轴 的 扭 转,T O R S I O N,1 工程中的扭转问题,2 外力偶矩、扭矩与扭矩图,1) 外力偶矩,图示马达驱动的轴,匀速转动，转速是n(r/m)，传递的力偶矩是M，马达的功率是P(kW)。,作用在轴上的外力偶矩是,2) 扭矩,用截面法求轴的内力,在轴内的任意一个横截面m-m处将轴切开,由平衡条件知，截面上的内力必定是一个力偶， 称之为扭矩,左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力， 它们的大小一定相等而转向相反。,通过两部分的平衡方程,可以求得扭矩的大小和实际转向,扭矩的符号规定：按照右手螺旋法则，如果实际扭矩矢量的方向与扭矩所在截面的外法 线方向一致，则定义扭矩的符
2、号为正，反之为负。,3） 扭矩图,用图线来表示扭矩与截面位置之间的关系,例6-1 一等截面传动轴，转速n=5 rps，主动轮A的输入功率P1=221 kW，从动轮B、C的输出功 率分别是P2=148 kW和P3=73 kW。求轴上各截面的扭矩，并画出扭矩图。,解：(a) 外力偶矩。根据轴的转速和输入与输出功率计算 外力偶矩：,(b) 扭矩。在集中力偶MA与MB之间和MB与MC之间的圆轴内，扭矩是常量，分别 假设为正的扭矩T1和T2。,由平衡方程可以求得,由结果可知扭矩的符号都为正。,(c) 扭矩图。根据上述结果画出扭矩图 扭矩数值最大值发生在AB段。,此时轴的扭矩图如下,可见轴内的最大扭矩值比
3、原来减小了。,注释：若将A轮与B轮相互调换，则轴的左右两段内的扭矩分别是,3 圆轴的扭转变形、扭转切应力,在小变形的条件下，由对称性知，轴的横截面在绕轴线转动的过程中仍保持为平面， 它的形状还是圆，半径仍是直线，轴的长度和半径的大小都保持不变。左右两端截面绕轴 线相对转过一个角度，称为扭转角。,圆轴扭转时横截面上的切应力,1) 切应力互等定理,由平衡条件，有：,上面的表达式表示微体的两个正交面上 如果有切应力的话，则切应力的数值相等， 方向与两个正交面的交线垂直，共同指向 或共同背离交线。这就是切应力互等定理。,2） 剪切胡克定律,图c中，原来互相正交的棱边由于变形发生了一个角度 的改变，就是
4、切应变。,对于线弹性的材料，切应力与切应变成正比关系，即,式中的比例常数G称为切变弹性模量,上面的关系式称为剪切胡克定律,对于各向同性材料，存在如下关系：,可知：,于是有：,显然，截面上最大切应力位于圆截面的外边缘上，其大小是：,3） 扭转的切应力公式,由切应力与扭矩之间的关系得：,即：,令上式中的积分为IP，它仅与截面的几何尺寸有关，称为极惯性矩，即,由此可以得到：,显然，横截面上的最大切应力是：,是一个仅与截面有关的量，称为抗扭截面系数,所以，最大切应力计算公式又可以写成：,4） 极惯性矩和抗扭截面系数的计算,直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数,如果是空心圆截面,空心圆截面
5、上的切应力分布如图,例6-2 一端固定的阶梯圆轴，受到外力偶M1和M2的作用，M1=1800 N.m，M2=1200 N.m。 求固定端截面上=25 mm处的切应力，以及轴内的最大切应力。,解：(a) 画扭矩图。用截面法求阶梯圆轴的内力并画出扭矩图。,(b) 固定端截面上指定点的切应力。,(c) 最大切应力。分别求出粗段和细段内的最大切应力,比较后得到圆轴内的最大切应力发生在细段内。,注释：直径对切应力的影响比扭矩对切应力的影响要大，所以在阶梯圆轴的扭转变形中，直径 较小的截面上往往发生较大的切应力。,4. 圆轴扭转的强度设计和刚度设计,1） 圆轴的扭转失效,塑性材料在扭转时，当外力偶矩逐渐增
6、大时，材料首先屈服，这时在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线，横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力。当外力偶矩增大到某个数值时，试件就在某一横截面处发生剪断 。,当脆性材料在扭转时，扭转变形很小，没有明显的屈服 阶段，最后发生约45o的螺旋面的断裂破坏。,扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的极限应力，用u表示。,2） 强度条件和强度计算,许用切应力：,强度条件 ：,例6-3驾驶盘的直径=520 mm，加在盘上的平行力P=300 N，盘下面的竖轴的材料许用 切应力=60 MPa；(1)当竖轴为实心轴时，设计轴的直径；(2)采用空心轴，且=0.8， 设计内外直径；(3)比较实心轴和空心轴的重量比。,
7、解：(a) 外力偶和内力：作用在驾驶盘上的外力偶与竖轴内的扭矩相等,(b) 设计实心竖轴的直径。,(c) 设计空心竖轴的直径。,(d) 实心轴与空心轴的重量之比：等于横截面面积之比。,注释：在强度相等的条件下，实心轴的重量约是空心轴的2倍。所以在工程上，经常使用空心圆轴。,3）刚度条件和刚度计算,由,积分得：,若扭矩T和扭转刚度GIP是常量，则上式可以简化成,如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则,刚度条件：,例6-5,例64 某机器的传动轴如图所示，传动轴的转速n=300 rpm，主动轮输入功率P1=367 kW，三个从动轮的 输出功率分别是：P2=P3=110 kW，P4=147 kW。已
8、知=40 MPa，=0.3 o/m，G=80 GPa，试 设计轴的直径。,解：(a) 外力偶矩。根据轴的转速和输入与输出功率计算外力偶矩：,(b) 画扭矩图。用截面法求传动轴的内力并画出扭矩图。,从扭矩图中可以得到传动轴内的最大的扭矩值是,(c) 由扭转的强度条件来决定轴的直径。,(d) 由扭转的刚度条件来决定轴的直径。,(e) 要同时满足强度和刚度条件，应选择(c)和(d)中较大直径者，即,例6-6图示一根二端固定的阶梯形圆轴，在截面突变处受一外力偶矩M的作用，若d1=2d2， 材料的剪切弹性模量是G，求固定端的反力偶矩，并画出圆轴的扭矩图。,解：(a) 受力分析。假设A、B两端的约束力偶为MA和MB， 根据平衡条件可列一个平衡方程，,未知的约束力偶有二个，独立的平衡方程只有一个，所以本题是一次静不定问题。,(b) 扭矩。用截面法求出AC段和CB段内的扭矩,(c) 变形谐调条件。圆轴的两端固定，所以A、B截面的相对转角等于零。,(d) 分别算出A、C截面和C、B截面的相对转角。,(e) 补充方程。把上二式代入到变形谐调条件中去就得到补充方程。,(f) 解方程组。联立补充方程和平衡方程解得,(f) 解方程组。联立补充方程和平衡方程解得,
