1、第五章频域分析法,教学目的,频域分析法是经典控制理论中针对控制系统频域模型的分析方法，讨论控制系统的频率特性，反映正弦信号作用下，系统响应的性能。,通过本章学习，使学生们掌握频率特性的基本概念，掌握控制系统的频域分析方法，频率特性曲线的绘制方法，控制系统频率稳定判据和频域指标的估算。,教学重点,1、振荡环节的频率特性曲线2、开环幅相曲线绘制3、开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念,教学内容,1、频率特性的概念2、典型环节频率特性3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据5、稳定裕度的概念
2、6、闭环系统的频域指标,教学要求,1、掌握频域分析的基本概念，分析方法2、绘制开环频率特性，重点是绘制开环对数频率特性3、频率稳定判据，重点是用对数频率特性图（Bode图）分析系统的稳定性。4、稳定裕度与系统稳定性能的关系5、闭环系统的频域指标,第五章 频率频域分析法,频率响应法是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法，与上一章介绍的根轨迹法一样，它也是一种工程方法。,能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应；还能判别某些环节或参数对系统性能的影响。,可以对基于机理模型的系统性能进行分析；还可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。,不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有
3、理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。,研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。,5-2频率特性,以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。,取拉氏变换，求网络的传递函数,如果输入为正弦量：,由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以为角频率的正弦量。,在传递函数G(s)中，只要令s=j，则可由式得到式。,第一节 频率特性,二 由实验方法求频率特性,系统的幅频特性：,系统的相频特性：,控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。,频率特性的概念,设系统结构如图，,由劳斯判据知系统稳定。,给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，
4、,Ar=1 =0.5,=1,=2,=2.5,=4,曲线如下:,给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入,同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。,频率特性定义：线性系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率关系的特性。由定义可知，只有系统在稳态时，才可能测出频率特性；对不稳定的系统，频率特性是观察不到的。由于G(s)是个复数，可分别求出其幅值和相角关系。,它们都是角频率的函数，分别称为幅频特性和相频特性。,极坐标图示法是频率特性法分析中常采用的一种图解法。,当输入信号的频率由0-变化时，向量G(j)的幅值和相位也随之作相应的变化，其（幅值和相位）端点在复平面上移动而形成的轨迹，称为极
5、坐标图，又称为G(j)的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。,分别画出幅频特性A()和相频特性()的曲线。 =0 A()=1 ()=0 = A()=0 ()=90 =1/T A()= 0.707 ()=45,频率特性,频率特性也称频率响应，它是指系统或部件对不同频率的正弦输入信号的稳态响应特性。,一 由传递函数求系统的频率响应,对应的幅值和相角：,同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。,若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。,频率特性的几何表示法,频率
6、特性的几何表示法有：1、幅频、相频特性曲线；2、幅相曲线；3、对数频率特性曲线（对数幅频、对数相频曲线）；4、对数幅相曲线（Nichols曲线)一、幅频、相频特性曲线，前已介绍过，即以角频率为变量，分别作出A()()曲线。,二、幅相曲线，以为参变量，将幅频、相频特性同时表示在复数平面上。实轴正方向为相角零度线。逆时针方向的角度为正角度；顺时针方向的角度为负角度。对于一个确定的值，必定有一个确定的幅值、相角与其对应。如： 0A()=1 ()=0= A()=0 ()=90,幅相曲线反映了从0 幅值和相角变化的情况。,习题1,解：传递函数零、极点的分布如图所示。,令s=j2,代入不同的频率值，重复上
7、述的计算，就可求得对应的一组|G(j)|和(j)值。,习 题1,幅度,相角,习题2,例试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线：,解：该开环系统由三个典型环节串联组成，它们的幅、相频率特性分别为：,因而开环系统的幅频特性，相频特性：,习题2,在MATLAB中，有专门的函数用于绘制开环系统的极坐标图：Nyquist。,g=tf(10,conv(1,1,0.1,1)Transfer function: 10-0.1 s2 + 1.1 s + 1nyquist(g),频率特性的另一种图示法：对数坐标图。它不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表明开环增益、时间常数等参数变化对系统性能的影响。,由对数幅频特
8、性图和相频图两部分组成。对数幅频特性图的纵坐标为20lg|G(j)|，单位是分贝，用符号dB表示，常用符号L()表示。相频图的纵坐标为()，单位是弧度或()。两张图的纵坐标均按线性分度，横坐标是角频率，常用lg分度，从而形成了半对数坐标系。,3.对数频率特性,频率特性的几何表示法,横坐标采用lg的对数坐标分度对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以分度的横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示。对数坐标图又称伯德图或Bode图。,与lg 的关系： 12345678910lg 0
9、0.30100.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541,对数坐标系,对数坐标图,对数频率特性曲线,对数频率特性曲线,对数幅频、相频特性曲线的优点：1、在有限的坐标区域内表示广阔的频率范围2、将幅值的乘除运算化为加减运算，如：,53典型环节和开环系统频率特性,典型环节：一个复杂的系统总可以分解成几个典型环节的组合。典型环节分为两大类：1、最小相位环节：系统开环零、极点在左半s平面2、非最小相位环节：系统在右半s平面存在零、极点,一、比例环节,幅相曲线是实轴上坐标k点，如右图,对数幅频、相频特性如右图：,二、积分环节,幅频特性与成反比，相频特性恒为90,对数幅频：L(
10、)=20lg 相频特性:()=90, =1L()=0 ； =10L()=20 =100L()=40 =0.1L()=20,每当增加十倍， L()减少20dB负20分贝/十倍频程20dB/ dec,如果传递函数中含有个积分环节，即 ，则它的对数幅频和相频表达式可分别写成,由此可知是一簇斜率为-20dB/dec的直线，且在=1处，L()=20lgK，如图所示。这些不同斜率的直线通过0dB直线的频率为 。,积分环节L(),-20,-20,-20,三、微分环节,幅频特性与成正比，相频特性恒为90,对数幅频：L()=20lg 相频特性:()=90, =1L()=0 ； =10L()=20 =100L()
11、=40 =0.1L()=20,微分环节是一条20dB/dec直线,+20,+20,+20,微分环节L(),四、惯性环节,可以证明，惯性环节的幅相曲线是以（0.5，j0)为圆心，0.5为半径的半圆。,分析幅相特性，当0时，幅值最大，|G(j )|=1，因此输入信号无衰减，Ue(j )=Ui (j )；当时，幅值最小， |G(j )|=0。,所以，惯性环节在低频范围内，信号容易通过，在高频范围内信号不容易通过。因此，它又称为“低通滤波器”，其最大滞后相角,对数幅频特性、相频特性：,精确画出L()曲线，是取从零到无穷时，计算出L()，但工程上常用简便方法作图，而不急于代入数字逐点计算。,先分析曲线的
12、大致趋向：1、当T1时，即： 1时，即 1/T，每当增加十倍时， L()减小20分贝相位为-90度。,所以，当频率很高时，对数幅频特性可用斜率为20dB/dec的直线近似表示。,3、当T 1，即： 1/T时，,综上所述，惯性环节的对数幅频特性右用二条直线近似表示，在01/T的低频范围内，L()是一条0分贝直线；在1/T 的高频范围内， L()是一条20dB/dec直线；两条直线交于 T1处， 1/T称为交接频率。,交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。,惯性环节G(j),() = -tg-10.5 ,0,1,-14.5,0.97,-26.6,0.89,-45,0.71,-63
13、.4-68.2 -76 -84,0.450.370.240.05,惯性环节L(),-20,-20,26dB,五、振荡环节,二阶系统当00时为 的无穷远处， k0时为 的无穷远处。 2）开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和。,极坐标图（简称幅相曲线）,开环对数频率特性曲线（简称伯德图 ）,因为开环系统传递函数可以看成由若干个典型环节串联组成。,所以，其对数幅频特性,相频特性,开环系统的伯德图,对数坐标图（伯德图）,比较开环系统的极坐标方法，用伯德图表示的频率特性有如下优点：,（1）把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。（2）在对系统作近似分析
14、时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简化了图形的绘制。（3）在采用实验方法时，可将测得系统（或环节）频率响应的数据画在半对数坐标纸上。,一般绘制开环系统伯德图的步骤如下：,（1）写出开环频率特性的表达式，将其写成典型环节相乘的形式。,（2）将所含各环节的转折频率由小到大依次排列。如果存在比例环节和积分环节，由于它们没有转折频率，可以排在最左边。,（3）绘制开环对数幅频曲线的渐近线。,a)确定低频段上积分环节和比例环节的渐近线，其低频段的斜率为-20dB/dec，其中为积分环节数。,b)在=1处，L()=20lgK。,c)沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的
15、斜率。,解：（1）系统的开环频率特性为,该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。,幅频特性,相频特性,（2）系统的交接频率分别为2和10。,（3）作出该系统对数幅频特性曲线的渐近线。,在低频段，由于1，因而渐近线的斜率为20dB/dec。在1处，其幅值为20lg10=20dB。当2时，由于惯性环节对信号幅值的衰减任用，使分段直线的斜率-20dB/dec变为-40dB/dec。同理，当10时，由于微分环节对信号幅值的提升作用，使分段直线的斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec。,（4）对幅频特性曲线进行修正。,（5）作系统相频特性曲线，可先求14，然后叠加。,例2：某系统的开环传递函
16、数,绘制近似对数幅频曲线，相频曲线。,解：该系统由三个典型环节组成，比例环节：7；积分环节：1/S；惯性环节：1/(0.087S+1),所以对数幅频特性：,对数相频特性：,分析对数幅频曲线：,是一条直线,是一条20dB/dec直线，在=1处穿越0dB线,交接频率：=1/T=1/0.087=11.5(rad/s),当11.5时，L3( )=0当11.5时， L3( )为20dB/dec直线,分别作出L1()、L2()、L3()，然后把三条曲线叠加起来。, 11.5时，惯性环节为0dB值，所以只有L1()和L2()相加。L () L1()L2()16.920lg ,当1时， L (1)16.9(d
17、B)，过(1，16.9)作一条 -20dB/dec直线，当11.5时， 再与L3()叠加，得到 -40dB/dec直线。,开环对数幅频曲线, L1(s)=7,由上述作图曲线，在开环对数频率特性近似作图时，可以以交按频率为界，将曲线分段为：,20dB/dec直线,40dB/dec直线,近似对数幅频曲线作图讨论：1.最左端直线的斜率为:20dB/dec，这一斜率完全由G(s)的积分环节数决定，型系统（一个积分环节）为20dB/dec 型系统（二个积分环节）为40dB/dec 型系统为20 dB/dec 提问：0型系统的最左端直线的斜率是多少？2.最左端（低频段）直线与零分贝线的交点处的频率数值上恰
18、好等于k，证明：,3.在1时，曲线的分贝值等于20lgk=20lg7，证明：,4.在惯性环节的交接频率=11.5rad/s处，曲线斜率从20dB/dec变化为40dB/dec。,由以上讨论，可以推出，画近似对数幅频特性曲线有如下特点：,1.对任意的开环传递函数，按典型环节分解成：,2.将各环节的交接频率标注在对数坐标图的横轴上,3.记min为最小交接频率， min的频率范围为低频段,4.低频段直线的斜率为20dB/dec， 是积分环节个数，,5.为确定低频段直线，可取1则低频段直线或其延长线(在0，表示曲线CF以逆时针方向包围坐标原点；当R和s沿无穷大半圆运动时，因为一般实际系统中的开环传递函
19、数G(s)H(s)的nm， 当s-有,或 常数 （n=m）（即当半径R -时，s取半圈圆弧值的时候，到任何极点的幅值距离都是，因为极点在分母上，所以映射到幅相曲线上幅值一直是0，即映射到F（s）平面上是一个点 ，所以奈氏轨线真正起作用的是虚轴 从- -+ ）,F(s)平面上的映射曲线CF是否包围坐标原点，只取决于奈氏轨线中C1部分的映射，即由轴的映射曲线来表征。,由于辅助函数F(s)1G(s)H(s)，与开环传递函数G(s)H(s)只差常数1。,j,j,0,1,0,1,+1,F(s),G(s)H(s),如果把F(s)平面中虚轴向右移动一个单位，就变成了G(s)H(s)平面的虚轴，于是把F(s)
20、平面转化成为G(s)H(s)平面。,F(s)平面的原点转化成为G(s)H(s)平面的(1，j0)点，称为临界点,那么CF曲线在F(s)平面上绕原点转过的圈数R，就转化成开环传递函数G(s)H(s)曲线在G(s)H(s)平面上绕临界点(1，j0)转过的圈数。,奈奎斯特稳定判据：,(1) 如果开环系统是稳定的，即P0，则闭环系统稳定的充要条件是G(j)H(j)曲线不包围（1，j0）点。,(2) 如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点在s的右半平面，则闭环系统稳定的充要条件是G(j)H(j)曲线按逆时针方向围绕（1，j0）点旋转P周。 R=P-Z即Z=P-R=P-2N如果 时， ,系统闭环不稳定。
21、(3)当半闭合曲线穿过（-1，j0）点时，表明存在s=j，使得G(j ) H(j )=-1,F(j )=0,分子为0，即系统闭环特征方程存在共轭纯虚根，则系统可能临界稳定。,围绕（1，j0）点旋转P周是在 取值为整个虚轴的前提下，当 取0 -+和- -0 时， G(j)H(j)曲线围绕（1，j0）点旋转的圈数是一样的（图形关于（1，j0）点对称 ），所以画幅相曲线时我们只取 从0 -+时的幅相曲线，则G(j)H(j)曲线围绕（1，j0）点旋转的圈数N为0.5R,即R=2N.我们在幅相曲线上得到的圈数应是N.,应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性的具体步骤为：,（1）作出开环系统的奈氏曲线G(j)H
22、(j)。,（2）计算奈氏曲线G(j)H(j)对点（1，j0）按逆时针方向的包围圈数N。,（3）确定开环系统是否稳定，若不稳定，则确定开环系统在右半s平面上的极点数P。,（4）根据辐角原理确定Z是否为零。 Z=P-R=P-2N 如果Z0，表示.闭环系统稳定；反之，Z0，表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面上的个数。,用奈奎斯特判据判断反馈系统稳定时，一般只绘制从0 时的开环幅相曲线，然后按其包围临界点圈数R（逆时针方向包围时R为正，顺时针方向包围时R为负）和开环传递函数在右半s平面上的极点数p，根据公式Z=PR=P-2N，确定闭环特征方程的正实部根的个数。如果Z等于
23、零，闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。,幅相曲线包围（1，j0）点，也可以根据从0时，幅相曲线自下向上或自上向下穿越实轴（ ，1）的次数决定。,定义：,正穿越：随增加，开环幅相曲线在( ，1)区间自上向下穿越负实轴为正穿越。记为N,半次正穿越：从实轴（轴上）区间( ，1)开始向下，称为半次正穿越。,类似地还有负穿越，半次负穿越N，则：N=N+N,3、对数频率稳定判据,对数频率稳定判据和奈奎斯特判据本质相同，只不过对数频率稳定判据是按对数幅频、相频曲线的相互关系来确定公式： Z=P2N中的N值。,先看看幅相曲线与对数幅频、相频曲线之间的对应关系：,设幅相曲线在=c时穿越临界点， c称为截止频率。
24、,在临界点,对应的对数幅频特性,在幅相曲线A()1处穿越负实轴，由于负实轴对应的相角是180，则对应于对数幅频特性在L()0时，对数相频特性穿越180线。,所以，正、负穿越数完全可以根据对数幅频曲线在大于0dB的频率范围内，对数相频曲线穿越180线的次数确定。,(1）GH平面上单位圆的圆周与对数坐标图上的0dB线相对应，单位圆的外部对应于L()0dB，单位圆的内部对应于L()0的地方，向上（相角增大）补作一条90的虚线。,如果开环系统包含等幅振荡环节，则需要从对数相频特性曲线 ( 0-)处向上补作一条180的虚线至 ( 0),对数频率稳定判据：一个反馈控制系统其闭环特征方程正实部根的个数z，可
25、以根据开环传递函数在右半s平面极点数p 和开环幅频特性为正值(L ()0)的所有频率范围内，对数相频曲线与180线的正、负穿越次数之差NN+N来确定。Z=P2N，当Z0时，闭环系统稳定，否则系统不稳定。,例：一反馈系统，其开环传递函数,用对数频率稳,定判据判断系统稳定性。,L(),解：作对数幅频和相频曲线，如图,由于G(s)H(s)有二个积分环节，所以在对数相频曲线很小处补画一条0-180的虚线作为对数相频曲线的一部分。如图,由对数相频特性：,由开环传递函数：,所以，在右半s平面无开环极点p=0,所以系统不稳定，且闭环系统特征方程在右半s平面有二个根。,55稳定裕度幅值裕度,当幅相曲线穿过(1
26、，j0)临界点时，闭环系统临界稳定，而幅相曲线相对于临界点的位置，反映了系统的相对稳定性。曲线离临界点越远，系统的相对稳定性就越好。,稳定裕度用二个指标衡量：相角裕度，幅值裕度h,对于开环稳定的系统，要求闭环系统G(j)H(j)有一定的稳定性，不仅要求幅频特性不包围（1，j0）点，而且应与该点有一定的距离，即有一定的稳定裕量。,稳定裕度,若z=p-2N中p=0,则G(j)过(-1,j0)点时，,系统临界稳定，见下图：,G(j)曲线过(-1,j0)点时，,同时成立！,特点：, G(j) = -180o,1、稳定裕度h的定义：在幅相曲线上，相角为180时对应的幅值的倒数。,幅值裕度h的含义：对于闭
27、环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统就处于临界稳定状态。,即：h|G(jx)H (jx)|=1时，曲线经过(1，j0)点。,如果开环曲线在(1，j0)之间多次穿越负实轴，那么应用最接近(1，j0) 点的那个穿越点计算幅值裕度|G(-1，j0)H(-1，j0)|。,55稳定裕度相角裕度,仅有幅值裕度h还不足以表示所有系统和稳定程度，如图，曲线A、B具有相同的幅值裕度，但曲线A代表的系统比曲线B代表的系统的稳定裕度要好，引入相角裕度能说明这一点。,相角裕度的含义：使系统达到临界稳定尚可增加的滞后相角。,相角裕度定义为：180加上开环幅相曲线幅值为1时的相角。 = 180+G(jc)H
28、 (jc) c：截止频率,相角裕度的确定，在幅相曲线图上作一个单位圆，幅相曲线与单位圆交点即为幅相曲线幅值为1的点，该交点与坐标原点连线与负实轴组成的角即为。,如果幅相曲线在第三象限内与单位圆相交多次，那么应用最接近负实轴的那个交点计算值。,由相角裕度的定义，当开环传递函数在右半s平面无极点p=0，若0系统稳定(说明幅相曲线不包围临界点)；若0则系统不稳定。为什么？,因为0，则系统不稳定。,4.相角曲线穿越180线时， L()0，则系统稳定，此时的对数值即为幅值裕度h的分贝值。,幅值裕度h，相角裕度在对数特性图上和幅相曲线图上分别表示如下图：,56闭环系统的频域指标,控制系统中最直接的性能指标
29、是时域指标。但频域分析法中涉及到的一些重要特征值，如开环频率特性中的相角裕度、幅值裕量；闭环频率特性中的谐振峰值、频带宽度和谐振频率等与控制系统的瞬态响应和稳态误差存在着间接或直接的关系。,1.控制系统的频带宽度：设系统闭环频率特性如下图，当闭环幅频特性下降到频率为0时的分贝值以下3分贝时，对应的频率称为带宽频率，记为b。,系统的频带宽度反映了系统复现输入信号的能力，具有宽的带宽的系统，其瞬态响应的速度快，调整的时间小（低通滤波器）。,闭环频率特性的谐振峰值Mr与谐振频率r,截止频率c和频带宽度0 b,(),对于一阶系统和二阶系统，带宽和系统参数具有确定的解析关系,一阶系统：,二阶系统：,一阶系统的带宽和时间常数T成反比，二阶系统的带宽和自然频率n成正比。,带宽是频域分析中的一项重要指标，带宽大，表明系统能通过较宽的频率信号，带宽小，则系统只能通过较低的信号。带宽大的系统，一方面重现输入信号的能力强，而另一方面，抑制高频噪声的能力就弱。,系统的单位响应速度和带宽成正比。以一阶系统的上升时间为例,带宽b大，则上升时间tr小，系统响应速度快,试比较两个系统带宽的大小，并验证具有较大带宽的系统比具有较小带宽的系统响应速度快，对输入信号的跟随性能好。,2.确定闭环频率特性的图解方法：尼科尔斯(Nichols)图线法是获得闭环频率特性和频域指标的一种常用方法。,
