1、零点定理的奇妙应用：平分面积的直线零点定理是一个大家平时生活中用惯了以至于反而觉得很陌生的一个定理。若函数 f(x)在区间a,b连续，并且 f(a)与 f(b)异号，那在(a,b)之间一定存在某个 x，使得 f(x)=0。如果你从海拔为-100 的地方走到海拔为 400 的地方，那不管你是怎么走的，你一定会有经过了海平面的一瞬间。另一个比较隐蔽一些的应用便是，对任意一个凸多边形，总存在一条直线把它分成面积相等的两份。考虑一条竖直直线从左至右扫过整个凸多边形，则凸多边形位于直线左边的那部分面积由 0 逐渐增大为整个凸多边形的面积，直线右侧的面积则由最初的整个凸多边形面积渐渐变为 0。若把直线左侧
2、的面积记为 f(x)，直线右侧的面积记为 g(x)，则随着直线位置 x 的变化，f(x)-g(x)的值由一个负数连续地变为了一个正数，它一定经过了一个零点。这表明，在某一时刻一定有 f(x)=g(x)。用类似的方法，我们能证明一个更强的命题：对任意一个凸多边形，总能用两条互相垂直的直线把它的面积分成四等份。利用前面的结论，我们能找到一条直线 l1，它把整个凸多边形分成上下相等的两份；类似地，我们能找到唯一的一条与 l1 垂直的直线 l2，使得它恰好把整个凸多边形分成左右相等的两份。注意，现在我们有 A1+A2 = A2+A3 = A3+A4 = A4+A1，我们甚至立即还可以知道 A1=A3
3、并且 A2=A4，但这都还不足以保证四块面积全都相等。怎么办呢？注意，我们前面假定直线 l1 是一条水平直线。事实上，l1 每取一个方向，我们都能用上面的方法得到一个具有相同性质的新构造。为此，我们将直线 l1 的方向顺时针旋转 90 度。考虑整个过程中 A1-A2 的值的变化过程：旋转后的 A1-A2 恰好就是旋转前的 A2-A3，而 A1 和 A3 又是相等的于是我们发现，旋转前后的 A1-A2 的值恰好互为相反数！这表明，在直线 l1 旋转的过程中，一定有一瞬间满足 A1-A2=0，这一刻的 l1 和 l2 便是两条互相垂直并把图形四等分的直线。我们来看一个更牛 B 的定理：对任意一个凸
4、多边形，总能用三条交于一点的直线把它的面积分成六等分。先用直线 l1 把图形分成上下相等的两半。对于 l1 上的任意一点 p，总存在唯一的四条射线，它们和直线 l1 一起恰好把图形分成六等分。现在，考虑 p点从 l1 最左边向最右边移动，则角 由 180 度慢慢变成 0 度，角 则从 0 度慢慢变成 180 度，因此在此过程中必然有 = 的时刻。把此时我们得到的那条直线记作 l2，并把剩余的两条射线分别记作 r1 和 r2。现在，将 l1 的方向顺时针旋转 180 度，得到的构造和之前一样，只不过 r1 和 r2 交换位置了：原来r2 在 r1 延长线的顺时针方向，现在 r2 跑到了 r1 的延长线的逆时针方向，前后两个角度互为相反数。因此，在 l1 旋转的过程中，必然有某个时刻 r1 的延长线和 r2 正好重合。三次嵌套地调用零点定理，我们终于证明了这个结论。
