1、24.1.2 垂直于弦的直径,1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱,学习目标,学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题。学习难点：垂径定理及其推论。,自学指导,认真看书81-83页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快？1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？ 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ 3、你知道解例2的每步
2、依据吗？,用纸剪一个圆（课前布置学生准备好）,圆是轴对称图形 ，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,2探究新知,不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?,由此你能得到圆的什么特性？,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活 动 二,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线
3、段： AE=BE,叠 合 法,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,3获得新知,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,CDAB, CD是直径，, AE=BE,O,A,B,C,D,E,老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,3获得新知,知二推三,问题：把垂径定理中的题设垂直于弦的 直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论？,垂径定理推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。, CDAB
4、, CD是直径，,AE=BE,O,A,B,C,D,E,（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。, CD是直径, CDAB, AM=BM,如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？,一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.,推广：,课堂讨论,根据已知条件进行推导：过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且
5、平分弦所对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。,只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.,(4)若 ，CD是直径, 则 、 、 .,(1)若CDAB, CD是直径, 则 、 、 .,(2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 .,(3)若CDAB, AM=MB, 则 、 、 .,1.如图所示:,练习,AM=BM,CDAB,CD是直径,CDAB,AM=BM,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,深化：,垂径定理的几个基本图形：,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,巩固：,1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E
6、，则下列结论中不成立的是（ ）,A、COE=DOE,B、CE=DE,C、OE=AE,C,2、如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。,O,A,B,E,解：连接OA， OEAB, AB=2AE=16cm,3、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。,O,A,B,E,解：过点O作OEAB于E，连接OA,即O的半径为5cm.,4、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,解：连接OA，, CD是直径，OEAB, AE=1/2 AB=5,设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得,x2=52+(x-1)
7、2,解得：x=13, OA=13, CD=2OA=26,即直径CD的长为26.,如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，你能求赵州桥主桥拱的半径吗？,例 2,37m,7.23m,A,B,O,C,D,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB
8、的中点，CD就是拱高., AB=37m，CD=7.23m, AD=1/2 AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23,解得R27.3（m）,即主桥拱半径约为27.3m.,2.（湖州中考）如图，已知O的直径AB弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）,AAEOE BCEDE,CE,COE,DAOC60,B,1.（绍兴中考）已知O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8,D,四、当堂检测 巩固新知,2、已知：如图，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D两点. 求证：ACBD. 证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE. AECEBEDE. 所以，ACBD,E,.,A,C,D,B,O,通过本课时的学习，需要我们： 1理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.,五、课堂小结,六、家庭作业,1、必做 p89页 2题 90页 9题 2、选作 p89页 1题,
