1、因式分解提分讲义1因式分解法解题方法及提分突破训练题型特点由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点解题总方略因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法 公式法分组分解法 十字相乘法还有较复杂的几种
2、方法：拆项添项 求根分解换元 待定系数因式分解提分讲义2一 公式法 必记提分公式：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab) 2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca
3、)；典型考题1.已知 abc，是 ABC的三边，且 22abcabc，则的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形2.分解因式：3(x+y) 2-27二 分组分解法（一）分组后能直接提公因式1、分解因式： bxyax5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= )()( 原式= )510()2(byabxa= yx = 2y= 25bayx =（二) 分组后能直接运用公式2、分解因式： yx2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另
4、外分组。解：原式= )()(2ayxyx = =3、分解因式： 22cba因式分解提分讲义3三 十字相乘法（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 )()(2 qxpqxpx进行分解。特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3 ）一次项系数是常数项的两因数的和。十字相乘的基本规律：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c，都要求 24bac 0 而且是一个完全平方数。1、分解因式： 65x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5。 1 2解
5、： 52x= 32)(2x 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。2、分解因式： 672x解：原式= )6(1)(1x 1 -1 = )( 1 -6 （-1）+（-6） = -7（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a 1 1（2 ） c 2 2（3 ） 11b 分解结果： x2= )(2cxa3、分解因式： 0分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： 2x= )5(2x（三）二次项系数为 1 的二次多项式4、分解因式： 228ba分析：将 b看成常数，把原多项式看成关
6、于 a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： 228ba= )16(8)16(bab= )(（四）二次项系数不为 1 的二次多项式例 9、 2267yx 例 10、 232xy1 -2y 把 xy看作一个整体 1 -1 因式分解提分讲义42 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= )3)(yx 解：原式=)(1xy四 换元法1、分解因式（1） 205)1205(x（2） 6(3)1(x解：（1）设 2005=a，则原式= a)2= (1xa= )0505（2 ）型如 ebcd的多项式，分解
7、因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式= 222)6)(7( xxx设 A65，则 A7原式= = 2)(= 2)(2、分解因式（1） 6234xx观察：此多项式的特点是关于 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于 “等距离多项式 ”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式= )162(2xx= 6)1()(2x设 t，则 t原式= )2（ = 02= 5tx= 215xx= 1 = 12x= )2()1(2xx（2 ） 4234解：原式= 21()xx= 1412xx设 y1，则 2y原式= 2(43)x= (1)3= =122x
8、x因式分解提分讲义5五 添项、拆项、配方法1、 分解因式（1 ） 432x 解法 1拆项。 解法 2添原式= 2 原式=23xx= )1(3)1)(x = )4()3(2xx = = 11 =42=)(xx= 1 = 2)(x（2 ） 369解：原式= )1()()(369xx= )1()(133x= 3= 2)()(62 六 待定系数法1、分解因式 613622yxyx分析：原式的前 3 项 可以分为 )2(3yx，则原多项式必定可分为 )(nm解：设 61622yxyx= )(nmyx )(3(= myx2322 3= nn)(22对比左右两边相同项的系数可得 6132m，解得 3原式=
9、)3)(23(yx2、 （ 1）当 m为何值时，多项式 652ymx能分解因式，并分解此多项式。（2）如果 823bxa有两个因式为 1和 2，求 ba的值。因式分解提分讲义6（ 1）分析：前两项可以分解为 )(yx，故此多项式分解的形式必为 )(byxa解：设 652myx= ba则 = ay)()(2比较对应的系数可得： 6ab，解得： 132m或当 1时，原多项式可以分解；当 m时，原式 = )(2(yx；当 时，原式= 3.（ 2）分析： 823bxa是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 c的一次二项式。解：设 = )(2)1(cx则 23= 233 8c
10、ba解得 47cba， =21经验之谈：一因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解二从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法三因式分解要注意的几个问题：每个因式分解到不能再分为止相同因式写成乘方的形式因式分解的结果不要中括号如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号
11、内的第一项系数为正数因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前因式分解提分讲义7面巩固测试题1.因式分解（1） xn6x n-1x n-2 （2 ） 3(xy) y(y x) 3（3）4(a b)38a(b a)25(b a) 32.因式分解（1）25a 216b 2 （2）16x 4y41（3） x2xy y2 （4）9a 23a(5a-3b)1(5a3b) 24.因式分解（1）x 25x 6； （2 ）x 25x 6；（3）x 26x 16； （4 ）x 25x6。（5）2x 2x 3 （6 ）4x 320x 224x因式分解提分讲义85.因式分解（1）x 23xy2y
12、 24x5y3（2）3x 25xy2y 210x7y36.因式分解（1）(x 23x2)( x23x4)16（2）(ab) 22(ab)(ab)15(a b) 2（3） （x+1）(x+2)(x+3)(x+4)487.恒等变形（1）求证：不论 x 和 y 为何值，代数式 x2y24xy5总为正值。（2）已知 x2y 26x4y13=0，求 x、y。因式分解提分讲义9（3）若 x25xy6y 2=(xmy)(xny)，求 m、n。8.化简求值（1） 232a3,213a其 中（2） （ 23)21342 xx其 中 9.已知 的 值计 算 22,094baba10.求证：四个連续整数的积加上 1 的和，一定是整数的平方。
