1、 1 函数与方程知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数 在实数 处的值等于零，即 ，则 叫做这个函数的零点.要点诠释：函数 的零点就是方程 的实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标归纳：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点2.二次函数零点的判定二次函数 的零点个数，方程 的实根个数见下表.判别式 方程的根 函数的零点两个不相等的实根 两个零点两个相等的实根 一个二重零点无实根 无零点3.二次函数零点的性质二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不
2、间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.零点存在性定理如果函数 在一个区间 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 ，使 .知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数 定义在区间 D 上，求它在 D 上的一个零点 x0的
3、近似值 x，使它满足给定的精确度.第一步：在 D 内取一个闭区间 ，使 与 异号，即 ，零点位于区间中.第二步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为.计算 和 ，并判断：如果 ，则 就是 的零点，计算终止；如果 ，则零点位于区间 中，令 ；如果 ，则零点位于区间 中，令第三步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为 .计算 和 ，并判断：2 如果 ，则 就是 的零点，计算终止；如果 ，则零点位于区间 中，令 ；如果 ，则零点位于区间 中，令 ；继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当 和 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 的近似零点，计算终止.这时函
4、数 的近似零点满足给定的精确度. 零点定理的探究：（1）观察二次函数 的图象：32)(xf在区间 上有零点_； _， _, 1 1,2)(f )1(f _0（或） )(f在区间 上有零点_ ； _0（或） 2 4, 4（2）观察下面函数 的图象)(xfy在区间 上_(有/无)零点； _0（或） 1 ,ba)(afbf在区间 上_(有 /无)零点； _0（或） 2 cc在区间 上_(有/无)零点； _0（或） 3 ,dd练习 1.若函数 f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线，且函数 f(x)在(2,2)内有一个零点，则f( 2)f(2)的值 ( )A大于 0 B小于 0C等于 0 D不能
5、确定2设函数 f(x)x 3bx c 是 1,1上的增函数，且 f( )f( )0，则方程 f(x)0 在1,1内 12 12( )A可能有 3 个实数根 B可能有 2 个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根类型二、确定函数零点的个数1二次函数 中， ，则函数的零点的个数是( )A1B2C0D无法确定练习 1函数 f(x) 的零点有 ( )(x 1)lnxx 3A0 个 B1 个 C2 个 D3 个类型三 通过零点定理判定零点区间2 设 f(x)3 x3x8，用二分法求方程 3x3x 8 0 在 x(1,2) 内近似解的过程中得 f(1)0，f(1.25)0)，则 yf (x) ( )13A在
6、区间( ，1)，(1 ，e) 内均有零点1eB在区间( ，1)，(1，e)内均无零点1eC在区间( ，1)内有零点，在区间 (1，e)内无零点1eD在区间( ，1)内无零点，在区间(1 ，e)内有零点1e类型四、用二分法求函数的零点的近似值1如图所示，以下每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是类型四、用二分法解决实际问题3中央电视台有一档娱乐节目“幸运 52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在 5001000 元之间，选手开始报价：1000 元，主持人说：高了，紧接着报价 900 元，
7、高了；700 元，低了；880 元，高了；850 元，低了；851 元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？ 4 过关题一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数 有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）A. B. C. D. 2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数 B.可以是奇函数 C.可以是增函数 D.可以是减函数3.（2011 广东广州 3 月 6）若函数 没有零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.设函数 是-1，1上的增函数，且 ，则方程 在-1，1内( )A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根5.若已知 ，则下列说法中正确的是()A. 在 上必有且只有一个零点B. 在 上必有正奇数个零点C. 在 上必有正偶数个零点D. 在 上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点
