1、http:/ 勾股定理181 勾股定理（一）181 勾股定理（二）181 勾股定理（三）181 勾股定理（四）182 勾股定理的逆定理（一）182 勾股定理的逆定理（二）182 勾股定理的逆定理（三）第十八章 勾股定理181 勾股定理（一）一、教学目标1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图
2、，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角ABC，
3、用刻度尺量出 AB 的长。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。再画一个两直角边为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB 的长。http:/ 32+42 与 52 的关系，5 2+122 和 132 的关系，即 32+42=52，5 2+122=132，那么就有勾 2+股 2=弦 2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例 1（补充）已知：在ABC 中，C=90
4、，A、B 、C 的对边为 a、 b、c。求证：a 2b 2=c2。分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4S +S 小正 =S 大正 4 ab（ba ） 2=c2，化简可证。21发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 已知：在ABC 中，C=90，A 、B 、C 的对边为 a、b、c。求证：a 2b 2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边 S
5、=4 abc 21右边 S=（a+b ） 2左边和右边面积相等，即4 abc 2=（ a+b） 21化简可证。六、课堂练习1勾股定理的具体内容是： 。2如图，直角ABC 的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系： ；若 D 为斜边中点，则斜边中线 ；若B=30，则B 的对边和斜边： ；三边之间的关系： 。3ABC 的三边 a、b、c，若满足 b2= a2c 2，则 =90； 若满足 b2c 2 a2，则B 是 角； 若满足 b2c 2a 2，则B是 角。4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。七、课后练习cb aD CA Bbbbbccccaaaa bbbbaa ccaaAC
6、 BDbccaabDCAEBhttp:/ Rt ABC 中，B=90，a 、b、c 是ABC 的三边，则c= 。（已知 a、b，求 c）a= 。（已知 b、c，求 a）b= 。（已知 a、c，求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c，有 ab c，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时，b，c 的值，并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来。3、4、5 32+42=525、12、13 52+122=1327、24、25 72+242=2529、40、41 92+402=412 19，b、c 192+b2=c23在ABC 中，BAC=120，AB=AC= cm，一动点 P 从
7、B 向 C 以每秒 2cm 的速310度移动，问当 P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。4已知：如图，在ABC 中，AB=AC ，D 在 CB 的延长线上。求证：AD 2AB 2=BDCD若 D 在 CB 上，结论如何，试证明你的结论。课后反思：八、参考答案课堂练习1略；2A+ B=90；CD= AB；AC= AB；AC 2+BC2=AB2。2113B，钝角，锐角；4提示：因为 S 梯形 ABCD = SABE + SBCE + SEDA ，又因为 S 梯形 ACDG= （a+b） 2，1AD CBhttp:/ = SEDA = ab，S ABE = c2, （a+b） 2=2 ab c2。2
8、111课后练习1c= ；a= ；b=ab2b2ac2 ；则 b= ，c= ；当 a=19 时，b=180，c=181。12c135 秒或 10 秒。4提示：过 A 作 AEBC 于 E。181 勾股定理（二）一、教学目标1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的简单计算。2难点：勾股定理的灵活运用。三、例题的意图分析例 1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。例 2（补充）让学生注意所给
9、条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。五、例习题分析例 1（补充）在 RtABC，C=90已知 a=b=5,求 c。已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=17,b=8, 求 a。已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。http:/ b=15，A=30 ，求 a，c。分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间
10、的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）已知：如图，等边ABC 的边长是 6cm。求等边ABC 的高。 求 SABC 。分
11、析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高 CD，可将其置身于 RtADC 或 RtBDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD= AB=3cm，则此题可解。21六、课堂练习1填空题在 RtABC，C=90 ，a=8，b=15，则 c= 。在 RtABC，B=90 ，a=3，b=4，则 c= 。在 RtABC，C=90 ，c=10，a ：b=3 ：4，则 a= ，b= 。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，则第三边长为 。已知
12、等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 ，面积为 。2已知：如图，在ABC 中，C=60，AB= ，AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。 343已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。七、课后练习1填空题在 Rt ABC，C=90 ，如果 a=7，c=25，则 b= 。如果A=30，a=4，则 b= 。如果A=45，a=3，则 c= 。如果 c=10，a-b=2，则 b= 。如果 a、b、c 是连续整数，则 a+b+c= 。如果 b=8，a：c=3：5，则 c= 。D C B A AC BDB CDAhttp:/ ABCD 中，ADBC，ADDC ，
13、 ABAC，B=60，CD=1cm，求 BC 的长。课后反思：八、参考答案课堂练习117； ； 6，8； 6，8，10； 4 或 ； ， ； 73328； 348。课后练习124； 4 ； 3 ； 6； 12； 10； 2 23181 勾股定理（三）一、教学目标1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的应用。2难点：实际问题向数学问题的转化。三、例题的意图分析例 1（教材 P74 页探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。例 2（教材 P75 页探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理
14、，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。五、例习题分析例 1（教材 P74 页探究 1）分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中DA BCOABCDhttp:/ 2（教材 P75 页探究 2）分析：在AOB 中，已知 AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算 OB。 在COD 中，已知 CD=3，CO=2，利用勾股定理计算 OD
15、。则 BD=ODOB，通过计算可知 BDAC。进一步让学生探究 AC 和 BD 的关系，给 AC 不同的值，计算 BD。六、课堂练习1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米，则这两株树之间的垂直距离是3米，水平距离是 米。2 题图 3 题图 4 题图3如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。4如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到 B 地直接修建，已知高速公路一公里造价
16、为 300万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80 公里， BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？七、课后练习1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在江对岸取一点 A，使 AC 垂直江岸，测得 BC=50 米，B=60，则江面的宽度为 。2有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。3一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q两点，PQ=16 厘米，且 RPPQ，则 RQ= 厘米。4如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24米，B=C=30，E、F 分别为 BD、CD 中点，试求 B、 C
17、两点之间的距离，钢索 AB 和 AE 的长度。30A BCC ABACBRP QACB DE Fhttp:/ 1 米）课后反思：八、参考答案：课堂练习：1 ； 26， ；250 3318 米； 411600；课后练习1 米； 2 ；50320； 483 米，48 米，32 米；181 勾股定理（四）一、教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。三、例题的意图分析例 1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识
18、点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30或 45特殊角的特殊性质等。例 2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。例 3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件http:/ 4（教材 P76 页探究 3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与
19、实数一一对应的理论。四、课堂引入复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。五、例习题分析例 1（补充）1已知：在 RtABC 中，C=90，CDBC 于 D，A=60，CD=，3求线段 AB 的长。分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特殊角的特殊性质等。要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由 AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和
20、特殊角，求出 BD=3 和 AD=1。或欲求 AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 AC=2 和 BC=6。2BCA例 2（补充）已知：如图，ABC 中，AC=4 ，B=45 ，A=60 ，根据题设可知什么？分析：由于本题中的ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75。在学生充分思考和讨论后，发现添置 AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB ，BC 及 SABC 。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？解略。例 3（补充）已知：如图，B=D=90，
21、A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。解：延长 AD、BC 交于 E。A= 60，B=90，E=30。AE=2AB=8， CE=2CD=4，BE 2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。483CA BDAB C D EB ACDhttp:/ 2= CE2-CD2=42-22=12， DE= = 。123S 四边形 ABCD=SABE -SCD
22、E = ABBE- CDDE= 6小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。例 4（教材 P76 页探究 3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。变式训练：在数轴上画出表示 的点。2,1六、课堂练习1ABC 中，AB=AC=25cm，高 AD=20cm,则 BC= ，S ABC = 。2ABC 中，若A=2 B=3C，AC= cm，则A= 度，B= 32度,C= 度，BC= ，S ABC = 。3ABC 中，C=90，AB=4，BC= ，CDAB 于 D，则 AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,SABC = 。4已知：如图，ABC 中，AB=26 ，BC=25，AC=17，求 SABC 。七、课后练习1在 RtABC 中，C=90，CDBC 于 D，A=60，CD= ，AB= 。32在 RtABC 中，C=90，S ABC =30，c=13，且 ab，则 a= ，b= 。3已知：如图，在ABC 中，B=30，C=45，AC= ，求（1）AB 的长；（2）S ABC 。4在数轴上画出表示 的点。52,课后反思：八、参考答案：AB CAB C
