1、,第五章 频率法,本章主要内容 频率特性的基本概念 频率特性的对数坐标图 频率特性的极坐标图 奈魁斯特稳定判据 稳定裕度 闭环系统的性能分析,5.1 频率特性的基本概念,什么是频率法？,频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表 示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方 便又有效的工具。,考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的时间响 应来分析系统的动态性能和稳态性能。,有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应 并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察 频率由低到高无数个正弦波 输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。,频率法是研究
2、控制系统的一种图解分析法，也是一种常用工程方法。它能间接揭示系统的时域本质，使系统的物理性质能够准确地展示在复平面上，从而较方便迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，并进一步指明改进的方向。,一、频率特性的基本概念,如图所示的简单电路,电路中的电流为：,式中：,且：,其中： 是输出量和输入量的幅值比 ，即幅频特性。 是输出量和输入量的相位差，即相频特性。,1. 举例,2. 一般情况下系统的频率特性,显然， 描述了在不同频率下电路传递正弦信号的性能。,分析： 系统的频率特性可以由该系统的传递函数，以 代替 求得，即,系统的传递函数为：,式中， 为不同极点。,若：,则：,将上式求拉氏反变换，得
3、：,对于稳定系统 ，当时间 t 趋于无穷大时，有：,系数 和 如下确定：,由：,则：,注：,整理后的输出为：,定义：,为幅频特性为相频特性,结论：系统的频率特性可以由该系统的传递函数，以 代替 求得，即,频率特性是指线性定常系统在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的稳态分量的复数比。,因此，系统的频率特性为：,还可将 写成复数形式，即,这里 和 分别称为系统的实频特性和虚频特性。,幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量，它也是 的函数。 称为频率特性。,到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：,频率响应
4、法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得，而不必推导系统的传递函数。事实上，当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，常用的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函数模型。此外，在验证推导出的传递函数的正确性时，也往往用它所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。频率响应法的优点之二在于它可以用图来表示，这在控制系统的分析和设计中有非常重要的作用。,频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得出的。如果不稳定，则动态过程 最终不可能趋于稳态响应 ，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性。因此
5、可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入稳态分量的复数比。所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式由传递函数还是可以得到其频率特性。,5.2 频率特性的表示方法,工程上常用图形来表示频率特性，常用的方法有： 1极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部 为直角坐标横坐标，以其虚部 为纵坐标；或以 为参变量的幅值 与相位 的图解表示法。（幅相频率特性） 2对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以 为横坐标，对数分度，分别以 和 作纵坐标的一种图示法。（对数频率特性） 3对数幅相频率特
6、性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相位 为横坐标，以 为纵坐标，以 为参变量的一种图示法。,极坐标频率特性曲线（又称幅相频率特性曲线)即奈魁斯特曲线 对数频率特性曲线 （又称波德图）对数幅相特性曲线 （又称尼柯尔斯图）,一. 幅相频率特性,表达式1）代数形式2）指数形式3）关系,当 由 变化时，由 决定的矢量终端走过 的运动轨迹，称为系统（或环节）的幅相频率特性。 是参 变量。在曲线上的任意一点可以确定实频、虚频或幅频和 相频特性。,由于 是偶函数，所以当 从 和 变化时，奈魁斯特曲线对称于实轴。,2.特点,Bode图（波德图）由 对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。,2. 波
7、德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：,横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程（或十倍频），用dec表示。类似地，频率 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：,由于 以对数分度，所以零频率线在处。,更详细的刻度如下图所示,对数幅频特性曲线的纵坐标以 表示。其单 位为分贝(dB)。 每变化十倍， 变化20dB。,2）纵坐标分度：,相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。,一般将幅频特性和相频特
8、性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。,当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：,3. 使用对数坐标图的优点：,1）可以展宽频带。频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。2）可以将乘法运算转化为加法运算。3）所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似代替准确的对数幅频特性。给分析和设计系统带来方便。4）对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的传递函数表达式。,三. 对数幅相特性,将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上， 以对数幅值作纵坐标，以相位移作横坐标，以频率作参
9、 变量，这种图称为对数幅相频率特性。,5.3 典型环节的频率特性,实频特性 ： ；虚频特性： ；,一. 比例环节,幅频特性： ；相频特性：,二. 惯性环节的频率特性：,1. 幅相频率特性,列出特殊点：,作出幅相频率特性图如下：,2. 对数频率特性,1）对数幅频特性： 为了图示简单，采用分段直线近似表示。,当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。,结论（1）惯性环节的幅频特性随频率升高而下降。即以同样振幅不同频率的正弦信号加于惯性环节，其输出信号的振幅不同；频率越高，输出振幅越小，呈现“低通滤波器”的特性。（2）输出信号的相位滞后于输入信号，当 时，相位滞后 ，频率越高，
10、相位滞后越多，当 时，相位滞后 。,图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。,三. 积分环节的频率特性,1.幅相频率特性,积分环节的幅相频率特性为负虚轴。频率w从0变化，特性曲线由虚轴的趋向原点。,2. 对数频率特性,可见幅频特性是一条斜率为20dB/dec的直线。它在这一点穿过零分贝线。,2. 对数相频特性,四. 微分环节的频率特性,对数频率特性,显然，理想微分环节的对数幅频特性为一条斜率+20dB/dec的直线，它在 处穿过零分贝线。,2. 一阶微分环节：,一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴的直线。频率w从0的特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。,幅相频率特性
11、,低频段渐进线：,高频段渐进线：,对数幅频特性（用渐近线近似）：, 对数频率特性,这是斜率为+20dB/dec的直线。低、高频渐进线的交点为,显然，一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节 的相应特性互以横轴为镜像。,五、振荡环节的频率特性：,讨论 时的情况。,频率特性为：,幅频特性为：,相频特性为：,求特征点如下：,1. 幅相频率特性,令：,当：,由图可见： 对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于( w1, -90)点是斜对称的。 对数幅频特性曲线有峰值。,因此，在转折频率附近的渐近线依不同阻尼比与实际曲线可能有很大的误差。,4. 谐振角频率 和谐振峰值,当 ， ， 。,对 求导并令其等
12、于零，可解得 的极值对应的频率 。,该频率称为谐振角频率。可见，当 时， 。 当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。,且：,它的极坐标图是一个圆心 在原点，半径为1的圆。,六. 时滞环节的频率特性：,1. 幅相频率特性,2. 对数频率特性,七、最小相位环节,1.定义 在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。,在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，并且最小相位系统的对数幅频特性的斜率和相频特性的角度之间
13、存在着唯一的对应关系。（最小相位系统的重要特征）,对最小相位系统：w=0时, j (w)= -90积分环节个数 ；w=时, j (w)= -90(n-m) 。不满足上述条件一定不是最小相位系统。满足上述条件却不一定是最小相位系统。,2. 最小相位系统的必要条件,例：有五个系统的传递函数如下，系统的幅频特性相同。,设 ，可计算出下表，其中 为对数 坐标中 与 的几何中点。,由图可知：最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当w从0变化至时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系的系统(即相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势一致。如 。,而非最小相位系统的相角变化范围通常
14、比前者大(如 、 或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与 幅频特性的变化趋势不一致 (如 )。,在最小相位系统中，对数频率特性的变化趋势和相频特性的变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地确定其相频特性。,由此，对最小相位系统可只根据幅频特性（或只根据相频特性）对其进行分析或综合；而非最小相位系统则不然，在进行分析或综合时，必须同时考虑其幅频特性与相频特性。,例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。,5.4 系统开环频率特性 的绘制,一、系统的开环幅相频率特性的绘制
15、（绘制奈氏图）,开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。,使用MATLAB工具绘制。,1. 0型系统的开环幅相频率特性,例题1,例题2,2. 型系统的开环幅相频率特性,传递函数为：,频率特性为：,在 时，有 幅值趋于相角位移为,在 时，有相角位移为,型系统的幅相频率特性,3. 型系统的开环幅相频率特性,在 时，有 幅值趋于相角位移为,在 时，有,例题5 -1 已知开环传递函数，绘制开环系统幅相频率特性。,解：该系统由四个典型环节组成：一个比例环节，一个积分环节和两个惯性环节。,虚频、实频表达式为：,幅值、相位表达式为：,起点：,故
16、在 时 趋于无穷远，其渐近线平行于 虚轴。该渐近线在原点左侧，即：,终点：,总结：具有积分环节的系统的频率特性的特点,频率特性可表示为：,显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与(n - m)有关。,一、系统的开环对数频率特性的绘制（绘制波德图）,1、对数幅频特性,例5-1：系统开环传递函数如下，试画出该系统的波德图。,解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节和两个惯性环节。,实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。,确定 和各转折频率 ，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；,具体步骤如下：,确定低频渐进线
17、： ，就是第一条折线，其斜率为 ，过点（1，20lgk）。实际上是和积分 的曲线。,高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/Dec。,遇到 （一阶惯性）时，斜率下降，以-20dB/Dec;,遇到 （二阶惯性或振荡环节）时，斜率下降 以- 40dB/Dec;,画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：,遇到 （一阶微分）时，斜率增加，以+20dB/Dec;,相频特性还是需要先绘出各分量的对数相频特性，然 后将各分量点点相加，才可画出。,2、对数相频特性,3. 系统类型与开环对数频率特性,（1）0型系统的特点,低频段的斜率为 ，幅值为 。,（2）型系
18、统的特点,（3）型系统的特点,5.5 用频率法分析系统的稳定性,一、控制系统的稳定判据,奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。,讨论用频率法判断系统的稳定性，实际上就是分析 频率 由 时，闭环特征方程式所描述的矢量 的相角变化关系。,1. 一阶系统,若特征方程式为： （1）假设根是负实根,则：,（逆时针旋转 ）,（2） 假设根是正实根,则：,结论：对于一阶系统，如果系统是稳定的，那么， 由 时， 矢量将逆时针方向旋转 。,（顺时针旋转 ）,2. 二阶系统,的相角变化总量：,的相
19、角变化总量：,结论：对于二阶系统，如果系统是稳定的，那么， 由 时， 矢量将逆时针方向旋转 。,3. n阶系统,系统稳定的条件是特征方程式的所有根必须在左半 平面。 它可以描述为：当 由0 变到 时，如果矢量 的 相角变化量为 那么系统是稳定的； 否则，系统是不稳定的。当 由 变化时，如果矢量 的相角 变化量为 ，那么系统是稳定的；否则， 系统是不稳定。,如果系统有 个根在左半S平面，有一个根在右半平面，当 由 时，总的相角变化量为 。,推论：,如果系统有 个根在左半S平面，有一个根在右半平面，当 由 时，总的相角变化量为 。,如果系统有 个根在左半S平面，有 个根在右半平面，当 由 时，总的
20、相角变化量为 。,如果系统有 个根在左半S平面，有 个根在右半平面，当 由 时，总的相角变化量为 。,二、用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性,1.开环频率特性与闭环特征 方程式的关系,开环：,闭环：,显然，闭环系统特征方程式就是开环传递函数的分母和分子之和。即： （ 与 阶次相同）,构造辅助函数 ，找到 与 之间的关系：,是辅助函数的零点和极点。,辅助函数 的四个特征：（1）其零点 为闭环传递函数的极点；（2）其极点为开环传递函数的极点；（3）其零点和极点的个数相同；（4） 和开环传递函数 只差常数1。,由此得出控制系统稳定的充要条件：辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧 。,讨论以下
21、三种情况,(1)开环是稳定的系统,(2)开环是不稳定的系统,(3)开环有串联积分环节的系统,控制系统稳定的充要条件为：辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧。,(1)开环是稳定的系统,2.奈魁斯特稳定判据,若开环系统稳定，闭环系统也稳定，则有：,的轨迹不包围原点，系统稳定,的轨迹包围原点，系统不稳定,奈魁斯特稳定判据：如果 由 变化，矢量 的相角变化量为零，则开环稳定的系统，闭环后也是稳定的。,用 判断闭环系统的稳定性的判据：如果开环系统是稳定的， 闭环系统稳定的条件是 当 由 变化时， 开环频率特性在复平面的 轨迹 不包围（-1，j0) 这一点。,(2)开环是不稳定的系统,开环系统不稳定，
22、有P个根在右半S平面，（n-P)个根 在左半S平面。矢量 在 由 变化 时，其相角变化量为：,闭环系统不稳定，有Z个根在右半S平面，（n-Z)个根 在左半S平面。矢量 在 由 变化 时，其相角变化量为：,在上述情况下，矢量 的相角变化量为：,上式说明，若开环系统有P个不稳定根，闭环系统有Z个不稳定根，则 当 由 时， 的轨迹在 平面逆时针围绕坐标原点转 N圈；即 的轨迹在 平面逆时针围绕 点转N圈。,闭环系统稳定的充要条件是：,如果开环系统是不稳定的，开环系统特征方程式有P个根 在右半S平面上，则闭环系统稳定的充要条件是：,当 由 时，开环频率特性 的轨迹在复平面 上应逆时针围绕 点转N=P圈
23、。否则闭环系统是不稳定的。,当 由 时，开环频率特性 的轨迹在复平面 上应逆时针围绕 点转N=P/2圈。否则闭环系统是不稳定的。,例题5 -2 一个闭环系统如下，其开环传递函数为,闭环传递函数为,则：,1）显然，闭环特征方程式的根在左半 s 平面，所以系统是稳定的。,2）由开环频率特性 的轨迹看出，当 由 时， 矢量逆时针围绕 点转一圈，即 。又： 由奈氏稳定判据知闭环系统稳定。,有积分环节的幅相频率特性,3、开环有串联积分环节的系统,使 曲线连续的处理方法：,把沿 轴变化的路线在原点处作修改，以 为圆心，以 为半径，在右半平面作很小的半圆，由此，把坐标原点处的开环极点划到了左半部。小半圆的表
24、达式为只需将 代入 ，令 ， ，可求得 由 变化时 的轨迹。,有一个在原点的极点,有一个在原点的积点,有两个在原点的极点,（2） 有两个在原点的极点,(3 ) 有三个等于零的积点,有三个零积点,三、用系统开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性,1)幅相频率特性的正穿越和负穿越相角增量为正是正穿越；相角增量为负是负穿越。,1、用开环幅相频率特性在负实轴 正穿越和负穿越的次数来判断闭环系统的稳定性。,2. 幅相频率特性与对数频率特性的关系,1）与对数幅频特性的关系：奈氏图上单位圆对应于对数 坐标图上的零分贝线; 位于 范围内，对 应于其对数特性 位于0分贝线以上的区域中。,2）与对数相频特性的关系:
25、 奈氏图上的负实轴对应于对数 坐标图上的-180度相位线。对数相频特性的正、负穿越与幅相特性的正、负穿越相反。当 增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。,0,3.对数频率特性的奈氏判据,设开环传递函数在右半S平面的极点数为P=0，则对数坐标图上幅频特性 的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为0时，闭环系统 是稳定的；否则，系统不稳定。,四.举例,例5 3 系统开环传函为：,绘制幅相特性，判断闭环稳定性。,由于 不包围 这一点，所以不论K值多大，闭环系统是稳定的。,例5 4 系统开环传函为,没有极点位于右半
26、 s 平面，即 P= 0绘制幅相特性，判断闭环稳定性。,当 由 时， 顺时针 包围 两圈， N=-2。故得：Z=P-N=2 闭环系统在右半S 平面有两个极点， 系统是不稳定的。,例5- 5 已知开环传递函数,分三种情况讨论：,例5- 6 已知开环传递函数,五、系统的稳定裕量,1、相位裕量,在穿越频率 处，使系统达到临界稳定状态所要 附加的相角滞后量。以 或 表示。,2、增益裕量,在频率等于相位穿越频率 时，幅相频率特性的幅 值 的倒数称为系统的增益裕量，记为 。,所谓相位穿越频率 ，是指幅相频率特性曲线在相角位移 时的角频率。而幅相频率特性曲线与单位圆相交处的频率 称为 幅值穿越频率。,相位裕
27、量与相角位移的关系：,用分贝数表示：,相位裕量与相角位移的关系：,此时， 不包围 点，即 ，闭环系统是稳定的。,相位裕量与相角位移的关系：,此时， 包围 点，即 ，闭环系统是不稳定的。,对于稳定的最小相位系统，增益裕量指出了在相位移等 于 的频率 ，使闭环系统达到稳定边界，允许增益放 大的倍数。对于不稳定系统，增益裕量指出了使闭环系统达到稳定边界，增益应缩小的倍数。,注意：,适当的相位裕量和增益裕量，可以防止系统中元件的参数和特性在工作过程中发生变化对系统稳定性产生不良影响。一般，为使系统有满意的性能，相位裕量应在 之间，而增益裕量应大于6分贝。,当k=10时， 开环系统波德图如右 所示。这时
28、系统的相 位裕量和增益裕量大 约是9.6dB和24.6度。 因此，系统在不稳定 之前，增益可以增加 9.6dB。,相位裕量和增益裕量的计算：,相位裕量：先求穿越频率,在穿越频率处， ，所以 ，解此方程较困难，可采用近似解法。由于 较小（小于2），所以：,穿越频率处的相角为：,相位裕量为：,增益裕量：先求相角穿越频率,相角穿越频率 处的相角位移为：,由三角函数关系得：,所以，增益裕量为：,例：设单位负反馈系统的开环传递函数为：,解：求系统的开环频率特性,计算相角裕度,式中 满足方程,故：,例：设某单位负反馈系统的开环传递函数为,若要求系统的幅值裕度为20dB，则开环增益K应取何值？,解题思路 （
29、1） 先令相角位移,（2）再令幅值裕度,（3）最后根据题中 与开环增益 的关系，求出开环增益注意：震荡环节不考，2010、6、24晚,5.6 系统暂态特性和开环频率特性的关系,一、开环频率特性的基本特性,1、开环对数频率特性的斜率和相频特性的关系,1）中频段2）低频段3）高频段,2、放大系数的变化对相位裕量的影响,第三种情况：开环频率特性表达式为,频域性能指标：由频宽的定义知： 我们知道一阶惯性环节的调整时间是：则：频宽越大，调整时间越小。,一阶系统：,传递函数为：,1）求出 和 的关系,2)求得 和 的关系,2、相位裕量和调节时间之间的关系,相位裕量 相同的系统，超调量 大致相同；但穿 越频率 越大的系统，调节时间 越短。,
