1、1,第五章 频率特性分析法5-1 频率特性及其数学描述5-2 频率特性的几何表示（图示法）5-3 典型环节及频率特性曲线的绘制5-4 开环频率特性的绘制5-5 频率域稳定判据 5-6 稳定裕度 5-7 闭环系统频率特性及频域性能指标,2,5-1-1 定义,输出幅值Y 和相位差 是输入正弦信号频率的函数 。 当：0，输出稳态分量ys与输入x的复数比:,ys(t)与输入x(t)的幅值比 ,称为幅频特性(振幅之比);,ys(t)与输入x(t)的相位差 ,称为相频特性(相位之差)。,称为频率特性。,旋转矢量表示,5-1 频率特性及其数学描述,3,例5-1 RC网络如图，当 ，求输出响应。,解：,4,4
2、) 在传递函数中，令 ，则有：,可见，1) 线性定常系统的频率响应是与输入同频率的正弦信号；2) 频率响应的幅值和相移均是输入信号频率的函数；3) 幅频特性：,相频特性：,注：复数的表示形式,5,线性定常系统,对线性定常系统有：,对线性定常系统，有如下关系：,5-1-2 频率特性、微分方程、传递函数之间的关系,证明方法：,1)正弦信号的L变化； 2)系统的稳态响应； 3)频率特性的定义。,6,在正弦作用下：,稳态分量,暂态分量,同理：,G(j)与G(-j)模值相同，相角相反：,证明：设,7,于是：,可见，ys(t) 也是与 x(t) 同频率的正弦信号,振幅 Y = XA(),(初)相位,即与输
3、入信号的相位差,8,例如,幅频：,相频：,应注意的问题 1 频率特性是一种数学模型，是传递函数的一种特殊形式；令：s=j,即可由传递函数得到频率特性； 2 频率特性是从正弦的稳态响应求出的，但表示的是系统的动态特性。 3 频率特性是指：0时的频率响应，在某一下的频率响应不能表示系统的动态特性。 4 从稳态响应测频率特性，给实验获取频率特性提供了方便，但不稳定系统频率特性是观察不到的。,9,相频特性,幅频特性,实频特性,虚频特性,1）指数式：,2）幅值、幅角：,3）代数式：,4）三角式：,5-1-3 频率特性的数学表示法,对数幅频特性,对数相频特性,幅相特性,对数 频率 特性,10,1 极坐标图
4、：,5-2-1 幅相频率特性曲线（极坐标图）,从0， 的端点在极坐标上的轨迹,幅相图可绘制在极坐标纸上，也可绘制在直角坐标纸上。,2 绘制方法,对应 ，求出 ，绘点。,2) 直角坐标纸：,即以为参变量的 与 的关系图。,1) 极坐标纸：,求对应的,3) 由零、极点分布图绘制,5-2 频率特性的几何表示（图示法）,11,例5-2 绘制极坐标图,解：1 在极坐标纸上,2 在直角坐标纸上,12,3 由零、极点分布图绘制,1)在s上标出开环零极点；,2)令s =j,即 s 沿虚轴变化：,0,13,1 对数坐标图（Bode图）,以为变量的频率特性图,对数幅频特性,对数相频特性,横轴以的对数分度 纵轴是线
5、性分度,5-2-2 对数坐标图（Bode 图）,14,注意：,1)=0 时 lg=-，所以=0 不能标在有限的坐标系内；,2)坐标轴交点处,L= 0db 任意, = 00 任意,3)为作图方便，应熟记： lg2=0.3lg4=lg22=0.6lg5=0.7lg8=lg23=0.9 4)做作业时，建议比例3cm十倍频 1cm20dB 1cm900或按比例缩放。,15,2）求对数幅频特性及对数相频特性,2 绘制Bode图的一般步骤,3 特点1）容易绘制（用折线代替曲线，复杂系统可分解为典型环节的叠加）；2）频率范围宽，并可根据需要选频段；3）可明确表示零、极点的影响。,1）将 写成指数式（幅值、幅
6、角形式）：,3）以为变量，在半对数坐标纸上绘制：,对数幅频特性图：,对数相频特性图：,纵轴 20lg|G(j)|=L(),横轴 （对数坐标）,横轴 （对数坐标）,纵轴,16,例5-3 绘制Bode图。,解：,高频段,低频段,转折频率,17,1/T,18,1 对数幅相图,例5-4 绘制对数幅相图,注：一般利用Bode图绘制,2 特点,1）用于确定闭环稳定性 2）较方便的解决了系统校正问题,5-2-3 对数幅相图（尼科尔斯图）,19,5-3-1 典型环节 1 最小相位典型环节,1) 比例环节,G(s)=K,2) 惯性环节,3) 振荡环节,4) 一阶微分环节,5) 二阶微分环节,6) 积分环节,7)
7、 微分环节,5-3 典型环节及频率特性曲线的绘制,20,2 非最小相位环节,1) 比例环节,2) 一阶惯性环节,6) 纯滞后环节,5) 二阶微分,G(s)=K (K0),(T0),3) 振荡环节,4) 一阶微分,(T0),21,1 比例环节,即G(j)的A()和()均为常值。,G(s)=K G(j)=K,5-3-2 最小相位典型环节的频率特性,特点：无相位滞后。,22,-20db/dec,对数幅频特性：=1穿过0dB的-20dB/dec的直线； 对数相频特性：滞后900，与无关。,2 积分环节,23,3 纯微分环节,积分环节与微分环节比较：,-20db/dec,20db/dec,24,渐近对数
8、幅频特性,1/T,T变化，曲线平移,低频段：,高频段：,转折频率：,-20db/dec,4 一阶惯性环节,-450/dec,25,U() 1，V()随的增加而增加，最大超前相角为900。 一阶惯性环节与一阶微分环节比较： 1）传递函数互为倒数； 2）幅相图：,1/T,3）Bode图：,20db/dec,-20db/dec,5 一阶微分环节,26, P,6 振荡环节,27,1）幅相图,令 ，则有,即无论取何值，当u=1(=n)时，幅相曲线与负虚轴相交， 交点坐标：,.,28,对数幅频特性,对数相频特性,2） Bode图,（-40db/dec）,当 时转折点交接频率,一般并不是最大误差点,（低频段
9、）,（高频段）,29,n,-40db/dec,00.707，存在Mr, 0.707，不存在Mr,()曲线越陡，,工程上，常用折线加修正绘制Bode图,A()对求导得：,转折点,r谐振频率,A()取极大值,Mr谐振峰值，,与有关， Mr,0，曲线折线,30,二阶振荡环节的倒数,1）绘制幅相图,7 二阶微分环节,31,2）对数频率特性图,n,40db/dec,对数幅频特性：与二阶振荡环节的bode图关于0db线对称； 对数相频特性：与二阶振荡环节的bode图关于00线对称。,-40db/dec,与二阶振荡环节一样，当00.707，存在谐振。,32,特点：与最小相位典型环节中的某参数反号,-K,1
10、比例环节 G(s)=-K (K0),G(j)=-K,5-3-3 非最小相位环节的频率特性曲线,33,与一阶滞后环节的对数幅频相同，相频相反。,1/T,-20db/dec,思考题： 绘制 频率特性曲线。,2 惯性环节 (T0),34,3 一阶微分 (T0),由上述曲线可知，最小相位与非最小相位的频率特性有如下关系： 对数幅频特性（L()）相同； 相频特性相反,在对数相频特性图上，关于0度线对称；,1/T,20db/dec,幅相图对称于实轴。,适用于二阶振荡环节、二阶微分环节,35,-40db/dec,.,n,4 振荡环节,36,n,40db/dec,5 二阶微分,37,可见，增加纯滞后环节，幅频
11、特性不变，相频特性随频率增加， 影响增大(相角滞后加大)。,（弧度）,6 纯滞后环节,38,开环幅相曲线的绘制,3) 曲线变化范围：,5-4-1 开环幅相曲线的绘制,由表达式取点，计算，描点。,概略曲线,工程方法。,精确曲线,概略幅相曲线的三要素：,1）起点：,终点：,2) 与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率x；,象限，单调性。,5-4 开环频率特性的绘制,39, 对应的,1 起点,2 终点, 对应的,40,3 与实轴的交点,4 曲线变化范围（象限及单调性）,穿越频率,当 G(j)H(j) 包含非最小相位环节或 一阶、二阶微分环节时，幅相曲线上会 有凹凸点，即相角不会单调减少。,41,1）
12、起点：,起点处渐近线:,2）终点：,3）变化范围：积分环节: -900-900两个一阶环节:00 -1800,4）与实轴的交点：,根据两角和的正切公式:,求A(x )：,象限象限,例5-5 绘制开环系统的幅相图,42,概略幅相曲线。,解：惯性环节角度变化为,象限,1）,象限,2）,象限,3）,象限,4）,例5-6 绘制,43,解：,起点：,终点：,与实轴的交点：,令虚部为零，得：,变化范围：、象限,变化范围：即象限或、象限。,例5-7 绘制概略幅相曲线。,与实轴无交点,44,解：,例5-8 绘制 的概略幅相曲线。,起点：,终点：,与实轴的交点：,令虚部为零，得：,变化范围：,单调变化，即、象限
13、。,45,即总的 曲线等于各典型环节的叠加。,1) 分解,2 步骤,1 思路：,将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联,比例 积分、微分 一阶惯性、一阶微分 二阶振荡、二阶微分,2)求各环节转折频率，并从小到大排列：最小的转折频率min和最大的max。,5-4-2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制,46,3) 低频段,位置确定： (三种方法), 取,由K和积分环节决定.,min：, 在min上任取0，计算,按转折频率对应的环节绘制,5) 必要时作修正.,47,解:1),2) 转折频率 1，2，20；K=10,3)低频段：,4) 时,例5-10 绘制对数频率特性图(渐近特性曲线)。,
14、48,5）作图 范围：,-40db/dec,-60db/dec,-40db/dec,-80db/dec,-450/dec,-900/dec,-450/dec,-900/dec,6）校正,49,2）转折频率： ,10,30,解: 1）,3）低频段：,1.414,=1时：,4）=1.41430,例5-11 绘制 的对数幅频渐近特性曲线。,横坐标范围：=0.11000,50,6）修正：,1.414,30,-20db/dec,-60db/dec,-80db/dec,-60db/dec,-900/dec,-1350/dec,-900/dec,450/dec,5）作图 1.41430范围：,51,1 幅频
15、特性相频特性,即由幅频特性相频特性、传递函数,2 最小相位系统是稳定的，因此可用实验方法获得其频率特性。,例5-12 已知某最小相位系统近似幅频曲线，求G(s) ，并绘制相频曲线。,最小相位系统的特点：,52,解:1)由低频段确定比例环节和积分或微分的个数:20dB/dec一个微分环节2)确定传递函数结构形式：1处：-20dB/dec一阶惯性环节2处：-40dB/dec二阶振荡环节,例5-13 实验方法测得某对象的频率特性曲线(该对象为 最小相位环节)，试确定该环节的传递函数。,待定参数：,53,低频段：,，有直线方程：,由图知：,3)确定参数,54,，有直线方程：,取,又,55,5-5-1
16、辅助函数及围线映射原理构造辅助函数,利用围线映射原理，将s域内“用闭环极点 分布判断系统稳定性” 转换为在频域内“用开环频率特性曲线 判断系统稳定性” 。 1 辅助函数 F(s) (1) 定义：,(2)辅助函数的特点1) F(s)零点是闭环极点， F(s)极点是开环极点；2) F(s)的零、极点个数相同；3) F(s)与G(s)H(s)只差常数1，,5-5 频率域稳定判据,即F的原点是GH的(-1,j0)点。,56,当,F(s1)称为s1在F(s) 上的映射。,设s为复变量，F(s)为s的有理分式函数：,s沿s (s不穿过F(s)的零极点) 连续变化一圈时，,F(s)在F(s)上也形成一条封闭
17、曲线F.,3 幅角原理,s顺时针包围零点zi一圈，,设：,F 顺时针包围F(s)原点一圈,s顺时针包围极点pk一圈，,F 反时针包围原点一圈。,2 复平面围线映射概念,57,如果s上s(不穿过F(s)的零、极点)包围F(s)的Z个零点 和P个极点，s在F(s)上的映射为封闭曲线F,F包围原点 的圈数R，即在GH上的映射GH包围(-1,j0)点的圈数R为,R = P - Z,R0逆时针；,R0顺时针；,R=0不包围。,（闭环极点）,（开环极点）,可见，如果s包围s整个右半平面，则F在F(s)上也是一 封闭曲线，且s包围F(s)零、极点的个数决定F在F(s)包 围原点的方向和次数,即决定GH在GH
18、上包围(-1,j0)的方向 和次数。将系统稳定的充要条件转换到频域。,幅角原理：,58,1 G(s)H(s)在原点及虚轴无极点(不包含积分及等幅振荡环节）,1) Nyquist 围线（轨线）：,N包围整个右半平面,2)N数学描述：,3)N 的映射GH,负频特性,一点,结论:N 在GH上的映射GH为:-+时的开环幅相曲线，,5-5-2 奈氏稳定判据,称为Nyquist曲线。,59,1 系统稳定的充要条件：- +的开环幅相曲线在GH上逆时针包围（-1,j0）圈数R等于开环不稳定极点个数P。,2 当系统不稳定时，右半平面特征根数 Z=P-R。,解：绘出系统开环的Nyquist图：, -2,开环不稳定
19、极点数：P=1， 曲线绕（-1,j0）点逆转1圈，即R=1 Z=P-R=0，故系统稳定。,验证：特征方程 s-1+2=0 s=-1,即：Z=0,4）Nyquist判据,60,(b),=0-,=-,例5-16 已知开环幅相曲线，试绘制Nyquist图,并计算R。,61,1) Nyquist 围线（轨线）,在原点处有极点N绕过原点，包围整个右半平面。,2)N 数学描述,3)GH 绘制,当：,模,幅角,2 G(s)H(s) 包含积分环节,即当从0-0+时，GH半径为，顺时针转1800的圆弧。,62,试判断系统稳定性。,0+,+,解：由GH 知：,系统不稳定，右半平面根个数：Z=2。,起点,终点,G(
20、j)H(j)与实轴无交点,0-,例5-17,？,63,(b),(a), R=-2;,(c),(d),R=-3, R=0;, R=-2,0+,0-,0+,0-,0+,0-,0+,0-,例5-18 已知系统开环幅相曲线,绘制Nyquist图,并计算R。,64,定义：GH(j)包围(-1,j0)点圈数R等于GH (:00+ )时， 在(-1,j0)点左侧穿过负实轴的次数,系统稳定 Z=P-R=0,图a：N+=0，N-=1，,R=-2,：N+=0，N-=0，,R=0,图b：N+=0，N-=1，,R=-2,：N+=0，N-=0，,R=0,图c：N+=0，N-=1,R=-2,：N+=1，N-=1，,图d：
21、,：N+=1，N-=2，,R=-2,R=-3,即R= 2(N+- N-), =0,3 Nyquist判据的另一种形式,N+=0，N-=1.5，,R=0,65,解:方法1 绘制完整的Nyquist曲线,方法2 利用正负穿越：=0点位于负实轴，负穿越 0.5 次，,R=2(N+- N-)=-1,Z=P-R=1-(-1)=2,系统不稳定。,=0+,=+,=0-,=-,GH(j)顺时针旋转1800,R=-1 (顺时针包围(-1, j0)一次) Z=P-R=2,1）绘制GH的负频幅相曲线,2）绘制完整的Nyquist曲线,系统不稳定。,例20 已知某系统开环幅相曲线，=1,P=1,判断稳定性。,0时GH
22、(j0)点的位置：从GH(j0+)半径，逆时针900,66,解：,在GH上为顺时针内螺旋线,只有R=0系统才稳定，即,解得：,试用奈氏判据确定闭环稳定的的范围。,例5-22 已知延迟系统开环传递函数,当 时，系统处于临介稳定状态。,67,解：,G(j)在(-1,j0)左侧与负实轴有两个交点，,K=10 时：,N-=1，N+=1，R=P=0,故系统稳定。,确定K的稳定范围,N-,N+,由题知穿越频率：1 、2、3,例5-23 已知开环幅相曲线如图,判断闭环的稳定性。,68, Nyquist稳定判据在Bode图上的推广,1 Bode图,在GH上,在半对数坐标图上的转换,无积分环节：,有积分环节：,
23、有等幅振荡环节：,Bode图,+向上补做 的虚直线,+向上补做 的虚直线至,5-5-3 对数频率稳定判据,69,2 穿越点确定,穿过负实轴,3 穿越次数计算：N = N+ - N-正穿越1次：GH：从上向下 Bode图：L()0，()从下向上负穿越1次：GH：从下向上 Bode图：L()0，()从上向下正穿越半次： GH：从上向下止于负实轴或从负实轴向下Bode图： 从下向上止于(2k+1)线，或从(2k+1)线向上负穿越半次： GH： 从下向上止于负实轴，或从负实轴向上Bode图： 从上向下止于(2k+1)线，或从(2k+1)线向下注意：补做的虚直线所产生的穿越均为负穿越。,截止频率,4 判
24、据：,，且L()0时，Z=P-2N=0,系统稳定,70,解：,1次负穿越,半次负穿越,N-=1.5， N=N+-N-=-1.5 Z=P-2N=3,图中 时，,系统不稳定,低频段向上2700补做的虚直线,5 条件稳定系统与结构不稳定系统开环P=0时,其闭环稳定性与某参数有关,称为条件稳定系统；开环P=0,但其闭环总不稳定，称为结构不稳定系统。,例5-24 开环Bode图如下, 试确定系统的稳定性。,71,反映系统相对稳定性的概念,不稳定,5-6-1 定义,当 时,设:当 时，,临界稳定,稳定,1 截止频率与穿越频率,但的稳定程度高,5-6 稳定裕度, c, x,c=x, c,x , c,x ,7
25、2,相角裕度：,幅值裕度：,含义：对于闭环稳定的系统，开环的相频特性,含义：对于闭环稳定系统，如果开环幅频特性A()再增加h倍，系统就处于临界稳定状态，即如果L()再向上平移h(db)系统就处于临界稳定状态。, c,x ,再滞后 度，系统就处于临界稳定状态。,2 相角裕度与相位裕度,73,5-6-2 在开环频率特性图上的表示,1 幅相图, c,x ,2 Bode 图,可见，稳定的最小相位系统:,为了获得比较好的过渡过程，通常要求：,74,解：,例5-25已知系统开环传递函数 , 当K=4, 10 时, 求, h。,75,试求取K=5和K=20时的h 和。,例5-26 已知系统开环传递函数,解:
26、1)绘制K=1时的Bode图,0.01 0.1 1 10 100 1000,2)K=5时,向上平移20lg5,3)K=20时,向上移20lg20,4)由L()=0确定c,确定,5)由()=-1800 确定x,确定h,一般，KL ()上移c ，h，稳定性下降；K L ()下移c，h，相对稳定性，但K稳态误差增大。,76,5-7-1 确定闭环频率特性的图解法,工程上常由开环G(j)确定闭环(j),等M、等N圆,尼科尔斯图,计算机绘图,1 单位反馈系统的闭环频率特性,闭环频率特性：,设：,其中： M()：闭环幅频特性； ()：闭环相频特性。,5-7 闭环系统频率特性及频域性能指标,77,（1）等M、
27、等N圆,等M圆,等N圆,其中：,上述方程与G(s)的具体形式无关， 即适于任何单位反馈系统。,78,利用欧拉公式,1）等 线,取为某一常数，即20lgA的单值函数,改变 值等 线簇,在等 线中，等 线与等 - 线关于 =-1800对称。,则在20lgA 上得到一条 线等 线。,令,（2）尼科尔斯(Nichols)图,79,2) 等M线,化简得,取M为某一常数，令 上的一条等M线。,等M线关于 线对称,当,当,Nichols图的坐标范围：纵 -30dB30dB横 -36000,80,81,（3）尼科尔斯图应用,例5-28 已知开环传递函数及Bode图，试利用尼科尔斯图绘制闭环对数幅相图。,解：1
28、）根据Bode图，在尼科尔斯图上绘制开环对数幅相曲线,21.3 15 11.5 6.3 2.5 -0.3 -1 -2.5 -5.2 -9.2 -14.5,-99 -106.5 -114.5 -130 -144.5 -153.5 -156.3 -162 -170 -183 -198,1 2 3 5 7 8.5 9 10 11.7 15 20,82,83,0.1 0.3 0.67 2.2 4.8 6.5 6.9 6 1.5 -5.5 -12.8,-4 -10 -14 -28 -49 -82 -95 -124 -158 -184 -209.5,1.01 1.035 1.08 1.29 1.74 2.
29、11 2.21 2 1.19 0.53 0.23,2）由开环对数幅相曲线查出20lgM及 ：,3）绘制闭环对数频率特性曲线,84,按单位反馈绘制，再与1/H(s)迭加即可。,2 非单位反馈系统闭环频率特性,85,M (0),1 零频值：,在单位反馈情况下：,（有积分环节）,（无积分环节）,2 谐振频率r,3 相对谐振峰值：,4 带宽频率b：闭环幅频特性 下降到 3dB,5-7-2 闭环系统频域指标,当=b时,也称系统带宽：,以下，对应的频率称为带宽频率。,86,1）一阶系统：,2）二阶系统：,结论：一阶系统b与T成反比，即单位阶跃响应速度与b成正比；二阶系统b与n成正比，但是的减函数，响应速度
30、与b成正比。,例5-29 求标准一阶系统、二阶系统的带宽频率b。,87,1 一阶系统时域指标与频率特性的定量关系,1)时域指标,2)开环频率特性,5)时域指标与频域指标的关系：,3)闭环频率特性,4)闭环频域指标,5-7-3 开环频域指标、闭环频域指标与时域指标,88,1)时域指标,只与有关,一定时，与n成反比,2 二阶系统时域指标与频率特性关系,89,2)开环频率特性,3, 2=n / 2, 2=n / 2,K=n/2；转折频率特性1=2n,1 2 =n / 2,1 2 = n / 2,即-40db/dec(或其延长线)与0db线的交点坐标就是n.,由图知,即在Bode图上，3位于1 ，2的
31、几何中点。,又由转折频率及低频段方程：,90,3）开环频域指标c、,可得,当一定时，与n成正比。,相稳定裕度只与有关，即：,设计时，常用：,由,书p213给出了 曲线,一般， 的范围：30700,91,4)闭环频率特性,5)闭环频域指标,92,6）频域指标与时域指标的关系, 定性关系,) 只与有关，决定了平稳性。,) 当一定时， 与n成正比，它们的提高对快速性有利。,上述定性关系也适于高阶系统。, 定量关系,当已知某类指标时，可由、n求另一类指标。,应注意，快速性与 , 也有关。,93,解：,查图, 得：,94,若,则它们的单位阶跃响应存在如下关系：,即带宽放宽几倍，单位阶跃响应就加快几倍。,4 高阶系统的估算公式由开环估计,2）,1） 当 较小时，精度较高,3）,3 频率尺度与时间尺度的反比性质,
