1、5.4奈奎斯特稳定判据,系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征根都具有负实部，即位于s左半平面。在时域分析中判断系统的特征方程根是否都具有负实部，一种方法是求出特征方程的全部根，另一种方法就是使用劳思-赫尔维茨稳定判据（代数判据）。然而，这两种方法都有不足之处，对于高阶系统，非常困难且费时,也不便于研究系统参数、结构对稳定性的影响。特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性，还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。,除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈奎斯特
2、（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有 1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根； 2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法，又称几何判据。Nyquist判据的主要理论依据是复变函数理论中的Cauch(柯西)幅角定理。,5.4.1、奈奎斯特稳定判据,一、奈奎斯特稳定性判据0型系统奈奎斯特稳定性判据可叙述如下:系统的开环右极点个数为P,在G(s)H(s)平面上，当从-变化到+时，
3、系统开环频率特性曲线G(j)H(j)及其镜像，顺时针包围(-1，j0)点的次数为N圈(N0)（若逆时针包围则N0，封闭曲线绕(-1，j0)点旋转360即包围一次），则系统的闭环右极点的个数为Z，且满足：Z = N + P当Z=0时，系统稳定；Z0时，系统不稳定。 说明系统开环稳定，闭环不一定稳定；开环不稳定，闭环不一定不稳定。若系统为最小相位系统，即开环系统稳定时（P = 0），系统稳定的充分必要条件为：当从-变化到+时，在G(s)H(s)平面上的系统开环频率特性曲线及其镜像，不包围(-1，j0)点，即N=0，则Z = N + P = 0，闭环系统稳定；否则不稳定。当系统开环频率特性曲线及其镜
4、像通过(-1，j0)点时，表明在s平面虚轴上有闭环极点,系统处于临界稳定状态，属于不稳定。,例5-3 一个闭环系统如图所示。其开环传递函数为G(s)=K/(Ts-1),K1这是一个不稳定的惯性环节,开环特征方程式在右半s平面有一个根,P=1。闭环传递函数为 (s)=K/(Ts+K-1)由于K1,闭环特征方程式的根在左半s平面,所以利用代数方法可以判断闭环是稳定的。,系统开环幅频特性为,开环相频特性为 ()=-(180- arctanT)= -180+arctanT 据此可以判断开环奈氏曲线起点为(-K, j0)点,随的增加, A()逐渐减小至0,而()逐渐增加至-90,绘制出系统开环频率特性G
5、(j)的轨迹，并作出镜像曲线连接成封闭曲线，见图5-48b。,可以看出,当由-变到+时, G(j)矢量逆时针围绕(-1,j0)点转一圈,即N=-1。由于Z = N + P = 0，,故由奈氏稳定判据知闭环系统是稳定的。另外，可知K1时N=0，Z = N + P = 1，闭环系统不稳定；K=1时，G(j)轨迹过(-1,j0)点，为临界稳定。奈氏判据与代数判据结论相同.,对于本例所示的非最小相位系统而言,开环传递系数K大,系统稳定,而K过小,闭环系统反而不稳定,与最小相位系统有很大的区别.,5.4.2简化奈奎斯特稳定判据,若系统的开环奈氏曲线比较复杂，则对(-1,j0)点的包围次数也比较难以直观判
6、断。为方便稳定性的判别，可如下将奈奎斯特稳定判据的应用方法简化，而判别结果完全相同。 1. 只绘制由0变到+ 时的开环幅相频率特性G(j) 因为（0，+）与（-，0）的曲线完全关于实轴对称，则0变到+ 时的开环幅相频率特性G(j)顺时针包围(-1,j0)点的圈数N满足N= N/2 N是当从-变化到+时，系统开环频率特性曲线及其镜像G(j)顺时针包围(-1,j0)点的圈数。因此，简化奈奎斯特稳定判据可改为Z = N + P=2 N+P,2.采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算由0变到+ 时开环频率特性曲线要形成对(-1,j0)点的一次包围，势必穿越（-，-1）区间一次。开环频率特性曲线逆时针
7、穿越（-，-1）区间时，随增加，频率特性的相角值增大，称为一次正穿越N+。反之，开环频率特性曲线顺时针穿越（-，-1）区间时，随增加，频率特性的相角值减小，则称为一次负穿越N-。,频率特性曲线包围(-1,j0)点的情况，就可以利用频率特性曲线在负实轴（-，-1）区间的正、负穿越来表达。,由0变到+ 时的开环幅相频率特性G(j)对(-1,j0)点的总包围次数为N = （N- - N+） 式中，N-代表负穿越次数，N+代表正穿越次数， 利用正、负穿越情况的奈奎斯特稳定判据叙述为： Z = 2（N- N+）+ P,注意到只有奈氏曲线在(-1,j0)点以左负实轴上相位有变化才称为有一次穿越，而在(-1
8、,j0)点以右负实轴上相位有变化不算穿越。,3.半次穿越奈氏曲线始于或止于(-1,j0)点以左负实轴，称为一个半次穿越，如图5-53所示。 例5-4 某系统开环传递函数如下，试判断闭环系统的稳定性。,根据系统的开环传递函数，并考虑到系统为0型系统，可知图5-53所绘曲线即为该系统的开环奈氏曲线。由于曲线始于（-3，j0）点，故顺时针包围（-1，j0）点的次数为1/2，N-=1/2。由于开环右极点数为P=0，故 Z = 2N-+ P=1 闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。,例5-5 经实验测得某最小相位系统的开环奈氏图如图所示，判断闭环稳定性。,由于为最小相位系统，开环右极点数P=0，且为0型系
9、统，故直接利用开环频率特性G(j)的轨迹判断稳定性。 由图可以看出,当由0变到+时, G(j)矢量在(-1,j0)点以左负实轴上正负穿越次数各一次。 N= N- - N+=1-1=0 Z = 2（ N- - N+ ）+ P=0,故由奈氏稳定判据知该闭环系统是稳定的。,4.型别v1系统开环频率特性G(j)曲线的处理在=0附近,幅相特性以为半径,逆时针补画= v90的圆弧，添加圆弧后相当于得到新的开环频率特性G(j)曲线。此圆弧与实轴或虚轴的交点相当于新的起点，对应=0，原有曲线的起点对应于=0+。注意所指曲线仍为由0变到+时的开环幅相频率特性G(j)。当系统的开环奈氏曲线作如上处理后，代入简化奈
10、氏稳定判据即可。Z = 2N + P= 2（N- N+）+ P,例5-6判断图示型系统的闭环稳定性,由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定性，而串联比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要选择合适的参数。,Z = 2N + P= 2（N- N+）+ P,例5-7判断图示系统的闭环稳定性,Z = 2（N- N+）+ P,b图所示系统为一型二阶系统，该系统为非最小相位系统，P=1，相频特性为 ()=-90-（180-arctanT）=-270+ arctanT 故该系统奈氏曲线的起点位于平行于正虚轴的无穷远处，并沿着负实轴（-180）终止于坐标原点。 在=0附近,曲线以为半径,
11、逆时针补画= 190=90的圆弧与负实轴相交。由0变到+ 时，G(j)始于（-1，j0）点以左实轴上，有半次穿越，即顺时针包围（-1，j0）点半次，有N-=1/2。则Z = 2N-+ P=2，闭环系统有两个右极点，系统不稳定。,5.4.3奈奎斯特稳定判据在波德图上的应用,由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来进行系统稳定性判别就更适用。它实际上是Nyquist判据在波德图上的应用。该判据不但可以回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参数对系统稳定性的影响。,一、奈氏图与波德图的对应关系1.开环系统幅相频率特性
12、与对数频率特性之间存在如下对应关系:在G(j)平面上, |G(j)|=1的单位圆,对应于对数幅频特性的0分贝线; 单位圆外部如 (-,-1)区段，对应L（）0dB，单位圆内部对应L（）0dB。2.从对数相频特性来看, G(j)平面上的负实轴,对应于对数相频特性上的()=-180。3. (-1,j0)点的向量表达式为1-180，对应于波德图上穿过0分贝线，并同时穿过()=-180的点。,二、穿越在波德图上的含义 1.穿越：在L（）0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180；在L（）0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180不是穿越。 2.正穿越N+：产生正的相位移，这时，相频特性应由下部向上
13、穿越-180线。 3.负穿越N-：产生负的相位移,这时,相频特性应由上部向下穿越-180线 。,正、负穿越的定义和前面的定义实际上是一致的。,三、对数幅频特性曲线的奈氏判据根据上述对应关系，结合使用正、负穿越情况的稳定判据，在伯德图上使用奈奎斯特稳定判据时，就是在L（）0dB的频率范围内，根据相频曲线穿越-180的相位线的次数对系统稳定性做出判定。可将对数频率特性判断闭环系统稳定性的奈氏稳定判据表述如下: 设开环传递函数在右半S平面上的极点数为P，则L（）0dB的频率范围内，当频率增加时对数相频特性曲线对-180的相位线的正、负穿越次数为N+与N- ，闭环右极点个数为Z = 2（N- - N+
14、） + P,例5-8 设系统的开环传递函数如下，系统开环对数频率特性曲线如图所示，试判别闭环系统的稳定性。,解：由系统开环传递函数可知，开环系统是稳定的，即P=0，在L（）0dB的频率范围内，相频特性曲线()不穿越-180的相位线，即正、负穿越次数差为0，由Z = 2（N- - N+） + P可知，Z=0，故闭环系统稳定。,对于型别v1（v为系统开环传递函数在原点处的极点数）的系统，应将Bode图对数相频特性在0处附加一段自上而下的、变化范围为-v90的曲线与相频特性曲线在0处相连。相频特性经过处理后，再使用上述稳定性判据。,相频特性曲线经处理后，可见N- =1 ，则有 Z = 2（N- -
15、N+） + P =2 闭环系统有两个右极点，为结构不稳定系统。图示系统如果不添加相应曲线，则会得出闭环系统稳定的错误结论。,5.4.4奈奎斯特稳定判据的其他应用,一、条件稳定系统 有的系统，降低放大系数后甚至会造成不稳定。开环放大系数下降到一定程度时,系统由稳定变为不稳定的系统。系统对某些K值是稳定的，而当K增大或减小到另一范围时，系统又变得不稳定，这样的系统称为条件稳定系统。只有在某些K值范围内，正负穿越次数之差为0时，闭环系统才稳定。,如图所示，系统为最小相位系统，为保证系统稳定，K 的取值必须保证(-l, j0)点在AB范围内或者在C点以左。,条件稳定系统,二、多回路系统稳定性分析理论上
16、所有具有单输入单输出的多回路反馈系统，都可以化简为单回路系统分析稳定性。但直接确定多回路系统的开环零极点较为复杂，因此多回路系统需要多次应用奈氏判据去确定整个闭环系统的稳定性。首先判断局部反馈（内环）的稳定性，找出内环的闭环右极点个数。对于整个闭环系统而言，内环的闭环右极点实际上是开环右极点；确定了整个闭环系统的开环右极点个数后，求出整个系统的开环传递函数，再利用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。,三、奈氏判据应用于延迟系统滞后系统的开环传递函数包含延迟环节e-s，其闭环特征方程为超越方程，不能用劳斯判据判断闭环稳定性。而利用奈氏判据不仅可以直接判断延迟系统的稳定性，还可以确定系统的临界稳定参数。
17、 延迟系统的开环传递函数可看作延迟环节与最小相位系统的串联G（s）H（s）= Go（s）Ho（s）e-s,可绘制出此系统的开环奈氏图如图所示，e-s的作用是将Go（j）Ho（j）曲线上的每一点顺时针方向旋转角度，奈氏图向左上方移动。,其开环奈氏图呈螺旋状终于坐标原点，与负实轴有无穷多个交点，且均为顺时针方向。当G(j)曲线与负实轴的交点都在（0，-1）实轴段，闭环系统稳定；G(j)曲线与负实轴的交点刚好通过（-1，j0）点，闭环系统临界稳定；若G(j)曲线在（-，-1）实轴段与负实轴有交点m个，则Z = 2（N- - N+）+ P=2m，闭环系统不稳定。可以证明，=0（s）时，该系统奈氏曲线与负实轴的第一个交点在（-1，j0）点以右负实轴上，闭环稳定，且随值的增加，曲线与负实轴的第一个交点就逐渐靠近（-1，j0）点；=2（s）时，奈氏曲线与负实轴的第一个交点正好是（-1，j0）点，闭环临界稳定；2（s）时，奈氏曲线顺时针包围（-1，j0）点次数大于0，闭环不稳定。,延迟环节串接在前向、反馈通道对系统稳定性的影响是相同的。实际系统不可避免地存在延迟环节，应尽可能地减小延迟时间，提高稳定性。,
