1、3.1.2 函数零点的存在性定理（一）教学目标1知识与技能体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间.2过程与方法经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯.3情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣.（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用.难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手
2、尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.（四）教学过程教学环节 教学内容 师生互动 设计意图复习回顾提出问题1函数零点的概念2函数零点与方程根的关系3实例探究已知函数 y= x2+4x 5，则其零点有几个？分别为多少？生：口答零点的定义，零点与根的关系师：回顾零点的求法生：函数 y= x2+4x 5 的零点有 2个，分别为5，1回顾旧知，引入新知示例探究引入课题1探究函数 y = x2 + 4x 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数.生：零点5(6，4)零点 1(0，2)且 f (6)·f
3、 (4)0f (0)·f (2)0师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间.f (x) = 2x 1，f (x) = log 2(x 1)生：函数 f (x) = 2x 1 的零点为0,且 f (0) f (1)0.函数 f (x) = log2(x 1)的零点为2(1， 3)且 f (1) f (3)0由特殊到一般，归纳一般结论，引入零点存在性定理发现定理零点存在性定理如果函数 y = f (x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a)·f (b)0 那么，函数 y = f (x)在区间a，b 内有零点，即存在 c( a，
4、b)，使得 f (c) = 0 这个 c 也就是方程 f (x) = 0 的根师生合作分析，并剖析定理中的关键词连续不断f (a)·f (b) 0师：由于图象连续不断，若 f (a)0，f (b)0，则 y = f (x)的图象将从 x 轴上方变化到下方，这样必通过 x 轴，即与 x 轴有交点 形成定理，分析关键词，了解定理.深化理解定理的理解（1）函数在区间a，b上的图象连续不断，又它在区间a，b端点的函数值异号，则函数在a，b上一定存在零点（2）函数值在区间a，b上连续且存在零点，则它在区间a，b端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数师：
5、函数 y = f (x) = x2 ax + 2 在(0，3)内，有 2 个零点.有 1 个零点，分别求 a 的取值范围.生：f(x) 在(0，1)内有 2 个零点，则其图象如下则(0)32fabf(x)在(0，3) 内有 1 个零点则 033a通过实例分析，从而进一步理解定理，深化定理.应用举例例 1 求函数 f (x) = lnx + 2x 6 的零点的个数.师生合作探求解题思路，老师板书解答过程例 1 解：用计算器或计算机作出x，f (x)的对应值表和图象.x 1 2 3 4 5f (x) 4 1.0369 1.0986 3.3863 5.6094x 6 7 8 9f (x)7.7918
6、 9.9459 12.079414.1972师生合作交流，体会定理的应用3yxO由表和图可知，f (2)0，f (3)0，则 f (2)· f (3)0，这说明函数 f (x)在区间(2，3) 内有零点.由于函数 f (x)在定义域 (,)内是增函数，所以它仅有一个零点.练习巩固练习 1.利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f (x) = x3 3x + 5；（2）f (x) = 2x·ln(x 2) 3；（3）f (x) =ex1 + 4x 4；（4）f (x) = 3 (x + 2) (x 3) (x + 4) + x.学生尝试动手练习，
7、老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题.练习 1 解：（1）作出函数图象，因为 f (1) = 10，f (1,5 ) = 2.8750 所以 f (x) = x3 3x + 5 在区间(1，1.5) 上有一个零点.又因为 f(x)是 ,)上的减函数，所以 f(x) = x3 3x + 5 在区间(1，1.5)上有且只有一个零点.（2）作出函数图象，因为 f(3)0，f(4)0，所以 f(x)=2x·ln(x2) 3 在区间(3，4) 上有一个零点.又因为 f(x)=2x·ln(x2) 3 在2,)上是增函数，所以 f(x) 在上有且仅有一个(3，4)上的零点（3）
8、作出函数图象，因为 f(0)0，f(1)0，所以 f (x) =ex1 + 4x 4 在区间(0，1)上有一个零点又因为 f(x) =ex1 + 4x 4 在,上是增函数，所以 f(x)在上有且仅有一个零点.（4）作出函数图象，因为 f (4)0，f (3)0，f (2)0，f (2)0，f (3)0，所以 f (x) = 3 (x + 2) (x 3) (x + 4) + x 在(4，3)，( 3, 2)，(2，3) 上各有一个零点尝试学生动手模仿练习，老师引导、启发，师生合作完成问题求解，从而固化知识与方法，提升思维能力.归纳总结1数形结合探究函数零点2应用定理探究零点及存在区间.3定理应
9、用的题型：判定零点的存在性及存在区间.学生总结师生完善补充学会整理知识，培养自我归纳知识的能力课后练习 3.1 第二课时 习案 学生自主完成 整合知识，提升能力备选例题例 1 已知集合 A = xR| x2 4ax + 2a + 6 = 0，B = xR|x0，若 AB ，求实数 a 的取值范围.【解析】设全集 U = a|= (4a) 2 4 (2a + 6)0= 3|10= |2a或若方程 x2 4ax + 2a + 6 = 0 的两根 x1，x 2 均非负，则123,aUx因为在全集 U 中集合 |2a的补集为 a|a1，所以实数 a 的取值范围是 a|a1.例 2 设集合 A = x
10、| x2 + 4x = 0，xR，B = x | x2 + 2 (a + 1) x + a2 1 = 0， xR，若 AB = A，求实数 a 的值.【解析】A = x | x2 + 4x = 0，xR ，A = 4，0.AB=A，B A.1°当 B = A，即 B = 4，0时，由一元二次方程根与系数的关系得2(),1.0aa解 之 得2°当 B=，即方程 x2 + 2 (a + 1)x + a2 1 = 0 无实解.= 4 ( a + 1)2 4 (a2 1) = 8a + 80.解得，a1.3°当 B = 0，即方程 x2 + 2(a + 1)x + a2 1 = 0 有两个相等的实数根且为零时，280,1.1.aa得4°当 B = 4时，即需 280,16()10.a无解.综上所述，若 AB=A，则 a1 或 a = 1.
