1、第 10 章,压 杆 稳 定,Stability of columns,一。稳定性概念,细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，会表现出与强度失效性质全然不同的失效现象， 即将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，简称失稳，又称为 屈曲失效。,内燃机配气机构中的挺杆,磨床液压装置的活塞杆,细长压杆随受力的改变，平衡的稳定性会发生改变，由稳定平衡转为不稳定平衡的 临界值称为压杆的临界压力或临界力；它是压杆保持稳定的直线平衡的最大值，或是 压杆保持微曲平衡的最小值。,解决压杆稳定问题的关键是确定其临界压力。,二。临界压力的欧拉公式,1 两端铰支压杆的临界压力,压杆距支座x处截面上的弯矩是
2、,代入挠曲线的近似微分方程,令：,则有:,以上微分方程的通解是,式中A、B常数，可由边界条件来确定。根据简支梁的边界条件: x=0和x=l时， v=0 则由此求得,故得：,取n=1，得到具有实际意义的、最小的临界压力为,欧拉公式,2 其他约束条件下的压杆的临界压力,一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的压杆的挠曲线的一半部分；,因此，其临界压力公式为,二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为0.5l的压杆；,因此，其临界压力公式为,一端固定一端铰支的细长压杆，其中的一部分(0.7l) 相当于两端铰支长为0.7l的压杆；,临界压力公式是：,细长压杆临界压力的
3、公式写成统一式为：,欧拉公式的普遍形式,称为长度系数，(l)称为相当长度,3 临界应力、柔度、欧拉公式的适用范围,cr称为临界应力,柔度或长细比,欧拉公式的临界压力的推导是由挠曲线的近似微分方程得出，则杆内的应力不能超过 材料的比例极限，即为,只有当压杆的柔度大于或等于极限值时，欧拉公式才可使用。,以1代表这一极值，即,欧拉公式的适用范围,1与材料的性能有关，材料不同， 1的数值也就不同。满足1条件的杆件称为 细长杆或大柔度杆。,例10-1。钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面，h=50 mm，b=30 mm， 材料是A3钢，弹性模量E=200GPa；求临界力和临界应力。,解
4、：(a) 判断发生弯曲的方向。由于杆截面是矩形， 杆在不同方向弯曲的难易程度不同，如图：,因为,所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下，压杆最易在xz平面内发生弯曲,(b) 判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆,所以可用欧拉公式,(c) 计算临界压力。由欧拉公式,(d) 计算临界应力。,例10-2 木柱长l=7 m，横截面是矩形，h=200 mm，b=120 mm；当它在xz平面(最小刚度平面) 内弯曲时，两端视为固定；当它在xy平面(最大刚度平面)内弯曲时，两端视为铰支；木 材的弹性模量E=10Gpa，1=59；求临界力和临界应力。,解：(a) 求在xz平面内弯曲时的柔度。,(b)
5、求在xy平面内弯曲时的柔度。,(c) 判断杆件易在哪个平面内弯曲。,所以易在xy平面内弯曲。,(d) 判断欧拉公式的适用范围。,所以为大柔度杆，可用欧拉公式。,(e) 求临界力和临界应力。,三。中、小柔度杆的临界应力,1) 中柔度杆临界应力的经验公式,其中，a，b是由杆件材料决定的常数,经验公式:,中长杆或中柔度杆,2）小柔度杆的临界应力,小柔度杆或短杆：, 2,此时压杆属强度问题，临界应力就是屈服极限或强度极限，即,或,3） 临界应力总图,可以明显地看出，短杆的临界应力与柔度无关，而中、长杆的临界应力则随柔度 的增加而减小。,例10-3 两端铰支的压杆，长l=1.5 m，横截面直径d=50
6、mm，材料是Q235钢，弹性模量E=200GPa，y=190 MPa；求压杆的临界力；如果：(1) l1=0.75l；(2) l2=0.5l，材料选用 优质碳钢；压杆的临界力变为多大?,解：(a) 计算压杆的柔度。,(b) 判别压杆的性质。,压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力。,(c) 计算临界应力。,(d) 当l1=0.75l时，计算压杆的柔度，判别压杆的性质。,压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力,(e) 当l2=0.5l时，计算压杆的柔度,判别压杆的性质。,压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力,四。压杆的稳定计算与合理设计,1 稳定性条件 压杆的实际工作压力不能超过许用压力，则稳定条
7、件为,nst为压杆的稳定安全系数,定义工件安全系数为,稳定条件又可表示为,2 压杆的合理设计,压杆稳定设计计算的包括稳定性校核、压杆截面的设计和压杆的许可载荷设计。在机械 设计中，往往是根据构件的工作需要或其他方面的要求初步确定构件的截面，然后再校 核其稳定性。,例10-4图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷F12kN，其 外径D45mm，内径d=36 mm，稳定安全系数nst=2.5。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模 量E=210 GPa， p=200 MPa， s=235 MPa，,解：(a) 受力分析。以梁AC为研究对象，由静力 平衡方程可求得,(b) 计算压杆的柔度
8、。,(c) 判别压杆的性质。由已知求得,查表得a304MPa，b1.12 MPa。求得,压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力。,(e) 稳定性校核。,(d) 计算临界应力。,满足稳定要求,3 提高压杆稳定性的措施,1.减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比，因此可以显著地提高压杆承 载能力。 2. 改变压杆两端的约束；使长度系数减小，相应地减小柔度，从而增大临界应力。 3. 选择合理的截面形状；可以在不增加截面面积的情况下，增加横截面的惯性矩I， 从而减小压杆柔度，起到提高压杆稳定性的作用。图10.10是起重臂合理截面。,4.压杆在各纵向平面内相当长度相同时,要使 得在两个主惯性平面内的柔度接近相等。 从而有接近相等的稳定性。,5. 合理选择材料；选用弹性模量较大材料可以 提高压杆的稳定性。但须注意，由于一般钢材的 弹性模量E一般大致相同，故选用高强度钢不能起 到提高细长压杆稳定性的作用。,对于小柔度杆或中柔度杆压杆，其临界压力 与材料的比例极限和屈服强度有关，这时选 用高强度材料会使临界压力提高。,
