1、直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2014山东枣庄，第 3 题 3 分）如图，ABCD，AE 交 CD 于 C，A=34，DEC=90，则D 的度数为（ ）A 17 B 34 C 56 D 124考点： 平行线的性质；直角三角形的性质分析： 根据两直线平行，同位角相等可得DCE=A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解解答： 解：ABCD，DCE=A=34，DEC=90，D=90DCE=9034=56故选 C点评： 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键2. 1（2014湖南张家界，第 7 题，3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=60，DE 是
2、斜边AC 的中垂线，分别交 AB、AC 于 D、E 两点若 BD=2，则 AC 的长是（ ）A4 B4 C8 D8考点： 线段垂直平分线的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理分析： 求出ACB，根据线段垂直平分线求出 AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出 BC，再求出 AC 即可解答： 解：如图，在 RtABC 中，ACB=60，A=30DE 垂直平分斜边 AC，AD=CD，A=ACD=30，DCB=6030=30，BD=2，CD=AD=4，AB=2+4+2=6，在BCD 中，由勾股定理得：CB=2 ，在ABC 中，由勾股定理得：AC= =4 ，故选：B点
3、评： 本题考查了线段垂直平分线，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中3. （2014十堰 9 （3 分） ）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，DEBC，垂足为点 E，连接 AC 交 DE 于点 F，点 G 为 AF 的中点，ACD=2ACB若 DG=3，EC=1，则 DE 的长为（ ）A 2 B C 2 D考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线分析： 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 DG=AG，根据等腰三角形的性质可得GAD=GDA，根据三角形外角
4、的性质可得CGD=2GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得ACD=CGD，根据等腰三角形的性质可得 CD=DG，再根据勾股定理即可求解解答： 解：ADBC，DEBC，DEAD，CAD=ACB点 G 为 AF 的中点，DG=AG，GAD=GDA，CGD=2CAD，ACD=2ACB，ACD=CGD，CD=DG=3，在 RtCED 中，DE= =2 故选：C点评： 综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明 CD=DG=34. （2014娄底 8 （3 分） ）下列命题中，错误的是（ ）A 平行四边形的对角线互相平分B 菱形的对角线互相垂直平分C 矩形的对
5、角线相等且互相垂直平分D 角平分线上的点到角两边的距离相等考点： 命题与定理分析： 根据平行四边形的性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B 进行判断；根据矩形的性质对 C 进行判断；根据角平分线的性质对 D 进行判断解答： 解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项的说法正确；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以 B 选项的说法正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以 C 选项的说法错误；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 D 选项的说法正确故选 C点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理5
6、. （2014山东淄博,第 10 题 4 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，且AE=1，BE 的垂直平分线 MN 恰好过点 C则矩形的一边 AB 的长度为（ ）A 1 B C D 2考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质菁优网分析： 本题要依靠辅助线的帮助，连接 CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC求出 EC 后根据勾股定理即可求解解答： 解：如图，连接 ECFC 垂直平分 BE，BC=EC（线段垂直平分线的性质）又点 E 是 AD 的中点，AE=1，AD=BC，故 EC=2利用勾股定理可得 AB=CD= = 故选：C点评： 本题考查的是勾股定
7、理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明 BC=EC 后易求解本题难度中等二、填空题1. （2014山东威海，第 17 题 3 分）如图，有一直角三角形纸片 ABC，边BC=6， AB=10， ACB=90，将该直角三角形纸片沿 DE 折叠，使点 A 与点 C 重合，则四边形 DBCE 的周长为 18 考点： 翻折变换（折叠问题）分析： 先由折叠的性质得 AE=CE， AD=CD， DCE= A，进而得出， B= BCD，求得 BD=CD=AD= =5， DE 为 ABC 的中位线，得到 DE 的长，再在 RtABC 中，由勾股定理得到 AC=8，即可得四边形 D
8、BCE 的周长解答： 解：沿 DE 折叠，使点 A 与点 C 重合， AE=CE， AD=CD， DCE= A， BCD=90 DCE，又 B=90 A， B= BCD， BD=CD=AD= =5， DE 为 ABC 的中位线， DE= =3， BC=6， AB=10， ACB=90， ，四边形 DBCE 的周长为： BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18故答案为：18点评： 本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到 ED 是 ABC的中位线关键2. （2014山东枣庄，第 18 题 4 分）图所示的正方体木块棱长为 6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如
9、图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为 （3 +3 ） cm考点： 平面展开-最短路径问题；截一个几何体分析： 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解答： 解：如图所示：BCD 是等腰直角三角形，ACD 是等边三角形，在 RtBCD 中，CD= =6 cm，BE=CD=3 cm，在 RtACE 中，AE= =3 cm，从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为（3 +3 ）cm故答案为：（3 +3 ）点评： 考查了平面展开最短路径问题，本题就是把图的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角
10、形的性质解决问题3. （2014山东潍坊，第 18 题 3 分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处则问题中葛藤的最短长度是_尺考点：平面展开 最短路径问题；勾股定理的应用分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长 20 尺，另一条
11、直角边长 53=15（尺） ，因此葛藤长 2015=25（尺） 故答案为：25点评：本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解4. 半径为 2，点 O2在射线 OB 上运动，且 O2始终与 OA 相切，当 O2和 O1相切时， O2的半径等于 考点：圆和圆相切的性质，勾股定理分析： 作 O2C OA 于点 C，连接 O1O2，设 O2C=r，根据 O1的半径为 2， OO1=7，表示出 O1O2=r+2， O1C=7 r，利用勾股定理列出有关 r 的方程求解即可解答：如图，作 O2C OA 于点 C，连接 O1O2，设 O
12、2C=r， AOB=45， OC=O2C=r， O1的半径为 2， OO1=7， O1O2=r+2， O1C=7 r，（7 r） 2+r2=（ r+2） 2，解得： r=3 或 15，故答案为：3 或 15点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等5. （2014江西抚州，第 14 题，3 分）如图，两块完全相同的含 30角的直角三角板 ABC和 重合在一起，将三角板 绕其顶点 按逆时针方向旋转角 （0 ABCABC 90），有以下四个结论：当 = 30时， 与 的交点恰好为 的中点；当 = 60时， 恰好经过点 ；在旋转过程中，存在某一时刻，使得 ；AB在旋转过程
13、中，始终存在 ，其中结论正确的序号是 .(多填或填错得 0 分，少填酌情给分）解析：如图 1，=30，ACA=A=30,BCA=B=60，DC=DA,DC=DB,DA=DB,D 是 AB 的中点.正确如图 2，当 =60时，取 AB的中点 E,连接 CE,则BCE=BCB=60,又CB=CB,E、B 重合，A、B恰好经过点 B.正确如图 3，连接 AA,BB,则CAACBB, ,AA= BB.错误ACBtan6033如图 4，ABD=CBB60,BAD=180(CAA+30),ABDBAD=90CBBCAA CBB=CAA , ABDBAD=90,即D=90,AABB.正确，正确.6. (20
14、14 年湖北咸宁 13 （3 分）)如图，在扇形 OAB 中，AOB=90，点 C 是 上的一个动点（不与 A，B 重合） ，ODBC，OEAC，垂足分别为 D，E若 DE=1，则扇形 OAB 的面积为 考点： 三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算菁优网分析： 连接 AB，由 OD 垂直于 BC，OE 垂直于 AC，利用垂径定理得到 D、E 分别为 BC、AC的中点，即 ED 为三角形 ABC 的中位线，即可求出 AB 的长利用勾股定理、OA=OB，且AOB=90，可以求得该扇形的半径解答： 解：连接 AB，ODBC，OEAC，D、E 分别为 BC、AC 的中点，DE 为ABC 的中位线
15、，AB=2DE=2又在OAB 中，AOB=90，OA=OB，OA=OB= AB= ，扇形 OAB 的面积为： = 故答案是： 点评： 此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键7. (2014年山东东营,第 14 题 3 分)如图，有两棵树，一棵高 12 米，另一棵高 6 米，两树相距 8 米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 10 米考点： 勾股定理的应用菁优网分析： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出解答： 解：如图，设大树高为 AB=1
16、2m，小树高为 CD=6m，过 C 点作 CEAB 于 E，则四边形 EBDC 是矩形，连接 AC，EB=6m，EC=8m，AE=ABEB=126=6（m） ，在 RtAEC 中，AC= =10（m） 故小鸟至少飞行 10m故答案为：10点评： 本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力8（2014四川宜宾，第 14 题，3 分）如图，在 Rt ABC 中， B=90， AB=3， BC=4，将 ABC 折叠，使点 B 恰好落在边 AC 上，与点 B重合， AE 为折痕，则 EB= 1.5 考点： 翻折变换（折叠问题）分析： 首先根据折叠可得 BE=EB， A
17、B= AB=3，然后设 BE=EB= x，则EC=4 x，在 Rt ABC 中，由勾股定理求得 AC 的值，再在 Rt B EC 中，由勾股定理可得方程 x2+22=（4 x） 2，再解方程即可算出答案解答： 解：根据折叠可得 BE=EB， AB= AB=3设 BE=EB= x，则 EC=4 x， B=90， AB=3， BC=4，在 Rt ABC 中，由勾股定理得， ， B C=53=2，在 Rt B EC 中，由勾股定理得， x2+22=（4 x） 2，解得 x=1.5故答案为：1.5点评： 此题主要考查了翻折变换，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的9.（2014四川凉山州，第 16
18、题，4 分）已知一个直角三角形的两边的长分别是 3 和 4，则第三边长为 5 或 考点： 勾股定理专题： 分类讨论分析： 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：3 是直角边，4 是斜边；3、4 均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长解答： 解：长为 3 的边是直角边，长为 4 的边是斜边时：第三边的长为： = ；长为 3、4 的边都是直角边时：第三边的长为： =5；故第三边的长为：5 或 点评： 此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解10（2014四川凉山州，第 26 题
19、，5 分）如图，圆柱形容器高为 18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底 4cm 的点 B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外币 A 处到达内壁 B 处的最短距离为 20 cm考点： 平面展开最短路径问题分析： 将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 A B 的长度即为所求解答： 解：如图：将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A，连接 A B，则 A B 即为最短距离，A B= = =20（ cm）故答案为：20点评： 本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定
20、理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力11 （2014甘肃白银、临夏,第 13 题 4 分）等腰 ABC 中， AB=AC=10cm， BC=12cm，则 BC边上的高是 cm考点： 勾股定理；等腰三角形的性质分析： 利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到 BD=BC=6cm，然后在直角 ABD 中，利用勾股定理求得高线 AD 的长度解答： 解：如图， AD 是 BC 边上的高线 AB=AC=10cm， BC=12cm， BD=CD=6cm，在直角 ABD 中，由勾股定理得到： AD= = =（8 cm） 故答案是：8点评： 本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理等
21、腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形三、解答题1. （2014上海，第 22 题 10 分）如图，已知 RtABC 中，ACB=90，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AECD，AE 分别与 CD、CB 相交于点 H、E，AH=2CH（1）求 sinB 的值；（2）如果 CD= ，求 BE 的值考点： 解直角三角形；直角三角形斜边上的中线分析： （1）根据ACB=90，CD 是斜边 AB 上的中线，可得出 CD=BD，则B=BCD，再由AECD，可证明B=CAH，由 AH=2CH，可得出 CH：AC=1： ，即可得出 sinB 的值；（2）根据 sinB 的值，可
22、得出 AC：AB=1： ，再由 AB=2 ，得 AC=2，则 CE=1，从而得出 BE解答： 解：（1）ACB=90，CD 是斜边 AB 上的中线，CD=BD，B=BCD，AECD，CAH+ACH=90，B=CAH，AH=2CH，由勾股定理得 AC= CH，CH：AC=1： ，sinB ；（2）sinB ，AC：AB=1： ，CD= ，AB=2 ，由勾股定理得 AC=2，则 CE=1，在 RtABC 中，AC 2+BC2=AB2，BC=4，BE=BCCE=3点评： 本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大2. （2014 山东济南，第 27 题，9 分）如图
23、 1，有一组平行线 ，正4321ll方形 的四个顶点分别在 上， 过点且垂直于 于点，分别交ABCD4321,llEG于点， 42,l DFGE（1） ，正方形 的边长 ；ABC（2）如图 2，将 绕点 A 顺时针旋转得到 ，旋转角为 ，点EA)90(在直线 上，以 为边在的 左侧作菱形 ，使点 分别在直线D3lBC,上42,l写出 与 的函数关系并给出证明；AB若 ，求菱形 的边长30BCD【解析】（1）在 中，AD=DC,又有 和 互余，RTAEDGC， ADE和 互余，故 和 相等， ，知 ,ADECGDAECGGDCAE1AE又 ，所以正方形 的边长为 321B1032（2）过点 作
24、垂直于 于点 M，在 中, B1lRTBM，, ,故 ，所以 互余，=BMAE RTAE,EA与 之和为 ，故 = .D90D90过 E 点作 ON 垂直于 分别交 于点 O，N，1l12l,若 , ， ,故 , , ，3060NAE15=2E3D由勾股定理可知菱形边长为 .258433.（( 2014 年河南) 22.10 分）（1）问题发现如图 1， ACB 和 DCE 均为等边三角形，点 A、 D、 E 在同一直线上，连接 BE填空：（1） AEB 的度数为 60 ；（2）线段 AD、 BE 之间的数量关系是 AD=BE 。解:（1）60； AD=BE. 2 分 提示：（1）可证 CDA
25、 CEB, CEB= CDA=1200，又 CED=600， AEB=1200 600=600.可证 CDA CEB, AD=BE（2）拓展探究如图 2， ACB 和 DCE 均为等边三角形， ACB= DCE=900, 点A、 D、 E 在同一直线上， CM 为 DCE 中 DE 边上的高，连接 BE。请判断 AEB 的度数及线段 CM、 AE、 BE 之间的数量关系，并说明理由。解：（2） AEB90 0； AE=2CM+BE. 4 分（注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）理由： ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形， ACB = DCE= 900, AC=BC, C
26、D=CE, ACB= DCB= DCE DCB, 即 ACD= BCE ACD BCE. 6 分 AD = BE, BEC= ADC=1350. AEB= BEC CED=135045 0=9007 分 在等腰直角三角形 DCE 中， CM 为斜边 DE 上的高， CM= DM= ME, DE=2CM. AE=DE+AD=2CM+BE8 分（3）解决问题如图 3，在正方形 ABCD 中， CD= 2。若点 P 满足 PD=1,且 BPD=900，请直接写出点 A 到BP 的距离。(3) 12或 10 分【提示】 PD =1， BPD=900, BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点第一种情况：如图，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 P/，可证 APD AP/B,PD=P/B=1,CD= 2, BD=2,BP= 3, AM=1PP/= (PB BP/)= 12第二种情况如图，可得 AM12PP/= (PB+BP/)= 312
