1、第二章 质点组力学本章主要讲述如何通过质心坐标，内部坐标和质心系的引入来描述多粒子的动力学系统，重点是两体问题。关于变质量物体的运动一节主要讲述火箭的运动。维里定理一节具有统计的性质，主要为以后的课程作准备。重点掌握:（1）质心的概念和计算；（2）质点组的三个基本定理（动量定理、动量矩定理、动能定理）在基本系和质心坐标系中的数学表示；（3）质心坐标系的重要性和特殊性。,2.1 质点组本节重点是掌握内力的性质、质心的概念和计算。 （1）质点组的内力和外力 1.质点组（又称质点系）： 若干有相互作用的质点的集合。 【注】一群毫无相联系的蚊蝇以及一盘散沙，都不是质点组。2.内力与外力： 内力质点组中
2、质点间的相互作用； 外力质点组外物体与组内任一质点的作用力。,3.内力所满足的运动定律： 牛顿第三定律： ， 牛顿第二定律。 4.孤立系（闭合系）： 不受任何外力的质点组。 5.质点组与独立质点集的区别： 犹如绳子（或刚体）与沙子。 （2）质心 1.质心概念的必要性：, 逐个对质点加以描述和研究的方法，原则上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分方程组，难以解算； 况且内力一般是未知量从而问题更复杂。 2.质点组研究方法： 从整体上去把握质点组，但不是利用统计方法，而是以点代体，即寻找一个与“整体”等当的特殊点（或说代表点）质心来研究。,3.质点组质心的定义：相应的分量形式为:,对于连续体的质
3、心，上述公式中的和号应改为积分： 当密度为常数时，质心几何中心；当重力加速度为常矢量时，质心重心。 4.命题：对于只有两质点1和2组成的质点组而言，其质心位置在1与2这两点连线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、2的质量。,2.2 动量定理与动量守恒律本节要求是掌握质心运动定理，它是刚体力学的基础之一。 （1）动量定理设质点组由 个质点组成，其中任一质点 的质量设为 ，它对惯性参照系坐标原点 的位矢为 ，作用在质点上诸力的合力为 ，对质点组而言，该合力又分为合内力 及合外力 （上标i和e，为英文interior和exterior的首字母）。应用牛顿第二定律，质点有运动微分方程:,将这 个方
4、程加和起来有：由上一节根据牛顿第三定律已知合内力为0，于是上式变为：对此式左边可进一步改写为,式中 是质点组的动量。所以总之，将质点组中每一质点的微分方程加 和，且考虑到内力总和为零，得质点组的 动量定理：式中,【注】更普遍的推导是直接使用质点的动量定理参见：中山大学数学力学系力学教研室，力学教程，人民教育出版社，1978：对于系统中的每一个质点因有动量定理，（ ）把所有这些方程相加得其中 表示质点组的总动量。那么,(A)假如我们承认质点组的内力之和 的条件，则有质点组的动量定理：(B)（2）质心运动定理 根据质心的定义并求导运算 质点组动 量=质心动量，即 （式中 ）,这就是质心运动定理。
5、该定理的物理意义：质心的运动，就犹如这样的 一个质点的运动，这个质点的质量等于整个质点 组的质量，作用在此质点上的力等于作用在质点 组上所有外力的矢量和。 该式表明了质心的重要性和特殊性：（1）质心 是一个特殊的几何点，但它的运动状态可以代表 质点组的整体特征；（2）内力不影响质心的运 动状态，但能影响个别质点的状态；（3）给定 外力，各质点运动状态尽管不知道,但质心的运动 状态可以完全确定，质心的运动状态只取决外力。,（3）动量守恒律 质点组不受外力或合外力为0时，由动量 定理可得质点组动量守恒定律表明：若质点组不受外力或合外力为0时， ，即质心作匀速直线运动（ 恒矢量），内力不会引起质心运
6、动状态的改变。 守恒律还适于诸外力仅在某一轴上投影之和为零的情形。,2.3 动量矩定理与动量矩守恒律本节的要求是掌握质点组动量矩定理，特别是掌握对质心的动量矩定理。 （1）对某一固定点的动量矩定理 由牛顿第二定律，第i个质点的动力学方程为（1） 两边用左乘 、再对各质点求和，利用内力总成对出现且等大、反向并作用在同一直线上这一性质, 即对任意对质点有，,而 与 共线，其矢量积为零。得到(2) （2）式表明：质点组对定点的动量矩的时间变化率等于受到的外力矩，即其中（2）动量矩守恒律当外力对固定点的合力矩为零时，有,守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。（3）对质心的动量矩定理 质心坐标系：设 为静
7、止系，若另一坐标系 随质点组运动而运动，原点取在质点组的质心，坐标轴与基本系的 坐标轴 平行，则 叫质心坐标系。 质心坐标系的特点：在质心系中，质心的位置矢量 。 作固定坐标系和动坐标系时，,将这一方法应用到这里来（将质心作 为动坐标系原点），有用 左叉乘上述方程组且对 求和，因内 力矩之合为零且牵连矩（惯性力矩）之合 为零，固有即有质点组对质心的动量矩定理：,该式表明：质心的动量矩 对时间的变化 率等于作用于质点组的外力对质心的力矩； 质心系的特殊性：（2）式由是牛顿第二定 律所得，它只对惯性系才适用。质心系一 般情况而言并不是惯性系，但是，质心系 中的质点组动量矩定理仍保持与惯性系中 相同
8、的形式；惯性力、内力对质心的力矩 恒为零。,2.4 动能定理与机械能守恒律本节应重点掌握质点组的动能定理，对质心的动能定理以及计算质点组动能的柯尼希定理。（1）质点组的动能定理这里讨论质点组动力学的第三个基本定理（前两个是：质点组动量定理；质点组动量矩定理）质点组动能定理。 我们已知了质点的动能定理（微分形式）,应用到质点组中的任一质点上就是【注】在动量定理和动量矩定理中，内力均因相等相反而消去，但在这里动能定理中，除了某些特殊情况下（例如刚体情况下），虽然内力也能消去，却一般不能导致内力所作的元功相互抵消，而动能定理右边并不是力的加和，而是功的加和，故一般情况下右边第一项是不等于零的。从而也
9、可推得，质点组即使不受外力作用，或虽受外力但合外力为0时，质点组的动能也不一定守恒。作用于系统的外力作了正功,不一定能增加系统的总,动能。必须使外力所作的功和内力所作的功之和大于零，系统的动能才会增加。仅仅是内力作功也可以使系统动能增加。例如，汽车从静止变为运动或炸弹的爆炸，正是由内力作功所致；又如，大炮发射炮弹时，水平方向动量虽然守恒，但相应的动能并不守恒，因为两者原来都是静止的，当炮弹发射时，炮身反冲，两者都有速度，也即两者都有动能。,关于内力所作元功之和一般不能抵消的原 因，可用下面两个质点的情况来加以说明。设第一个质点A相对于坐标原点的位矢是 ，第二个质点B相对于的位矢是 ，质点A所受
10、内力为 ，质点B所受内力为 ，且 ，则,式中 是质点B相对于质点A的位矢。故只有当 时， 才等于0。而 意味着质点间距离不能改变，即为刚体。对于一般质点组来讲， ，故内力作功一般不等于零。（2）质点组机械能守恒律由上述已知，对质点组而言，内力作功之和一般并不等于，故若只有外力是保守力而内力并不是保守力时，则质点组的机械能不守恒。只有作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力做功）时，机械能才守恒：,其中E为总能量，T为质点组动能，V为质点组势能（它包括内力的势能和外力的势能）。 （3）柯尼希定理 将质点的绝对运动分解成质点相对质心的相对运动和质心相对绝对原点的牵连运动，可得其中
11、 为质点组总质量。 该定理提供了计算质点组动能的方法，刚体动力学中经常用到。,（4）对质心的动能定理 利用质心的性质和质心系中的牛顿定律（引入了惯性力 ）,有两边点乘 ，得到 即质点组对质心动能的微分，等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。该结论称为质点组对质心的动能定理。,可以看出：惯性力对质点组作的功为零；利用质心系中的动能定理，可以克服惯性力作功是否为零的困难。这又一次体现质心系的特殊性：质心系并不是惯性系，但在质心系中的质点组动能定理仍保持惯性系中具有相同的形式，而其他坐标系无此性质。 内力和惯性力性质的简单归纳： 内力的性质：（1）质点组的内力的矢量和为零：,（）内力对
12、某定点的力矩和为零： （）内力不影响质心的运动状态。 （）内点作功不为零（刚体除外），内力会影响各质点的运动状态。 惯性力的性质： 惯性力对质心的力矩为零，在质心系中惯性力对质点组作功为零。2.5 两体问题本节应重点掌握两体问题的处理方法。研究两体问题的重要性在于：许多问题，如氢原子中的电子绕原子核的运动；地球绕太阳的运动；卫星绕地球的运动等。对这类两体运动问题，将核、太阳、地球视为静止，则所得的结果必有误差。为了更准确研究，就应采用本节提出的两体问题的处理方法，下面以太阳和行星为例说明。,质心的动力学方程： 因为两式相加，得此式可改写为,又由质心定义，知这时质心位矢为 所以上式变成（2.5.
13、5）此即本问题中系统( )的质心的动力学方程 2. 两个结论： 下面来推导两个结论： 系统( )的质心作惯性运动；太阳和行星都绕质心作圆锥曲线运动。 推导第个结论：方程(2.5.5)右边为0，即合力为0，由牛顿第一定律即得知结论。,推导第个结论：系统只含两个质点，质心c在s与p的连线上。令 ，则行星对c的动力学方程为(2.5.6)因c为质心，故 （见2.1（2）中的命题），从而有,此即行星相对于质心的动力学方程。可见力仍与距离平方成反比，故由1.9知行星绕( )系统的质心作圆锥曲线运动。太阳的情形与之类似。 3. 行星相对太阳的运动方程： 因太阳相对于惯性系 的绝对动力学方程为式中 。而行星相
14、对于惯性系 的绝对动力学方程为：,将前式乘以 、后式乘以 ，然后后者减去前者，得(2.5.8)但 ，所以上式变为(2.5.9),式中 。 4. 化两体问题为单体问题： 就（2.5.9）看，可认为太阳不动，但它的质量却不等于 ，而增大为 。不过这时常数 对各种行星并不一样，因为其中含有行星的质量 。 方程（2.5.9）也可等价写为（见（2.5.8）式）(2.5.10),这也是行星相对于太阳的动力学方程（形式2）。这时也认为太阳不动，太阳质量仍为 ，但行星质量却由 减小为 常把上述 称为折合质量（意为对行星质量的折合）。这种折合的方法就是一种把多体问题化为单体问题的方法。应指出若 ，由上式引起的误
15、差极小，可以将太阳视为静止处理。如果两质量差别不太大，则必须采用两体问题处理。,2.6 质心坐标系与实验室坐标系本节应掌握质心坐标系与实验室坐标系的概念以及两粒子弹性散射（碰撞）时散射角在质心系和实验坐标系中的相互关系。我们已遇到了两种散射问题，一种是单体问题（如前面第一章中谈到的 质点散射问题），另一种是两体问题（如本章上节所讲的太阳行星问题以及通常所常见的大多数碰撞问题）。上节已指出，两体问题可以化为单体问题（即化为认为其中一个不动，而把另一个的质量改为折合质量）。但是并非二体问题的任何方面的结果都能简单地用折合质量代换实际质量来求得。如散射角的求解。这时，由于散射核的反冲，,致使由实验室
16、测得的散射角与等效单体问题的散射角不同，而后者又不能由实验直接测得，因此在计算散射截面时，便遇到困难。 在单体问题下散射角如图中 所示，它即被散射体在散射前后之间所偏转的角度；而在两体问题下散射角如图中 所示，它即两体间相对位矢 在散射前后之间所偏转的角度。可在实验室测得，而 则要由等效单体问题计算出来。 这里我们来阐明二者关系： 实验室坐标系：即立足于实验室中观察散射过程的静止坐标系。,质心坐标系：即立足于质心上观察散射过程的动坐标系。设质量为 的质点1 以速度 被另一质量为的静止质点2散射。此两质点的质心在散射前后都将沿 方向以速度 运动。在散射前，有由于 ，所以质心速度,（2.6.1）此
17、时质点1相对于质心的速度 的量值为而质点2相对于质心的速度 的量值则为,故有从质心坐标系看，由动量守恒律，两质点散射后必将沿相反方向运动，而质点1散射后的速度 与散射前的速度 之间的夹角就是 ，如图（a）所示。同一现象，从实验室坐标系看，就完全不同。图(b)画出了从实验室坐标系看到的现象,这时质点1散射后的速度是 ,它与 之间的夹角是 。,下面来求 与 的关系。 由相对运动关系，有（见图 2.6.3）写成分量形式，则为两式相除，得(2.6.7),在图2.6.4中，C为质点1及质点2的质心，它对实验室坐标系原点O的位矢为 ，而质点1及质点2对C的相对位矢为 及 ，质点2相对于质点1的位矢为 。由
18、质心定义知取对时间的微商，得式中 是折合质量。散射后，当两质点远离到无引力场作用时，因系统是保守的，这时二质点相对速度的量值 必与其起始时二粒子的相对速率即 的量值 相等，即,(2.6.10)又由（2.6.1），即质心速度 知(2.6.11) 把（2.6.10）及（2.6.11）代入（2.6.7），得 (2.6.12),结果应用：先看在单体问题上的应用。由上式可知，当 时，有 。这就是单体问题的散射角状况。重靶（例如原子核）仅有很小的反冲，几乎与固定质心类似，卢瑟福散射就属于这种情况。再看在一种特殊的两体问题上的应用。设两体质量相等，这时上式变为,所以 这就是该特殊两体问题的散射角状况。中子质
19、子散射就属于这种情况。 2.7 变质量物体的运动 本节应重点掌握变质量物体运动的运动方程和应用变质量物体运动方程求解具体问题的一般步骤。 （1）变质量物体的运动方程 这里考虑质量是时间的函数，求这种变质量物体的动力学方程。 设时物体质量为 ，速度为 。另有一微小质量 ，速度为 。在 时间间隔内 与 相合并，合并后的共同速度为 。作用在 及 上的合外力为 。,由质点组动量定理（广义的牛顿定律）得(2.7.1)(2.7.2) 这就是变质量物体运动的基本方程。 由上式可知：若 ，则 (2.7.3),若 ，则 （2.7.4） 注意，（2.7.3）式的条件 ，相当于 这时很自然地有 。 又注意，（2.7
20、.4）式虽与质量为常值的 运动方程式形式相同，但实质不同，这里一般为时间 的函数。 【注】：注意这里的“变质量”是指当物体运动时质量随时间连续地变化，不可与相对论中的质量随速度而变化相混淆。实际问题中大量,存在变质量问题：雨滴下落因蒸发或凝聚发生质量 变化；滚雪球；火箭飞行等。对于我们这里一个变 质量物体来说，质量 。其中 应为 的连续函数（可为显函数，也可能通过坐标或速度而为 的隐函数）。这里一般情况下，为什（2.7.2）式，而不是（2.7.3）式？请注意这里的变质量物体运动问题所给的条件中 ， 是指作用在 及 上的合外力，而不是仅仅作用在 上的合外力。如果我们把 分解为 ，其中 是作用在
21、上的合外力， 是作用在 上的合外力，那么我们就可把（2.7.1）式等价地写成是由,与之和。这就是说，如果分别考察 和 各自的变质量运动过程（ 和 的整个合并过程被等价地看成是“ 变成 ”和“ 变成0”这两个单一质量变化过程的迭加），那么动量定理 形式的方程都是成立的，即有：,(A)(B) 这时 和 作为质点组时形为的质点组动量定理也应成立，这具体地也就是（A）+（B）应该成立：,展开就有(C) 由于 （因为 失去质量的变化率正 就是 得到质量的变化率的负值）并且 （因为问题中实际设定了是不随时间而变的，为一常矢量），所以(c)式变成或,这就是（2.7.2）式。可见，对于这里变质量问题，不论是质
22、点还是质点组，相应的动量定理都仍然成立。在变换不同角度看问题时，要注意准确把握问题各个量间的关系，特别要区分质点和质点组各自所属量的对应。 （2）火箭现在就应用变质量物体运动的基本方程（2.7.2）来讨论火箭问题.方程（2.7.2）可改写为,(2.7.5)即 (2.7.6)此称密歇尔斯基方程。式中 是放出物质(废气)相对于运动物体(火箭)的速度, 是每秒钟放出的质量,而(2.7.7),是放出物质引起的反作用力(即喷射废气产生的推力)。 由(2.7.7)可知,要增加火箭的推力,应从提高 或 着手。求解变质量物体运动问题的一般步骤 弄清研究对象 和 ；选取适当的坐标系，分析作用于体系的合外力；写出
23、方程的矢量形式和坐标分量形式；求解方程，讨论结果。 例1 （见笔记）,2.8 维里定理本节初步利用适于大数目对象的统计性方法来研究质点组的运动。对 个质点的质点组，其中任一质点的基本运动方程（动量定理）为（其中 ）（2.8.1） 设 （2.8.2）求对时间的导数，得(2.8.3),（2.8.3）右边第一项可变为而（2.8.3）右边第二项可变为因此(2.8.4),对上式求时间平均值 （依积分中值定理 ）: 或 (2.8.5)当为周期运动（ 为一周期）或所有质点的坐标和动量均为有限值但取 足够长时，则上式左边很小，几乎为零。故在这两种情况下，我们有如下的维里定理：,克劳修斯称 为维里（也叫均功）维里定理的意义：在长时间间隔内，质点组的动能对时间的平均值取负号后等于作用在此质点组上力的维里。,
