1、函数的零点【题型一】函数的零点个数【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。【例 1】已知函数 3()1,0fxa求 的单调区间； ()f若 在 处取得极值，直线 y=m 与 的图象有三个不同的交点，求x1()yfxm 的取值范围。变式：已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足 (4)()ff，且在区间0,2上是增函数，若方程 在区间 上有四个不同的根 1234,x，()0fxm8,则 1234_.x【答案】 -8【解析】因为定义在 R 上的奇函数，满足 (4)(fxfx，所以 (4)(fxfx，所以, 由 )(xf为奇函数
2、，所以函数图象关于直线 2对称且 0，由(4)(fxf知 8f，所以函数是以 8 为周期的周期函数，又因为在区间0,2上 是增函数，所以 )(x在区间-2,0上也是增函数如图所示，那么方程 f(x)=m(m0) 在区间 8,上有四个不同的根 1234,x，不妨设1234xx， 由对称性知 12x， 34x 所以-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【题型二】复合函数的零点个数复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。【解题技巧】函数 的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想()()hxfc分两步
3、进行。即令 ，则d()hxfd第一步：先判断 的零点个数情况()fc第二步：再判断 的零点个数情况x【例 2】已知函数 设 ，其中 ，求函数3()f()()hxfc2，的零点个数()yhx1 （江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试（数学）已知函数.若方程 在l,2恰好有两32()9(0)fxax 2()1269fxnax个相异的实根,求实数 a 的取值范围(注:1n20.69):【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点【解题技巧】 （1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即：如果函数 在区间 上是一条连续不断曲线，并且 ，则函数()fx
4、ab， ()0fab在区间 上至少有一个零点。即存在一点 ，使得 ，f， 0x， ()fx这个 也就是方程 的根.0x()0fx（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：如果函数 在区间 上是单调函数，并且 ，则函数 在区间()fxab， ()0fab()fx上至多有一个零点。ab，【例 3】设函数 329()6fxxa（1）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值；fm（2）若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围 ()0fx变式：设函数 ， ， 。若方程()lnfx()agx()()Ffxg在区间
5、 上有唯一实数解，求实数 的取值范围；()fm21,em解析：方程 在区间 上有唯一实数解等价于f2,方程 在区间 上有唯一实数解。lnx,记 ，则 ， 令 ，得：2l()1,he21ln()xh()0hx，xe当 时， ， 递增；,()0hx()当 时， ， 递减。所以 。2max1()()he易求得： ， 。(1)0h2()e为使方程 在区间 上有唯一实数解，lnxm2,则直线 与函数 的图象有唯一交点，yln()xh根据 的图象可知： 或 。()hx1e20me故 的取值范围是 。m210,e【例 4】已知函数 在 (1,)上没有零点，求 m的取值范围；xfm【题型四】如何运用导数来判断
6、与求证含参函数的零点【例 5】 （2013江苏卷）设函数 axfln)(， axeg)(，其中 为实数若)(xg在 ),1上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论基础练习：1己知 ，其中常数 ()lnxfae0a（1）当 时，求函数 的极值；()f2已知函数 f（x ） m（x 1） 22x 3lnx ，m R当 m0 时，若曲线 yf（x）12在点 P（1，1）处的切线 l 与曲线 yf（x ）有且只有一个公共点，求实数 m 的值3已知函数 ( , 为自然对数的底数).若直线 与曲线1()xfxeaR:1lykx没有公共点,求 的最大值.yfk4已知函数 f（x ）= x3+ x2-
7、ax-a,xR,其中 a0若函数 f（x）在区间（-2,0）内恰有两13 1 a2个零点,求 a 的取值范围；5设 ，函数 1aaexf)1()2(1) 求 的单调区间 ；(xf(2) 证明： 在 上仅有一个零点；),参考答案与解析【例 1】解析：（1） 22()3(),fxax当 时，对 ，有0aR0,当 时， 的单调增区间为()fx()当 时，由 解得 或 ； xa由 解得 ，()0fxa当 时， 的单调增区间为 ； 的单调减区间为a()f(,)(,)(fx。(,（2）因为 在 处取得极大值，()fx1所以 2(1)3()0,1.fa所以 2,3,xfx由 解得 。()0f12由（1）中
8、的单调性可知， 在 处取得极大值 ，fx()fx1(1)f在 处取得极小值 。()3f因为直线 与函数 的图象有三个不同的交点，又 ，ymyx(3)9f，(3)17f结合 的单调性可知， 的取值范围是 。x(3,1)【例 2】令 ，则：3()fxd()()hfcf(1)先讨论关于 的方程 即 根的情况：=3dc2, c2()3(1)fdd在区间 上单调递增，在区间 单调递减，在区间 单调递增。,1, 1,()(1)2fdf极 小 值 ()()2fdf极 大 值描绘出函数的草图，并据草图可得：方程 根的情况如下表所示：=cC 的取值范围根的个数 根或根的范围2c2 个根 或2d13 个根 、 、
9、132 个根 或(2)下面考虑方程 即 根的情况：()fxd3xd据上述表格及图形 和 的根的情况如下表()=cfc的 范 围 根的个数根 的范围d根的个数()=dfx13 个根22 个根 、1d22 个根5 个根1d3 个根23 个根2c3 个根、 、1d2333 个根9 个根1d3 个根2c2 个根 、122 个根5 个根综上所述：当 时，函数 有 5 个零点；=2c()yhx当 时，函数 有 9 个零点。【例 3】解：(1) , 2()363(1)2fxx因为 , , 即 恒成立, ()fm9(6)0m所以 , 得 ，即 的最大值为8120434(2) 因为 当 时, ;当 时, ;当
10、时, ;x()f12x()fx2()0fx所以 当 时, 取极大值 ; 5a当 时, 取极小值 ;2x()f()f故当 或 时, 方程 仅有一个实根. 解得 或 .()0f10x2a5【例 4】 方法一：当 0n，可得 ()xxhem，因为 1x，所以 xe，当 1me时， ()xhe，函数 ()x在 1,)上单调递增，而 (0)h，所以只需 0，解得 e，从而 e 当 e时，由 ()xem，解得 ln(,)x，当 (1,lnx时， h， ()单调递减；当 lm时， ()0hx，)h单调递增所以函数 (x在 ,)上有最小值为 (ln)lnh，令 ln0m，解得 me，所以 1e 综上所述， 1
11、,) 方法二：当 ， xe 当 0x时，显然不成立；当 1且 时，xm，令xey，则 221xxe，当0x时， y，函数x单调递减， 01x时， 0y，函数xey单调递减，当 1时， ，函数xey单调递增，又 1xe， 1x，由题意知,)me【例 5】 axg(0 在 ),1(上恒成立，则 ae x，故： 1e1) xf（）若 0 ，令 )(f0 得增区间为（0，） ；1e 1a令 )(xf0 得减区间为（ ，） 1a当 x0 时，f（ x）；当 x时，f （x）；当 x 时，f（ ）lna10，当且仅当 a 时取等号1a 1a 1e故：当 时，f（x ）有 1 个零点；当 0 时，f（ x）
12、有 2 个零点1e 1e（）若 a0，则 f（x ）ln x，易得 f（x）有 1 个零点（）若 a0，则 )(a在 )(， 上恒成立，即： xfln)(在 0， 上是单调增函数，当 x0 时，f（ x）；当 x时，f （x）此时，f（x）有 1 个零点综上所述：当 a 或 a0 时，f（x ）有 1 个零点；当 0 a 时，f（x）有 2 个零点1e 1e练习 1、 【答案】 （1） 有极小值 0，没有极大值 ()【解析】函数 的定义域为 ，f,)（1）当 时， ， ， ea()elnxe()xf而 在 上单调递增，又 ，()xf0, 10当 时， ，则 在 上单调递减；0()1ff()fx
13、,当 时， ，则 在 上单调递增，所以 有极小值1xx()fx，没有极大值 ()f2、 【解析】由 f（x ）mx m 2 ，得 f（1）1，1x所以曲线 yf（ x）在点 P（1，1）处的切线 l 的方程为 yx2 由题意得，关于 x 的方程 f（x）x2 有且只有一个解，即关于 x 的方程 m（x1） 2x1ln x0 有且只有一个解 12令 g（x） m（x1） 2x1ln x（x0）12则 g（x）m（x1）1 （x0） 1x mx2 (m 1)x 1x (x 1)(mx 1)x当 0m1 时，由 g（x ） 0 得 0x1 或 x ，由 g（x）0 得 1x ，1m 1m所以函数 g
14、（x）在（0，1）为增函数，在（1， ）上为减函数，在（ ，）上为增函1m 1m数又 g（1）0，且当 x时，g（x），此时曲线 y g（x）与 x 轴有两个交点故 0m1 不合题意 当 m1 时，g（x ）0， g（x）在（0，）上为增函数，且 g（1）0，故 m1 符合题意当 m1 时，由 g（x ）0 得 0x 或 x1，由 g（x）0 得 x1，1m 1m所以函数 g（x）在（0， ） 为增函数，在（ ，1）上为减函数，在（1，）上为增1m 1m函数又 g（1）0，且当 x0 时，g（x），此时曲线 yg（x）与 x 轴有两个交点故 m1 不合题意综上，实数 m 的值为 m1 3、 【
15、答案】解: 当 时, a1xfxe令 , gxfkk则直线 : 与曲线 没有公共点, l1yyfx等价于方程 在 上没有实数解 . 0xR假设 ,此时 , , 1k1g10kke又函数 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 在 上至少有一解,与“方程x gxR在 上没有实数解 ”矛盾,故 . 0gR1k又 时, ,知方程 在 上没有实数解. 1k0xe0gxR所以 的最大值为 . 解法二: ()()同解法一. ()当 时, . 1a1xfxe直线 : 与曲线 没有公共点, lykyf等价于关于 的方程 在 上没有实数解,即关于 的方程: x1xeRx(*) 1xke在 上没有实数解. R当 时
16、,方程 (*)可化为 ,在 上没有实数解. 10xeR当 时,方程 (*)化为 . 1kk令 ,则有 . xge1xg令 ,得 , 0当 变化时, 的变化情况如下表:xx,111,gx 0AeA当 时, ,同时当 趋于 时, 趋于 , 1xmin1xexgx从而 的取值范围为 .g,所以当 时, 方程(*)无实数解, 1ke解得 的取值范围是 . ,1综上,得 的最大值为 . k5、 【答案】 （1） ；（2）见解析； ,【解析】 （1）依题 ，221 10xxxfxeee 在 上是单调增函数；fx,（2） ，a 且 ，01f22110afaea 在 上有零点，x,又由（1）知 在 上是单调增函数，f,在 上仅有一个零点；fx,【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等基础知识，属于中高档题，解答此题关键在于第（1）问要准确求出 的导数，第fx（2 ）问首先要说明 内有零点再结合函数在 单调性就易证其结论，第（3 ）0,a,问由导数的几何意义易得 对比要证明的结论后要能认清 的放21mea 1me缩作用并利用导数证明 成立，则易证 321ae
