1、第二章 质点组力学,2.1 质点组,质点组的定义:,二. 质点组的研究方法,原则上可以采用隔离法，但若质点的数目太多，则未知量太多,使得微分方程的求解十分困难。,2.用整体法研究质点组的整体运动规律。,例如：地球与月亮：两个质点太阳系：许多质点桌子：无穷个质点,有相互作用的质点的集合。,2.外力：质点组外的物体作用于质点组任意质点的力。,三. 内力与外力,3.质点组的整体运动规律确定后，再采用隔离法确定各个质点的运动规律。,4.本章将主要讨论几个描述质点组整体运动规律的普遍定理和守恒律。,1.内力：质点组中质点间的相互作用力。,3.内力的性质,（1）质点组内力之和为零,（2）内力对某点O的力矩
2、之和为零,（3）内力做功之和一般不为零,若 ,则 ,质点间距离不变化(刚体),若 ,则 ,质点间距离变化(一般质点组),四. 质心(Center of mass),由n个质点组成的质点组，质量分别为 , 质点组中恒存在一特殊点,它的运动可反映质点组的整体运动，而且很容易确定，该特殊点就是质心。,质心速度：,质心加速度：,质心坐标：,2.2 动量定理与动量守恒律,一、动量定理,1.质点组总动量,2.相对运动的动量表述,S系中：,其中：,3.质心坐标系( 系为为质心系),质点组对质心坐标系的总动量为零,4、动量定理(惯性系S),单个质点动量定理：,将上式对质点数目求和：,质点组动量定理：,与内力无
3、关,单个质点动量定理：,将上式对质点数目求和：,质点组动量定理：,5、动量定理(非惯性平动系 ),二、质心运动定理(惯性系S),质心运动定理,由惯性系中的质点组动量定理,也可由质心系(非惯性系)中的质点组 动量定理推导,例1：剪切金属的剪床是由曲柄连杆机构OAB构成的，活动 的刀具装在滑块B上，而固定的刀具则装在基础C上。设曲柄 为均质体，其长为 ，轻连杆长为 。曲柄以匀角速度 绕轴 O转动。试求基础对地面的压力。,解：(1) 研究对象：物体系由质量为 的曲柄，质量为 的滑块和活动刀，质量 为 的基础和外壳组成。,(2) 参考系：地面；坐标系：oxy,(3) 受力分析：,(4) 运用质心运动定
4、理,三、质点组动量守恒定律,出发点：质点组动量定理,例1：一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和 等于M。炮车可以自由地在铁轨上反冲。如炮身与地面成角度 ， 炮弹对炮身的相对速度为 ，试求炮弹离炮身时对地面的速度 炮车的反冲速度 。,解: (1) 研究对象: 炮车和炮弹组成的质点组,(2) 参考系: 地面，坐标系: oxy,(3) 受力分析:,例2：水面上有一质量为M，长为L的小船(船最初静止),船上有一质量为m的人，由船头走到船尾，问船移动的距离为多少？(水的阻力不计，人运动的速度不为常量)。,解：,分析：人沿走的方向动量守恒,1.对象：系统（人和船） 2.参考系：地面,3.建立
5、坐标系: (固定在船上),4.用动量守恒定律列方程,代入（1）式:,5.结果,方法二：用质心运动定理求解,2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律,一、质点组对惯性系固定点O的动量矩定理,1.对惯性系固定点O的动量矩,2.相对运动的动量矩描述,系（平动系）,系（固定系）,3.在质心系中分析以上四项,第一项：,质心对O点的动量矩,第二项：,第三项：,第四项：,质点组对惯性系固定点O的动量矩等于质心对该固定 点的动量矩与质点组对质心的动量矩之矢量和。,4.质点组对惯性系固定点O的动量矩定理,隔离第i个质点：,将上式对质点数目求和：,质点组对惯性系固定点O 的动量矩定理,二、质点组对惯性系固定点O的动量矩
6、守恒定律,动量矩分量守恒定律,质点组对质心的动量矩定理：,三、质点组对非惯性系某点 的动量矩定理,四、质点组对质心的动量矩守恒定律,动量矩分量守恒定律,例1：在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两端距 通过该轴水平面的距离为 与 ，两个质量分别为 与 的 人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加速度向上爬并同时 到达滑轮轴所在的水平面，假设滑轮的质量可忽略，且所有 的阻力也都忽略不计，问需多长时间，两人可以同时到达？,解: (1) 研究对象：以两人作为质点组,(2) 参考系：地面,(3) 计算质点组对固定点O的力矩和动量矩,选逆时针为力矩和动量矩正方向,绳对两人的拉力为一对内力,解法二：隔离二
7、人并分别用牛顿第二定律,选地面为参照系,由方程(1)和(2)得,二人均以匀加速向上爬,注：若两人质量相等，且 ，至少有一个人 努力就可以同时到达顶端，爬绳所需时间则与两 人的努力程度有关。,质量不相等的两人能同时到达顶端的前提条件,两人能否同时到达顶端与他们共同努力的程度有关，但 谁较努力些则无关紧要。,解：可先确定质心的运动规律，再确定m1,m2对质心的运动规律。,1.对象：质点组（m1,m2),2.参照系：地面；坐标系：o-xyz,例2:质量分别为m1,m2的两个质点，用一长为a+b的无重刚性杆连接，c为质心（如图所示）。最初处于水平位置，突然给m2以 的速度，试求两质点此后的运动规律？,
8、3.受力分析,4.质心运动定理,（不考虑内力）,分量式：,解得：,其中：,质心作竖直上抛运动,5.求m1，m2对质心的运动,计算对质心的合外力矩：,即任意时刻动量矩等于 初始时刻动量矩。,设t时刻杆的角速度为,质点m1，m2相对质心作匀角速转动,则：,2.4 动能定理与机械能守恒定律,一、质点组的动能,1.质点组中第i个质点的动能。,质点组的动能,2.动能的相对运动描述,3. 柯尼希定理,引入质心参照系,分析上式,第一项：,第二项：,第三项：,柯尼希定理,叙述：质点组的动能等于质心的动能与各质点相对质心的动能之和。,例题:一半径为R，质量为m的均质圆盘，直立在水平面上向前滚动而不滑动，若圆心的
9、速度为 ，求圆盘的动能,解：由柯尼希定理,圆盘相对于其质心轴作定轴转动,二、质点组的动能定理(在惯性系S中),由第i个质点的动能定理：,对质点数目求和得，,叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内力的元功之和。,质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。,三、机械能守恒定律(在惯性系S中),由质点组动能定理:,四、质点组对质心的动能定理,引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能,对质点数目求和：,叙述:质点组对质心系的动能的微分等于外力与内力对质心系的元功之和。,说明:(1)质心系一般为非惯性系，但在质心系中质点组的动能定理仍保持与惯性系中相同的形式。,(2)惯性力对质点组做功为零。,
10、五、质点组相对质心系的机械能守恒定律,由质点组对质心的动能定理:,解：质点组没有受外力作用，两质点相互作用的内力为 保守力，相对某惯性系质点组动量守恒、机械能守恒。,（2）,联立方程（1）、（2）解得,例1. 质量为m1和m2的两质点以万有引力吸引，开始时两质点静止且距离为 。求两质点相距为 时两质点的速度。,解法二：在质心系中求解,质点组没有受外力作用，两质点相互作用的内力为保守力， 所以质心作惯性运动，质点组相对质心系的机械能守恒。,（2）,解法三：通过两质点间的相对运动(视m2静止)求解,返回,例2:质量为m1的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的质量为m2，可在光滑水平面上自由滑动，试
11、求：质点从静止开始下滑距离 时的速度？,分析:,重力为保守力，地面支持力不做功，m1,m2之间的 相互作用内力做功之和为零，质点组机械能守恒。,解:(1)研究对象：质点组（m1,m2),(2)参照系：水平面； 建立oxy坐标系,(3)受力分析,（4）,设m1的速度为 ，m2的速度为 ，则,(1),(2),(3),联立方程(1)(2)(3)(4)解得,2.5 两体问题,一.什么是两体问题,(2)问题的提出（地球绕太阳运动，月球绕地球 运动，双星运动，电子绕原子核运动）,(1)两体问题的定义,选择惯性系o-xyz,二.先确定质心的运动，再确定行星、太阳对质心的运动,1. 确定系统(S, P)质心的
12、运动,在惯性系o-xyz中，由质心运动定理,且系统的动量守恒，即,2. 确定行星和太阳相对质心的运动,在质心系(惯性系) 中，行星的动力学方程为,在惯性系o-xyz中，行星的动力学方程为：,太阳的动力学方程为：,（3）的形式和太阳固定不动时行星的动力学方程完全一样。,说明：(1)若Mm，由上式引起的误差极小，仍可以 将太阳视为静止，可视为单体问题处理;,表明：考虑太阳的运动后，行星对太阳做圆锥曲线 运动，但质量不为m，而是折合质量 。,(4),可看作质量为 的行星绕太阳的运动,(2)如果Mm不成立，两质量差别不大，则必须视为两体问题处理(如双星运动);,(3)若考虑其他行星的吸引，则为多体问题
13、，一般只能用微扰法(摄动法)近似求解；,P96 例题,(4),(5)应用:如当求一个质点m1相对另一个质点m2的运 动时，可认为m2不动，但动力学方程中必须把m1 换成折合质量 。即：,四.对开普勒第三定律的修正,说明:当mM时，对开普勒定律的修正很小，但对质量相近的双星系统，必须考虑修正，双星系统中可能有一颗星是暗星，可以根据两体理论，由亮星的运动导致暗星的发现。,2.6 实验室坐标系与质心坐标系,一、实验室坐标系,即以大地为参照系(静系) 研究力学问题。,实验室中观察一个粒子对另外一个粒子的散射,特点：由质心运动定理，质心 作匀速直线运动，碰撞过程中 动量守恒，质点系的动量为,若为完全弹性
14、碰撞：总动能守恒,二、质心坐标系,在质心坐标系中观察碰撞问题,结论：质心静止，开始两个 质点向质心运动，散射后逐 渐远离质心。,分析：碰撞前后质点组对质心系 的相对总动量守恒且恒为零。,若为完全弹性碰撞：总动能守恒,标量方程为,两式相除得,对弹性碰撞，碰撞前后系统的总动能不变,得,再根据,最后得,一、变质量物体的动力学方程(惯性系),t,t+t,对合并前后(即在t时间内)，对系统运用质点组动量定理：,2.7 变质量物体的运动,展开,取极限，并舍去二阶小量,即,或者,二、讨论,1、若dm0，说明主体的质量在增大（合并）,2、若dm0，说明主体的质量在减小（分离）,3、若 方程为（如雨滴粘附问题）
15、,注：m不是恒量,即：,4、若 方程为：,即：形式和定质量物体的动力学方程一样，差别在于此处m为t的函数。,例：一车厢在光滑的水平面上匀加速向右行驶， 车厢上方有一漏斗，装有沙子，如图：,注：m不是恒量,欲保持原加速度前进，F要增大。,5、反推力(火箭),由：,欲保持推力不变， m增大, 减小。,可写成：,令：,下面分析一维情况：,例：从后面向小船上投沙袋。,例1: 雨点开始自由下落时的质量为M，在下落过程中，单位 时间内凝结在它上面的水汽质量为 。略去空气阻力，试求 雨点在t秒钟后下落的距离。,解：1.研究对象：雨点,2.参照系：地面；建立坐标系：以雨点 初始位置为o点，竖直向下为x轴,4.
16、用变质量物体的动力学方程：,3.受力分析:,解法一：用变质量物体的动力学方程求解,1.研究对象：空中部分链条。,2.参照系：地面；建立坐标系：桌子边缘为o点，竖直向下为x轴，如右图所示。,4.用变质量物体的动力学方程：,3.受力分析,例2:长为 的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌面边缘垂直，开始时链条静止，一半从桌上下垂，如下图所示。求链条末端滑到桌子边缘时链条的速度 ？,设线质量密度为，对桌面上一段用变质量物体的动力学方程,(2),将(2)代入(1)得,注意：,(1),化简得,两边积分：,得：,即：,拉力做功之和为零(链条不可伸长)，只有空中部分链条的重力做功，故系统的机械能
17、守恒,选桌面为零势能位置,(1),受力分析：空中部分链的重力，桌面上链条的重力，桌面对其 上链条的支撑力以及链条内部 的拉力(内力)。,代入方程(1)得,化简，得,即：,分析： (链条不可伸长),只有空中部分链条的重力做功,(2)参照系：地面；建立oy坐标系。,(3) 受力分析,例3:火箭在t时刻质量为m0(1-t)，从t=0时静止铅直上升，喷射气体相对火箭的速率为4g/。设大气阻力为2m0v (v为火箭速度)。试证火箭到达高度g/(32) 时，火箭只有原来质量的一半。(设g恒定，为常数)。,(4) 列出火箭的运动微分方程,即：,即：,得：,积分：,小 结,一. 基本要求,1. 概念,质点组；
18、质心；内力、外力及其性质； 惯性系；质心系。,2. 掌握质点组的动量定理，动量矩定理，动能定理。(惯性系，质心系),3. 运用三个基本定理及守恒律和质心运动定理求解质点组动力学问题。,4. 两体问题。,5. 变质量物体的动力学问题。,二. 补充例题,解：,(1) 研究对象: 人船系统。,设人，船最初静止，跳起瞬时，人的绝对速 度为 ,船的绝对速度为V。,(2) 参照系:河岸,(4)由质点组对惯性系的动能定理,要保持一定的速度 向岸上跳，M越大，W越小，M越小，W越大。,(3) 水平方向动量守恒,. 一电机质量为m放在光滑水平面上，有长为2l质量为m1的均质杆，一端与电机轴垂直固定连接，另一端焊
19、一质量为m2的小球，如电机轴以转动，求(1)电机的水平运动规律。(2)若用镙栓将电机固定于地面，求镙栓所受的力？,解：,(1).研究对象：质点组（电机，杆，小球）,(2) 参照系：地面 坐标系:o-xy,(4) 质点组在水平方向动量守恒,设电机最初静止，则,(3) 受力分析,积分：,(4) 在ox方向运用质心运动定理(电机被固定在地面上),解之得：,代入质心运动定理：,由牛顿第三定律,(5) 在oy方向运用质心运动定理,代入质心运动定理：,解:(1) 参考系：地面；建立坐标系 o-xy,(3) 列方程,3. 长为 的轻绳两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三个小球均静止于光滑的水
20、平桌面上，绳处于拉直状态，今给小球M一水平初速度 ( 和绳垂直)，求两小球相碰瞬间，绳的张力？,(1),(2) 受力分析,(4) 由质点组机械能守恒(内力做功之和为零),(5) 系统在y轴方向动量守恒,联立方程(1)-(5)求解：,(3),(4),(5),讨论: 若给左边小球初速度 ，确定系统此后的运动规律。,解:(1) 参考系：地面；建立坐标系 o-xy,(2) 受力分析：系统在水平面内不受外力作用,(3) 运用质心运动定理确定质心此后的运动规律,质心沿y轴方向作匀速直线运动,(4) 运用系统动能守恒和y轴方向动量守恒,4.一炮弹的质量为M1+M2,射出时的水平及竖直分速度为U及V。当炮弹达
21、到最高点时，其内部的炸药产生能量E，试此炸弹分为M1及M2两部分。在开始时，两者仍沿原方向飞行，试求他们落地时相隔的距离，不及空气阻力。,解：方法一，在惯性系中求解,分析：炮弹作斜抛运动，当炮弹到达最高点时，水平方向 上不受外力，爆炸过程中系统在水平方向上动量守恒，能 量守恒，设爆炸后M1和M2的水平速度分别为V1和V2。,(1),(2),联立方程(1)和(2)解得,落地时水平距离之差为,设分开时的速度（相对质心）分别为：,由对质心动能定理：,(1),(2),方法三，用两体问题求解(化两体问题为单体问题),(1) 研究对象：M1,其中，,(2) 参照系：M2,5. 将一质量为M，半径为R的均匀圆盘放在光滑水平桌面上，求质量为m的人以相对速率u沿圆盘边缘走动时圆盘的运动规律？(设最初圆盘，人都静止),解：,(1) 研究对象：系统(圆盘和人),(2) 参照系：s系-地面，质心系：c-xyz,(3) 受力分析：重力，支持力（均垂直于圆盘）,(4) 用质心运动定理确定系统质心的运动,质心相对地面静止,(5) ，系统对cz轴动量矩守恒(向里为正）,(4)系统在水平面内相对质心的动量守恒且恒为零,结论：人走动后盘心O以速率 绕系统质心C作圆周运动， 而圆盘又以 转动。,
