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第二章_质点组力学修改.ppt

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1、第4章 质点组动力学,4.1 质点组 4.2 动量定理与动量守恒律 4.3 动量矩定理与动量矩守恒律 4.4 动能定理与机械能守恒律,本章主要学习内容,前一章研究了单个质点的运动问题,本章进一步研究一群质点的集合体。把有多个相互联系着的质点组成的系统叫做质点组。,质点组动力学的研究方法,如果按质点动力学的方法列写每个质点的运动微分方程式,则 方程数太多 出现未知的内力 减少描述质系运动的未知量数目 不研究每个质点,而将质系作为一个整体,研究表征质系动力学的物理量(动量、动能等)的变化 采取适当措施消除未知的内力及约束反力,4.1 质点组,一、质点组的内力和外力,1、内力(internal fo

2、rce),质点组内部各质点之间的相互作用力(满足牛顿第三定律)。,j对 i 的作用力,内力的性质1: 所有内力的矢量和等于零。,内力的性质2:所有内力对任一点的矩(或对任一轴的矩)的矢 量和等于零 。,4.1 质点组,2、外力(external force),质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力。,4.1 质点组,在力学中,如果一个质点组不受任何外力作用,则叫做孤立系或闭合系。,3、孤立系(闭合系),4.1 质点组,二、质心(center of mass),1、引入质心的目的,(简化问题的处理),2、质心位置矢量的定义:,质心的位矢 是质点组中各质点的位置 以其质量 为权重的平均矢量。它

3、可以代表质点组的整体位置。,4.1 质点组,可以证明,质心是存在的,而且是唯一的。,质心的另一定义法:质点组质量对质心的一次矩的矢量和等于零。,4.1 质点组,3、质心满足叠加原理:,质心位矢的分量形式为:,4.1 质点组,4、对于质量连续分布的物体,上述公式中的求和号应改为积分:,(线,面,体),4.1 质点组,13,例4.1,一凹底的圆锥体,由高为h,底面半径为R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d (dh)的共轴圆锥而成,如图,求此凹底圆锥体的质心位置。,分析:,由于圆锥为轴对称,所以圆锥的质心一定在对称轴上,,若把挖去的圆锥的质心位矢,锥的质心可以用未挖时圆锥,当作负数处理,那么凹底圆,和挖

4、去的圆锥质心叠加而成,圆锥可看成很多薄圆片堆砌,14,解:,如图,建立一维坐标系Oz,以大圆锥顶点为原心,,Oz取在对称轴线上,利用质心的线性叠加原理:,如图在凹底圆锥上选取一厚度为dz1,,半径为,位于z1处的薄圆盘,它的质心为z1,在挖去的圆锥上选取一厚度为dz,半径为 ,,相距O 点为z 处的薄圆盘,它的质心为z2,由图中的几何关系可知:,在挖去的圆锥中有:,,,15,所以质心为所有薄圆盘的线性叠加:,两圆锥中截取的薄圆盘质量分别为:,16,4.2 质点组的动量、角动量和动能,(一) 动量,质点组的总动量等于质点组内各质点的动量之和,利用,可知:,质点组相对质心的总动量,和,(原点为任意

5、点),(原点为质心),质点组质心的动量,17,(二) 角动量,质点组对固定点(取为坐标原点)的总角动量,是质点组,各质点对此固定点的角动量之和,质点组对质心的角动量定理:,18,(三) 动能,质点组的总动能等于质点组内各质点的动能之和,称为柯尼希(Knig)定理,质点组的动能关系,19,例4.2,三个质量都是m的相同质点,等间距地粘贴在半径为r的轻质圆盘的边缘,圆盘则沿固定的共面圆环内侧,以角速度滚动,如图所示。设圆环的半径为R,求出此三个质点构成的质点组相对于圆环中心O点的动量、角动量和动能。,分析:,圆环不动,圆盘绕圆环匀速滚动,但是圆盘上等间距地粘有三个相同质点,可以把圆盘和一个质点当作

6、质点组,其,质心正好是圆盘的圆心。利用质心系求解,20,解:,圆盘绕圆环匀速滚动,圆盘和圆环接触点速度为0,设OC绕O点转动的角速度为,对C点有:,所以有,由于三个相同质点等间距地粘在圆盘上,,则质心正好是圆盘的圆心,利用质心系求解,质点组对圆环O点的动量为:,选取极坐标系较为简捷,如图所示,21,质点组对圆环O点的角动量为:,质点组对圆环O点的动能为:,4.2 动量定理与动量守恒律,一、质点组动量定理,将 n 个质点的运动微分方程加起来,应用牛顿第二定律,第 i 个质点运动微分方程为,外力矢量和,内力矢量和,根据牛顿第三定律已知合内力为0 ,于是,对此式左边可进一步改写为,4.2 动量定理与

7、动量守恒律,其中,故:,质点组 动量定理,或,诸外力作用在质点组上的元冲量,此形式与单个质点的动量定理相似。,4.2 动量定理与动量守恒律,分量形式:,4.2 动量定理与动量守恒律,质点组动量=质心动量,),二、质心运动定理,4.2 动量定理与动量守恒律,质心运动定理,物理意义,质心的运动,犹如这样一个质点的运动,这个质点的质量等于整个质点组的质量,作用在此质点上的力等于作用在质点组上所有外力的矢量和。,(质点组动力学第一基本定理),4.2 动量定理与动量守恒律,三、动量守恒律,质点组不受外力或合外力为0 时,由动量定理可得:,故,而,因此,(质心作惯性运动),4.2 动量定理与动量守恒律,或

8、,即,动量守恒律还适于各外力在某一轴上投影之和为零的情形。,4.2 动量定理与动量守恒律,例 一门大炮停在铁轨上,炮弹质量为m,炮身和炮车质量和等于M,炮车可以自由地在铁轨上反冲。如炮身与地面成一角度,炮弹相对炮身的速度为V,试求炮弹离开炮身时对地面的速度 v 及炮车反冲的速度 U 。,解: 本题沿水平方向(设为x方向)无外力作用,因为火药爆炸力是内力,故沿x方向动量守恒,即,(1),(用绝对速度,不能用相对速度),4.2 动量定理与动量守恒律,又由相对运动关系,知:,(2),由(1)及(2)得:,4.2 动量定理与动量守恒律,由于炮车反冲,而,4.2 动量定理与动量守恒律,33,对固定点的动

9、量矩定理,设由n个质点所形成的质点组,则每个质点的动力学方程为,从左面矢乘 ,并对i求和 ( 是质点组 中任一质点Pi对惯性系中某固定点的位矢)。,4.3 动量矩定理与动量矩守恒律,34,35,质点组对任一固定点的动量矩对时间的商,等于作用在质点组上诸外力对同一点的力矩的矢量和。,36,在直角坐标系的分量形式,37,如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即,如果 ,但对通过原点的某一标 轴(设为x轴)上的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。,动量矩守恒定律,38,对质心的动量矩定理,质心坐标系:,在质点力学中,除以定点o为原点建立惯性系o-xyz外,通常还以质点组的质心c为质建立一个

10、平动坐标系c-xyz, 而质心c在静止系中的位矢仍用 表示。 c-xyz为平动的非惯性系,称为质心坐标系或质心系。,39,对质心系c-xyz中的动量矩定理,设体系中第个质点的质为 ,相对质心的坐标为 ,则它在质心坐标系中的运动微分方程为,40,用 从左面矢乘两边得,并求和,41,42,结论:在绕质心的相对运动中,质点系对质心的动量矩的时间变化率,等于各外力对质心力矩的矢量和,这就是质心系对其质心的动量矩定理。对质心的惯性力矩的总和为零。,43,质心系中的动量矩守恒定律,4.4 动能定理与机械能守恒律,一、质点组的动能定理,由质点的动能定理(微分形式),应用到质点组中的任一质点上,对i 求和,得

11、,质点组的动能定理,4.4 动能定理与机械能守恒律,(质点组动力学第三基本定理),在动量定理和动量矩定理中,内力的影响均被抵消;但在动能定理中,除非在特殊情况下(如刚体),内力的影响通常不能被抵消。,注意,质点组即使不受外力作用,或所受外力作用相互平衡,质点组的动能也未必守恒。,对质点组而言,内力作功之和一般并不等于0,故若只有外力是保守力而内力并不是保守力时,则质点组的机械能不守恒。,其中E为总能量,T为质点组动能,V为质点组势能(它包括内力的势能和外力的势能)。,二、机械能守恒律,只有作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力(或其中只有保守力做功)时,机械能才守恒:,4.4 动能定理与机械

12、能守恒律,将质点的绝对运动分解成质点相对质心的相对运动和质心相对绝对原点的牵连运动,可得,其中m为质点组总质量。,三、柯尼希定理,4.4 动能定理与机械能守恒律,四、对质心的动能定理,4.4 动能定理与机械能守恒律,由,用相对于质心系的位移 点乘两边,并对i求和,而,因此,可得,即:质点组对质心动能的微分,等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。,与相对于惯性系的质点组动能定理形式相同!,此时,质心虽然是动点,但惯性力做功之和为零!与动量矩定理相似!(体现了引入“质心”的意义),例(P.128),4.4 动能定理与机械能守恒律,小结,质点组的三个动力学基本定理(静系),动量定理,动

13、量矩定理,动能定理,质点组的三个动力学基本定理(C系),动量定理,动量矩定理,动能定理,质点组的三个守恒律,动量,动量矩,机械能,2.5 两体问题,第2章 质点组力学,因为太阳并非静止,故开普勒定律是近似的。,一、(P,S)系统的运动特点,对太阳:,对行星:, + 式,得,而质心:,因此,,2.5 两体问题,第2章 质点组力学,讨论, 质心不受力,作惯性运动。(万有引力是内力,质点组动量、能量守恒), 太阳、行星绕质心作圆锥曲线运动。,证明:,令,行星对C的运动学方程为:,2.5 两体问题,第2章 质点组力学,同理,太阳对C的运动学方程为:,力与距离平方成反比,故太阳、行星均绕(P,S)系统的

14、质心作圆锥曲线运动。,2.5 两体问题,第2章 质点组力学, 地球对太阳的相对运动方程,(2)(1)式,得,定义:折合质量,则,2.5 两体问题,第2章 质点组力学,(可看作一个 质量为 的物体受太阳(不动)引力情况), 开普勒第三定理的修正,即:只有当行星质量远小于太阳质量时,开普勒第三定律才是精确的。,2.5 两体问题,第2章 质点组力学,两体问题:不考虑行星间的相互吸引。,多体问题:天体力学、量子力学中经常用到,用微扰法(摄动法)求解。,2.5 两体问题,第2章 质点组力学,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章 质点组力学,单体问题,(可在实验室观察出来),(需由等值单体问题计算出来

15、),观测散射过程时所采用的静止的坐标系。,一、实验室坐标系,单体问题,为实验工作者 采用。,散射角 为观测值,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章 质点组力学,两体问题;为理论工作者 采用。,二、质心坐标系,观测散射过程时所采用的随质心运动的坐标系。,散射角 为计算值。,: 两质点相对位矢散射前后所偏转的角度;,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章 质点组力学,今日箴言,三、c与r的关系,设质量为m1的质点1以速度v1被另一质量为m2 的静止质点2散射。此两质点的质心在散射前后都将沿v1方向以速度V运动,,在散射前,有,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章 质点组力学,2.6 质心

16、坐标系与实验室坐标系,第2章 质点组力学,故有,从质心坐标系看,由动量守恒律,两质点散射后必将沿相反方向运动,而质点1 散射后的速度 与散射前的速度 之间的夹角就是,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章 质点组力学,从实验室坐标系看, 质点1散射后的速度为 ,它与 之间的夹角为,.,由相对运动速度变换关系,其分量形式为,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章 质点组力学,(2),(3),(1),2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章 质点组力学,由 (1)、(2)、(3) 可得,2.6 质心坐标系与实验室坐标系,第2章 质点组力学,讨论,中子减速剂原理,2.6 质心坐标系与实验室坐标系

17、,第2章 质点组力学,2.7 变质量物体的运动,第2章 质点组力学,一、变质量物体的运动方程,讨论质量m是时间的函数,求这种变质量物体的动力学方程。,设t时刻物体质量为m,速度为v。另有一微小质量m,速度为u。在t+t时间间隔内m与m相合并,合并后的共同速度为v+v。作用在m及m上的合外力为F。,略去二阶小量,则变质量物体运动的基本方程为:,m未与m合并前或自m分出后瞬间的速度,2.7 变质量物体的运动,第2章 质点组力学,若u=v,则,若u=0,则,2.7 变质量物体的运动,第2章 质点组力学,对于变质量问题,不论是质点还是质点组,相应的动量定理都仍然成立。在变换不同角度看问题时,要注意准确

18、把握问题各个量间的关系,特别要区分质点和质点组各自所属量的对应。,2.7 变质量物体的运动,第2章 质点组力学,例 雨点开始自由下落时的质量为M。在下落过程中,单位时间内凝结在它上面的水汽质量为。略去空气阻力,试求雨点在t 秒后所下落的距离。,解:本问题的u=0,故由,得,积分,得,2.7 变质量物体的运动,第2章 质点组力学,故,因t=0, v=0,故,即,再积分,得,2.7 变质量物体的运动,第2章 质点组力学,由是,得,这就是雨点在t 秒后所下落的距离。,2.7 变质量物体的运动,第2章 质点组力学,方程,可改写为,即,密歇尔斯基方程,二、火箭,2.7 变质量物体的运动,第2章 质点组力

19、学,是放出物质(废气)相对于运动物体(火箭)的速度,是每秒钟放出的物质的质量,是放出物质引起的反作用力(即喷射废气产生的推力),故要增加火箭的推力,应从提高 或 着手。,2.7 变质量物体的运动,第2章 质点组力学,2.8 维里定理,第2章 质点组力学,对 有n个质点的质点组,其中任一质点的基本运动方程为:,设,求G对时间的导数,得,而右边第二项可变为,右边第一项可变为,2.8 维里定理,第2章 质点组力学,因此,对上式求时间的平均值,得,由积分中值定理,或,2.8 维里定理,第2章 质点组力学,维里定理的物理意义:在长时间间隔内,质点组的动能对时间的平均值取负号后等于作用在此质点组上力的维里

20、。,克劳修斯称 为维里(也叫均功)。,若为周期运动(为一周期),或所有质点的坐标和动量均为有限值但取足够长时,则上式左边很小,几乎为零。故在这两种情况下,均有:,维里定理( Virial Theorem ),2.8 维里定理,第2章 质点组力学,讨论,1. 系统中的耗散力对 无贡献.(反证法),2. 对有心力系统(属保守力系),质点势能:,2.8 维里定理,第2章 质点组力学,如氢原子:,2.8 维里定理,第2章 质点组力学,例 推导理想气体压强公式。,解:压力的维里:,压强方向与 方向相反,由高斯定理:,2.8 维里定理,第2章 质点组力学,由能均分定理:,(单原子分子只有平动动能),n 为总原子数目,比较两式得:,(与原子种类无关 道尔顿分压定理),2.8 维里定理,第2章 质点组力学,

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