1、综合性问题一、选择题1. (2014年山东东营,第 10 题 3 分)如图，四边形 ABCD 为菱形，AB=BD，点 B、C、D、G四个点在同一个圆O 上，连接 BG 并延长交 AD 于点 F，连接 DG 并延长交 AB 于点 E，BD与 CG 交于点 H，连接 FH，下列结论：AE=DF；FHAB；DGHBGE；当 CG 为O 的直径时，DF=AF其中正确结论的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4考点： 圆的综合题菁优网分析： 由四边形 ABCD 是菱形，AB=BD，得出ABD 和BCD 是等边三角形，再由B、C、D、G 四个点在同一个圆上，得出ADE=DBF，由ADEDBF，得出 A
2、E=DF，利用内错角相等FBA=HFB，求证 FHAB，利用DGH=EGB 和EDB=FBA，求证DGHBGE，利用 CG 为O 的直径及 B、C、D、G 四个点共圆，求出ABF=12090=30，在RTAFB 中求出 AF= AB在 RTDFB 中求出 FD= BD，再求得 DF=AF解答： 解：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=DC=AD，又AB=BD，ABD 和BCD 是等边三角形，A=ABD=DBC=BCD=CDB=BDA=60，又B、C、D、G 四个点在同一个圆上，DCH=DBF，GDH=BCH，ADE=ADBGDH=60EDB，DCH=BCDBCH=60BCH，ADE=DCH，
3、ADE=DBF，在ADE 和DBF 中，ADEDBF（ASA）AE=DF故正确，由中证得ADE=DBF，EDB=FBA，B、C、D、G 四个点在同一个圆上，BDC=60，DBC=60，BGC=BDC=60，DGC=DBC=60，BGE=180BGCDGC=1806060=60，FGD=60，FGH=120，又ADB=60，F、G、H、D 四个点在同一个圆上，EDB=HFB，FBA=HFB，FHAB，故正确，B、C、D、G 四个点在同一个圆上，DBC=60，DGH=DBC=60，EGB=60，DGH=EGB，由中证得ADE=DBF，EDB=FBA，DGHBGE，故正确，如下图CG 为O 的直径，
4、点 B、C、D、G 四个点在同一个圆O 上，GBC=GDC=90，ABF=12090=30，A=60，AFB=90AF= AB，又DBF=6030=30，ADB=60，DFB=90，FD= BD，AB=BD，DF=AF，故正确，故选：D点评： 此题综合考查了圆及菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，运用四点共圆找出相等的角是解题的关键解题时注意各知识点的融会贯通2. （2014甘肃白银、临夏,第 10 题 3 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在 CB延长线上，连接 ED 交 AB 于点 F， AF=x（0.2 x0.8） ， EC=y则在下面函数图象
5、中，大致能反映 y 与 x 之闻函数关系的是（ ）A B C D考点： 动点问题的函数图象分析： 通过相似三角形 EFB EDC 的对应边成比例列出比例式 = ，从而得到 y与 x 之间函数关系式，从而推知该函数图象解答： 解：根据题意知， BF=1 x， BE=y1，且 EFB EDC，则 = ，即 = ，所以 y= （0.2 x0.8） ，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分A、 D 的图象都是直线的一部分， B 的图象是抛物线的一部分， C 的图象是双曲线的一部分故选 C点评： 本题考查了动点问题的函数图象解题时，注意自变量 x 的取值范围3 （2014甘肃兰州,第 15 题 4 分
6、）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边长为 4的正方形，平行于对角线 BD 的直线 l 从 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动到直线 l 与正方形没有交点为止设直线 l 扫过正方形 OBCD 的面积为 S，直线l 运动的时间为 t（秒） ，下列能反映 S 与 t 之间函数关系的图象是（ ）A B C D考点： 动点问题的函数图象分析： 根据三角形的面积即可求出 S 与 t 的函数关系式，根据函数关系式选择图象解答： 解：当 0t4 时，S= tt= t2，即 S= t2该函数图象是开口向上的抛物线的一部分故 B、C 错误；当 4t8 时，S=16 （t
7、4）（t4）= t2，即 S= t2+4t+8该函数图象是开口向下的抛物线的一部分故 A 错误故选：D点评： 本题考查了动点问题的函数图象本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性三、解答题1. （2014上海，第 25 题 14 分）如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB= ，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点45E、F（点 F 在点 E 的右侧） ，射线 CE 与射线 BA 交于点 G（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；（2）联结 AP，当 APCG 时，求弦 EF
8、的长；（3）当AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长考点：圆的综合题分析：（1）当点 A 在C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AHBC 于 H，直接利用勾股定理求出 AC 进而得出答案；（2）首先得出四边形 APCE 是菱形，进而得出 CM 的长，进而利用锐角三角函数关系得出 CP 以及 EF 的长；（3）当AEG=B 时，A、E、G 重合，只能AGE=AEG，利用 ADBC，得出GAEGBC，进而求出即可解答：解：（1）如图 1，设O 的半径为 r，当点 A 在C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AHBC 于 H，BH=ABcosB=4，AH=3，CH=4，AC
9、= =5，此时 CP=r=5；（2）如图 2，若 APCE，APCE 为平行四边形，CE=CP，四边形 APCE 是菱形，连接 AC、EP，则 ACEP，AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则ACB=B，CP=CE= = ，EF=2 =；（3）如图 3：过点 C 作 CNAD 于点 N，cosB= ，45B45，BCG90，BGC45，AEG=BCGACB=B，当AEG=B 时，A、E、G 重合，只能AGE=AEG，ADBC，GAEGBC， = ，即 = ，解得：AE=3，EN=ANAE=1，CE= = = 点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利
10、用分类讨论得出AGE 是等腰三角形时只能AGE=AEG 进而求出是解题关键2. （2014四川巴中，第 31 题 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y=ax2+bx4 与 x 轴交于点 A（2，0）和点 B，与 y 轴交于点 C，直线 x=1 是该抛物线的对称轴（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点 M， H 分别从点 A， B 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴同时出发相向而行，当点 M 到达原点时，点 H 立刻掉头并以每秒 个单位长度的速度向点 B 方向移动，当点 M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点 M 的直线 l x 轴，交 AC 或 BC于点 P，设点
11、 M 的运动时间为 t 秒（ t0） 求点 M 的运动时间 t 与 APH 的面积 S 的函数关系式，并求出 S 的最大值考点：二次函数综合题分析：（1）根据抛物线 y=ax2+bx4 与 x 轴交于点 A（2，0） ，直线 x=1 是该抛物线的对称轴，得到方程组 ，解方程组即可求出抛物线的解析式；（2）由于点 M 到达抛物线的对称轴时需要 3 秒，所以 t3，又当点 M 到达原点时需要2 秒，且此时点 H 立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：当 0 t2 时，由AMP AOC，得出比例式，求出 PM， AH，根据三角形的面积公式求出即可；当2 t3 时，过点 P 作 PM x 轴于 M， P
12、F y 轴于点 F，表示出三角形 APH 的面积，利用配方法求出最值即可解答：（1）抛物线 y=ax2+bx4 与 x 轴交于点 A（2，0） ，直线 x=1 是该抛物线的对称轴， ，解得： ，抛物线的解析式是： y= x2 x4，（2）分两种情况：当 0 t2 时， PM OC， AMP AOC， = ，即 = ， PM=2t解方程 x2 x4=0，得 x1=2， x2=4， A（2，0） ， B（4，0） ， AB=4（2）=6 AH=AB BH=6 t， S= PMAH= 2t（6 t）= t2+6t=（ t3） 2+9，当 t=2 时 S 的最大值为 8；当 2 t3 时，过点 P 作
13、 PM x 轴于 M，作 PF y 轴于点 F，则 COB CFP，又 CO=OB， FP=FC=t2， PM=4（ t2）=6 t， AH=4+ （ t2）= t+1， S= PMAH= （6 t） （ t+1）= t2+4t+3= （ t ） 2+ ，当 t= 时， S 最大值为 综上所述，点 M 的运动时间 t 与 APQ 面积 S 的函数关系式是 S=， S 的最大值为 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键3. （2014山东威海，第 25 题 1
14、2 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）经过A（1，0）， B（4，0）， C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2） E 为抛物线上一动点，是否存在点 E 使以 A、 B、 E 为顶点的三角形与 COB 相似？若存在，试求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线 BC 平移，使其经过点 A，且与抛物线相交于点 D，连接 BD，试求出 BDA 的度数考点： 二次函数综合题分析： （1）本题需先根据已知条件，过 C 点，设出该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2，再根据过 A， B 两点，即可得出结果；（2）由图象可知，以 A、 B 为直角顶点的 ABE
15、不存在，所以 ABE 只可能是以点 E 为直角顶点的三角形由相似关系求出点 E 的坐标；（3）如图 2，连结 AC，作 DE x 轴于点 E，作 BF AD 于点 F，由 BC AD 设 BC的解析式为 y=kx+b，设 AD 的解析式为 y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出 D 坐标，由勾股定理就可以求出 BD 的值，由勾股定理的逆定理就可以得出 ACB=90，由平行线的性质就可以得出 CAD=90，就可以得出四边形 ACBF 是矩形，就可以得出 BF 的值，由勾股定理求出 DF 的值，而得出 DF=BF 而得出结论解答： 解：（1）该抛物线过点 C（0，2），可设该抛
16、物线的解析式为 y=ax2+bx+2将 A（1，0）， B（4，0）代入，得 ，解得 ，抛物线的解析式为： y= x2+ x+2（2）存在由图象可知，以 A、 B 为直角顶点的 ABE 不存在，所以 ABE 只可能是以点 E为直角顶点的三角形在 Rt BOC 中， OC=2， OB=4， BC= = 在 Rt BOC 中，设 BC 边上的高为 h，则 h= 24， h= BEA COB，设 E 点坐标为（ x， y）， = ， y=2将 y=2 代入抛物线 y= x2+ x+2，得 x1=0， x2=3当 y=2 时，不合题意舍去 E 点坐标为（0，2），（3，2）（3）如图 2，连结 AC，
17、作 DE x 轴于点 E，作 BF AD 于点 F， BED= BFD= AFB=90设 BC 的解析式为 y=kx+b，由图象，得， ，yBC= x+2由 BC AD，设 AD 的解析式为 y= x+n，由图象，得0= （1）+ n n= ，yAD= x x2+ x+2= x ，解得： x1=1， x2=5 D（1，0）与 A 重合，舍去， D（5，3） DE x 轴， DE=3， OE=5由勾股定理，得 BD= A（1，0）， B（4，0）， C（0，2）， OA=1， OB=4， OC=2 AB=5在 Rt AOC 中， Rt BOC 中，由勾股定理，得AC= ， BC=2 ， AC2=
18、5， BC2=20， AB2=25， AC2+BC2=AB2 ACB 是直角三角形， ACB=90 BC AD， CAF+ ACB=180， CAF=90 CAF= ACB= AFB=90，四边形 ACBF 是矩形， AC=BF= ，在 Rt BFD 中，由勾股定理，得 DF= ， DF=BF， ADB=45点评： 本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键4. （2014山东枣庄，第 25 题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x22x
19、3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 D 为抛物线的顶点，点 P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点 D 重合）（1）求OBC 的度数；（2）连接 CD、BD、DP，延长 DP 交 x 轴正半轴于点 E，且 SOCE =S 四边形 OCDB，求此时 P 点的坐标；（3）过点 P 作 PFx 轴交 BC 于点 F，求线段 PF 长度的最大值考点： 二次函数综合题分析： （1）由抛物线已知，则可求三角形 OBC 的各个顶点，易知三角形形状及内角（2）因为抛物线已固定，则 S 四边形 OCDB固定，对于坐标系中的不规则图形常用分割求和、填补求差等方法求面积
20、，本图形过顶点作 x 轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形，面积易得由此可得 E 点坐标，进而可求 ED 直线方程，与抛物线解析式联立求解即得 P 点坐标（3）PF 的长度即为 yFy P由 P、F 的横坐标相同，则可直接利用解析式作差由所得函数为二次函数，则可用二次函数性质讨论最值，解法常规解答： 解：（1）y=x 22x3=（x3）（x+2），由题意得，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）在 RtOBC 中，OC=OB=3，OBC 为等腰直角三角形，OBC=45（2）如图 1，过点 D 作 DHx 轴于 H，此时 S 四边形 OCDB=S 梯形 OCDH+SHBD ，
21、OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，S 梯形 OCDH= （OC+HD）OH= ，S HBD = HDHB=4，S 四边形 OCDB= S OCE =S 四边形 OCDB= = ，OE=5，E（5，0）设 lDE：y=kx+b，D（1，4），E（5，0）， ，解得 ，l DE：y=x5DE 交抛物线于 P，设 P（x，y），x 22x3=x5，解得 x=2 或 x=1（D 点，舍去），x P=2，代入 lDE：y=x5，P（2，3）（3）如图 2，设 lBC：y=kx+b，B（3，0），C（0，3）， ，解得 ，l BC：y=x3F 在 BC 上，y F=xF3，P 在抛物线上，y P=x
22、P22x P3，线段 PF 长度=y Fy P=xF3（x P22x P3），x P=xF，线段 PF 长度=x P2+3xP=（x P ） 2+ ，（1x P3），当 xP= 时，线段 PF 长度最大为 点评： 本题考查了抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函数最值等基础知识点，题目难度适中，适合学生加强练习5. （2014山东潍坊，第 22 题 12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别为 BC、 CD 的中点，连接 AE、 BF，交点为 G(1)求证： AE BF；(2)将 BCF 沿 BF 对折，得到 BPF（如图 2） ，延长 FP 交 BA
23、的延长线于点 Q，求 sin BQP的值；(3)将 ABE 绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 正好落在 AE 上，得到 AHM（如图 3） ，若 AM和 BF 相交于点 N，当正方形 ABCD 的面积为 4 时，求四边形 GHMN 的面积考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：（1）由四边形 ABCD 是正方形，可得 ABE= BCF=90， AB=BC，又由 BE=CF，即可证得 ABE BCF,可得 BAE= CBF，由 ABF+ CBF=900可得 ABF+ BAE=900，即AE BF；（2）由 BCF BPF, 可得 CF=PF,BC
24、=BP, BFE= BFP，由 CD AB 得 BFC= ABF,从而QB=QF，设 PF 为 x,则 BP 为 2x,在 Rt QBF 中可求 QB 为 x，即可求得答案；25（3）由 可求出 AGN 的面积，进一步可求出四边形 GHMN 的面积2)(AMNHG解答：(1)证明： E、 F 分别是正方形 ABCD 边 BC、 CD 的中点， CF=BE， Rt ABE Rt BCF BAE= CBF 又 BAE+ BEA=900， CBF+ BEA=900， BGE=900， AE BF (2)根据题意得： FP=FC， PFB= BFC， FPB=900， CD AB, CFB= ABF，
25、 ABF= PFB QF=QB 令 PF=k（ kO） ，则 PB=2k，在 Rt BPQ 中，设 QB=x， x2=(x k)2+4k2, x= k， sin BQP=5542kQPB(3)由题意得： BAE= EAM,又 AE BF, AN=AB=2, AHM=900, GN/HM, 2)(AMNHG54)(12G 四边形 GHMN=SAHM SAGN =1 一 = 54答：四边形 GHMN 的面积是 .点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用6. （201
26、4山东潍坊，第 24 题 13 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a O）与 y 轴交于点C(O，4)，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为（ 2,0） ，抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交于点 D，与直线 BC 交于点 E(1)求抛物线的解析式；(2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于 DE 的一条动直线 Z 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以D、 E、 P、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标。考点：二次函
27、数综合题分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得 a， b， c 的值，即求出解析式；（2）设存在点 K，使得四边形 ABFC 的面积为 17，根据点 K 在抛物线 y= x2+2x+3 上设点K 的坐标为：（ x， x2+2x+3） ，根据 S 四边形 ABKC=S AOC+S 梯形 ONKC+S BNK得到有关 x 的一元二次方程求出 x 即可.（3）将 x=1 代入抛物线解析式，求出 y 的值，确定出 D 坐标，将 x=1 代入直线 BC 解析式求出 y 的值，确定出 E 坐标，求出 DE 长，将 x=m 代入抛物线解析式表示出 F 纵坐标，将x=m 代入直线 BC 解析式表示出 P
28、纵坐标，两纵坐标相减表示出线段 PQ，由 DE 与 QP 平行，要使四边形 PEDQ 为平行四边形，只需 DE=PQ，列出关于 m 的方程，求出方程的解得到 m 的值，检验即可解：(1)由抛物线经过点 C(O，4)可得 c=4, 对称轴 x= =1， b= 2a， a2又抛物线过点 A（一 2， O）0=4 a 2b+c， 由 解得： a= , b=1 ,c=4 所以抛物线的解析式是 y= x+x+41 1(2)假设存在满足条件的点 F，如图如示，连接 BF、 CF、 OF过点 F 分别作 FH x 轴于 H , FG y 轴于 G设点 F 的坐标为（ t, t2+t+4） ，其中 O4 时，
29、 PQ=（一 m+4）一（一 m2+m+4)= m22m,211由 m22m= ，解得 m=2 ，经检验适合题意，137此时 P2（2+ ，2 一 ） ， P3（2 一 ，2+ ） 77综上所述，满足条件的点 P 有三个，分别是 P1 (3,1)， P2（2+ ，2 ） ， P3（27，2 十 ）.点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题7. （2014山东烟台，第 26 题 12 分）如图，在平面直角
30、坐标系中， Rt ABC 的顶点 A， C分别在 y 轴， x 轴上， ACB=90， OA= ，抛物线 y=ax2 ax a 经过点 B（2， ） ，与y 轴交于点 D（1）求抛物线的表达式；（2）点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长 BA 交抛物线于点 E，连接 ED，试说明 ED AC 的理由考点：二次函数综合题.分析：（1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得（2）通过 AOC CFB 求得 OC 的值，通过 OCD FCB 得出 DC=CB， OCD= FCB，然后得出结论（3）设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，求得与抛物线的交点 E 的
31、坐标，然后通过解三角函数求得结果解答：（1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式，得 =a222 a a，解得 a= ，抛物线的表达式为 y= x2 x （2）连接 CD，过点 B 作 BF x 轴于点 F，则 BCF+ CBF=90 ACB=90， ACO+ BCF=90， ACO= CBF， AOC= CFB=90， AOC CFB， = ，设 OC=m，则 CF=2 m，则有 = ，解得 m=m=1， OC=OF=1，当 x=0 时 y= ， OD= ， BF=OD， DOC= BFC=90， OCD FCB， DC=CB， OCD= FCB，点 B、 C、 D 在同一直线上，点 B 与点
32、 D 关于直线 AC 对称，点 B 关于直线 AC 的对称点在抛物线上（3）过点 E 作 EG y 轴于点 G，设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，则 ，解得 k= ， y= x+ ，代入抛物线的表达式 x+ = x2 x 解得 x=2 或 x=2，当 x=2 时 y= x+ = （2）+ = ，点 E 的坐标为（2， ） ， tan EDG= = = ， EDG=30 tan OAC= = = ， OAC=30， OAC= EDG， ED AC点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握8. （2014 山东济南，第 26 题
33、，9 分）如图 1，反比例函数 的图象经过点)0(xkyA（ ，1），射线 AB 与反比例函数图象交与另一点 B（1， ），射线 AC 与 轴交于点32 ayC， 轴，垂足为 DyAB,75（1）求 的值；k（2）求 的值及直线 AC 的解析式；Dtan（3）如图 2， M 是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 轴，与 AC 相xl交于 N，连接 CM，求 面积的最大值 CN第 26 题图 1ABCDO xy第 26 题图 2ABCDO xyMNl【解析】（1）由反比例函数 的)0(xky图象经过点 A（ ，1），得 ；32321（2）由反比例函数 得)0(xy点 B 的坐
34、标为（1， ），于是有32， ，0,45DAC3tanACAD= ，则由 可得 CD=2， C 点纵坐标是-1，直线 AC 的截距是-1，而且323tan过点 A（ ，1）则直线解析式为 3213xy（3）设点 M 的坐标为 ，)(,32(m则点 N 的坐标为 ，于是 面积为)1,(CMN)2(321mSCMN，)42(89)(2 所以，当 时， 面积取得最大值 4CN8399 （2014山东聊城，第 25 题，12 分）如图，在平面直角坐标系中，AOB 的三个顶点的坐标分别是 A（4，3） ，O（0，0） ，B（6，0） 点 M 是 OB 边上异于 O，B 的一动点，过点 M作 MNAB，点
35、 P 是 AB 边上的任意点，连接 AM，PM，PN，BN设点 M（x，0） ，PMN 的面积为 S（1）求出 OA 所在直线的解析式，并求出点 M 的坐标为（1，0）时，点 N 的坐标；（2）求出 S 关于 x 的函数关系式，写出 x 的取值范围，并求出 S 的最大值；（3）若 S：S ANB =2：3 时，求出此时 N 点的坐标考点： 一次函数综合题分析： （1）利用待定系数法求解析式即可；（2）作 AGOB 于 G，NHOB 于 H，利用勾股定理先求得 AG 的长，然后根据三角形相似求得 NH：AG=OM：OB，得出 NH 的长，因为MBN 的面积=PMN 的面积=S，即可求得 S 与
36、x 的关系式（3）因为AMB 的面积=ANB 的面积=S ANB ，NMB 的面积=NMP 的面积=S，所以NH；AG=2：3，因为 ON：OA=NH：AG，OM：OB=ON：OA，所以 OM：OB=ON：OA=2：3，进而求得 M 点的坐标，求得 MN 的解析式，然后求得直线 MN 与直线 OA 的交点即可解答： 解：（1）设直线 OA 的解析式为 y=k1 x，A（4，3） ，3=4k 1，解得 k1= ，OA 所在的直线的解析式为：y= x，同理可求得直线 AB 的解析式为；y= x+9，MNAB，设直线 MN 的解析式为 y= x+b，把 M（1，0）代入得：b= ，直线 MN 的解析
37、式为 y= x+ ，解 ，得 ，N（ ， ） （2）如图 2，作 NHOB 于 H，AGOB 于 G，则 AG=3MNAB，MBN 的面积=PMN 的面积=S，OMNOBA，NH：AG=OM：OB，NH：3=x：6，即 NH= x，S= MBNH= （6x） x= （x3） 2+ （0x6） ，当 x=3 时，S 有最大值，最大值为 （3）如图 2，MNAB，AMB 的面积=ANB 的面积=S ANB ，NMB 的面积=NMP 的面积=SS：S ANB =2：3， MBNH： MBAG=2：3，即 NH；AG=2：3，AGOB 于 G，NHOB，NHAG，ON：OA=NH：AG=2：3，MNA
38、B，OM：OB=ON：OA=2：3，OA=6， = ，OM=4，M（4，0）直线 AB 的解析式为；y= x+9，设直线 MN 的解析式 y= x+b代入得：0= 4+b，解得 b=6，直线 MN 的解析式为 y= x+6，解 得 ，N（ ，2） 点评： 本题考查了待定系数法求解析式，直线平行的性质，三角形相似判定及性质，同底等高的三角形面积相等等，相等面积的三角形的转化是本题的关键10. （2014浙江杭州，第 21 题，10 分）在直角坐标系中，设 x 轴为直线 l，函数 y=x，y= x 的图象分别是直线 l1，l 2，圆 P（以点 P 为圆心，1 为半径）与直线l，l 1，l 2中的两
39、条相切例如（ ，1）是其中一个圆 P 的圆心坐标（1）写出其余满足条件的圆 P 的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长考点： 圆的综合题；切线长定理；轴对称图形；特殊角的三角函数值专题： 计算题；作图题分析： （1）对圆 P 与直线 l 和 l2都相切、圆 P 与直线 l 和 l1都相切、圆 P 与直线 l1和 l2都相切三种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点 P 的坐标（2）由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等只需求出其中的一条边就可以求出它的周长解答： 解：（1）若圆 P 与直线 l 和
40、l2都相切，当点 P 在第四象限时，过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H，连接 OP，如图 1 所示设 y= x 的图象与 x 轴的夹角为 当 x=1 时，y= tan= =60由切线长定理得：POH= （18060）=60PH=1，tanPOH= = = OH= 点 P 的坐标为（ ，1） 同理可得：当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（ ，1） ；当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（ ，1） ；若圆 P 与直线 l 和 l1都相切，如图 2 所示同理可得：当点 P 在第一象限时，点 P 的坐标为（ ，1） ；当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（ ，1） ；当点 P 在第三象
41、限时，点 P 的坐标为（ ，1） ；当点 P 在第四象限时，点 P 的坐标为（ ，1） 若圆 P 与直线 l1和 l2都相切，如图 3 所示同理可得：当点 P 在 x 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（ ，0） ；当点 P 在 x 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（ ，0） ；当点 P 在 y 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（0，2） ；当点 P 在 y 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（0，2） 综上所述：其余满足条件的圆 P 的圆心坐标有：（ ，1） 、 （ ，1） 、 （ ，1） 、（ ，1） 、 （ ，1） 、 （ ，1） 、 （ ，1） 、（ ，0） 、 （ ，0） 、 （0，2）
42、 、 （0，2） （2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图 4 所示由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等该图形的周长=12（ ）=8 点评： 本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识，考查了作图的能力，培养了学生的审美意识，是一道好题11.（2014遵义 27 （14 分） ）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C若点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（
43、1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标；（2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以A，E，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由（3）当 P，Q 运动到 t 秒时，APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 APDQ 的形状，并求出 D 点坐标考点： 二次函数综合题分析： （1）将 A，B 点坐标代入函数 y= x2+bx+c 中，求得 b、c，进而可求解析式及 C 坐标（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得E 大致位置，设边长为 x，表示其他边后利用勾股定理易得 E 坐标（3）注意到 P，Q 运动速度相同，则APQ 运动时都为等腰三角形，又由 A、D 对称，则 AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形利用菱形对边平行且相等等性质可用 t 表示 D 点坐标，又 D 在 E 函数上，所以代入即可求 t，进而 D 可表示解答： 解：（1）二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0） ， ，解得 ，y= x2 x4C（0，4） （2）存在如图 1，过点 Q 作 QDOA 于 D，此时 QDOC，
