1、精品文档！精品文档！XXXX毕 业 论 文（设计）题 目：随机变量的几种收敛及其相互关系 学 号：xxxxxxxxxxxx 姓 名：xxxxxxx 年 级：2006 级 学 院：信息科学技术学院 系 别：数学系 专 业：信息与计算科学 指导教师：xxxxxx 完成日期： 2010 年 5 月 10 日随机变量的几种收敛及其相互关系1摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。主要讨论了依概率收敛与依分布收敛
2、，r 阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出 r 阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。关键词：r 阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。随机变量的几种收敛及其相互关系2AbstractThe Probabilit
3、y is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead
4、 to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability re
5、lationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship.This paper will
6、 make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows:1. Convergence of random variables the concept of theory;2. the convergence of several random variables between;From the above aspects of the theory of random variables of se
7、veral brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.随
8、机变量的几种收敛及其相互关系3目 录引 言 ： 41 几种收敛性定义 42 依概率收敛与依分布收敛的关系 53 r 阶收敛与几乎处处收敛的关系 114 依概率收敛与 r 阶收敛的关系 135 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 17总结 19四种收敛性 19四种收敛蕴涵关系 19致 谢 21参考文献 22随机变量的几种收敛及其相互关系4引 言 ：概率论最早产生于 17 世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。然而其公理体系只在20 世纪的 20 至 30 年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显
9、示了它的应用性和实用性。概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。概率论中的重要概念 概率的收敛性，寻找概率收敛中的随机变量序列收敛性的相互性质以及收敛性之间的相互关系，弄清楚它们之间的关系在理论和应用上都是很有意义的。1 几种收敛性定义 定义 1.1 (r 阶收敛)设对随机变量 ,及 有 ,其nX|,|rrnEX中为常数,如果0rl
10、im0rnnE则称 r 阶收敛于 ,并记为 .nXXrX 当 是， ，称 均方收敛到 。记为2p2li0nn,1nXmsn 例 1.1 设 相互独立，且满足 ，,kX1()nP， 。则 ，故 ，1(0)()nPXn(021(0)nE2lim0EX即 ms 定义 1.2 (几乎处处收敛)如果 (lim)1nPX则称 以概率 1 收敛于 ,又称 必乎处处收敛于 X,并记为 .nX .asnX 随机变量的几种收敛及其相互关系5例 1.2 设 ， ， 是定义在0,1上博雷尔概率空间 =nX1,Y(,)FP上的随机变量，满足： ， 。而 ，若(0,1,)FP0,1()Y1X=0,1上理点； ，若 =0,
11、1上有理点全体 。而 ，B()0B()若 ； ，若 。则易知 。,12()nX,2n(:)0PPB； ，但 ，故(:lim()nY(:lim()nXB1。.asnX 定义 1.3 （依分布收敛）设随机变量 ,X 的分布函数分别为 及n ()nFx。若对 的每个连续点 x 有 则称 依分布函数收敛()Fx()nxli()nFxn于 X （ 弱收敛到 ） 。记为 ，或者 。()FL ()()Wx 例 1.3 ， 的记号同林德伯格 -莱维（Lindeberg-Levy）定理，令 nZY Z，则 ，即 ，有 。2(0,1)NL xRlim()(nnPZx定义 1.4 （依概率收敛）如果对于任意 0,l
12、i(|)0nnX则称X n依概率收敛于 X，并记为 或 .P linpX例 1.4 设 独立同分布，且 ，令 ，则,1kYn1Y0,U1/nkY由大数定律可知 .()2PnX 2 依概率收敛与依分布收敛的关系随机变量序列依概率收敛和依分布收敛是概率论中两种较重要的收敛形式,弄清楚它们之间的关系是本节要讨论的.本节约定所涉及定义 1.3，定义 1.4。定理 2.1 若随机变量序列 依概率收敛于某随机变量 ,则 依分布nXXn收敛于 X.但定理 2.1 的逆不成立。随机变量的几种收敛及其相互关系6证明 设 ，则x = , , nXnXxnxX,nnxXx从而 ()(,)nnFP 设 ，则PnX (
13、,)(|)0nnXxXx 因而有 ()lim()nnF同理可证，对 ，有xli()nnx所以对 ，有()lim()li()nnnnFxFx 如果 x 是 的连续点，则令 ， 趋于 x，得()()li()n即 .LnX 反之不然，例如，若样本空间 ， ，定义随机12,12()/P变量 如下： ，则 的分布律为 ，()12(),()XX()1/2Xk,1,如果对一切 n，令 ，则显然 。但是对1kn )Ln 于任意的 ，02(|)(|)(1PP所以 不依概率收敛于 。()nXX但是在特殊场合有下面结果：对于常数 C，则 与 等PnX LnC 价。事实上，若 ，则 ，LnXC 0(|)()()nnn
14、PPPX随机变量的几种收敛及其相互关系71(0)()nnFC从而 。反之，若 ，则由定理 2.1 得 。PnX PnX LnXC 例 2.1 设 为独立同分布的随机变量,公共的分布列为12,显然: 与 X 的分布函数相同,故 依分(0)()/.(=)n n布收敛 X.但对于任意 00,0()1F0使有随机变量的几种收敛及其相互关系10.()1FM对于取定的 M,可选取正整数 k 和 m,使有1/,k对于取定的 m,存在 ,使有0r/(21),r对于取定的 r,由引理 2.4, 关于 x 是一致的,因而存在正整()nFxn数 N,使当 时,有n(2.4)|()|nr对一切 成立,从而当 时,有(
15、)xN1111(|(|)()|(|)()|/nn nPXPFPFk1|)/|2/2miikik1 1(2()/()()()/(2)ni i ik = 1 1/)/2/mniPkFikkFi(/(2)(/1)(/2)(/12)nnimiiiik(/1()(/2)iPFikrFikr(/2)(/1)mi i= /1/2(1)FkFmkmr.()2(1)Mr由 的任意性知 依概率收敛于 X,定理得证 .,nX对给定的分布函数 ,由于可以在不同的概率空间上定义随机变量 X ,使 X ()Fx的分布函数为 ,故无法讨论 X 的唯一性.但我们猜测下述结论成立 .随机变量的几种收敛及其相互关系113 r 阶
16、收敛与几乎处处收敛的关系在一般情况下,不能由几乎处处收敛推出 r 阶收敛。那么,在何种场合下,以上的 r 阶收敛与几乎处处收敛中一种收敛性能导致另一种收敛性呢?这就是本文要讨论的问题,本文在一定条件下得到了这两种收敛性的等价关系, 本节约定所涉及定义 1.1 ，定义 1.2。具体结果表述为如下定理:定理 3.1 1)设存在 使 ,且0rrnX (3.1)1|()|rnnE则(3.2).()()asnX 2)如(3.2)式成立,且 几乎处处有界,即存在正数 c ,使得n(3.3)(|)|1P则对任 ,0r(3.4)()()rnX 证明:1)设(3.1)式成立,往证(3.5)1(|)(|)1rnP
17、用反证法:若(3.5)式不成立,则必有(3.6)1(|)(|)0rnXp定义事件(3.7)1|()|NrniA其中 为给定的数。0易见, 单调非降,因此N随机变量的几种收敛及其相互关系12(3.8)11lim(|)(|)NrNniAX于是由概率的连续性和单调性知1li(li)(|)(|)rNNniPP） （(3.9)1(|)(|)rnX从而 11|(|)Nnrrni iEX1(|)(|)rniXPd1|()|1|()|()Nrni rnXiXPA由此得，1lim|lim()NrnNEXPAp即， (3.10)1|rni p0上式中令 ,此与(3.1)式矛盾。这样,我们证明了(3.5)式成立。1
18、|rniEX由数字分析知,收敛级数的一般项趋于零,因此由(3.5)式得出(lim|)(|0)1rnP从而有 (li)()nX2)由(3.2)、(3.3)式容易推出随机变量的几种收敛及其相互关系13(3.11)(|)|1nPXc于是由 不等式得rC,a.s. (3.12)|()|(|)|()|2rrrrnnXCXC其中 (3.13)1,02rrC如因此由 Lebegue 控制收敛定理知，lim|li|()|0r rnnnXEX证毕。由定理 3.1 可得到下面的推论:推论 3.1 设存在 使 ,c 为常数,且0rrnX ,则 ;反之,若 且 几乎处处有界,则 。1|()|rnnEXc.asn .a
19、snXc ()nrnXc 4 依概率收敛与 r 阶收敛的关系设 依概率收敛于 ，众所周知，此时 未必 r 阶收敛于 ;如果给nXXnXX附加一些另外条件，则 可 r 阶收敛于 ，本文证明了几个这样的定理，n它们推广了有关文献中的类似定理。设 是概率空间. 的元素记为 .随机变量 , 常简记成(,)FP()Xn, . ,( )，有时简记为 .XnrE0rL引理 4.1 ( 不等式)设 , 是 R.V 则rCXn，其中r11)rrn nELL1,01.rrCn注 关于数列的 不等式为r，11r rnnaCa随机变量的几种收敛及其相互关系14其中 与引理 2.3.1 中的相同.当然，它可看作是引理
20、4.1 的特殊情形。rC推论 4.1 如果 ， 则 (此推论使我们在一些情nrXL0rnEXrL形免除证明 )。r引理 4.2 设 ，g(x)为实值连续函数，则 .特别Pn ()()PngX 地，若 ，则对 r0,有 。PnX 0rPnX 引理 4.3 (控制收敛定理)若随机变量序列 满足(1) , 是可n|n积随机变量(从而 存在);(2) 以概率 1(或依概率)收敛于随机变量 ，则En X.limnX引理 4.4 设 ，g(x)为有界实值连续函数，则PnX (1) ,li()()Eg(2) |0.()rn证 由引理 4.2, .再由有界控制收敛定理，就有(1)式成()PnXg 立.又由 ，
21、有 .由 不等式可知()Png |()|0PrnX rC有界，再由有界控制收敛定理， .|rnX |()|(0)PrnEgXE 引理 4.5 设 , ，又 ，则 .PnX Pn 1n(1引理 4.6 若 , ，则 (|)0c(i) ;(|)0c(ii) .|2nPX证明 只证(i)，令 .对自然数 K，令 ，因 ，故有 ,当1PnX kN时 ，就取 ，则knN1(|)2nkKnN|,()kPXPXc= 1(,|),|)K KNNcXc随机变量的几种收敛及其相互关系15.11(|)(|)(|)2KKKNNNkPXcXPX于是， 1| 2c引理 4.7 若 X 为 R.V 且 ，则对任何实值函数好
22、 g(x)都有()0.|()0XcgdP下面的定理 4.1 说明:对有公共界的随机变量序列 ，依概率收敛与任nX何 r0 阶收敛是等价的。定理 4.1 设对某常数 c 有 ，则对任何实数 而言，()0nPXc0r的充要条件是 .LnX n 证明 只须证充分性。取 ,2,()rxcg当 当则 g(x)为有界实值连续函数，对如此的 g 及 利用引理 4.4 的(1)就有()nX.由引理 4.6 及 4.7, .从而有lim()(0nEgXg|2(0nrcdP|2|2()()()()n nnnnnXcXcgdPgd.|2|2|2()| |0n n nrr rn nXcXcXcppdp再由引理 4.6
23、 及 4.7 有 .从而|20nrcd，亦即 .证毕| 0rndp|rnE若 受控于 ，而 为 次可积，则 r 阶平均收敛等价于依概率收敛.nX定理 4.2 设 其中随机变量 满足 (其中|1(,2)nPXLrEr0 为一实数)，则对这个 r 而言 的充要条件是 .nX PnX 证明 只须证充分性.因为 ，由引理 4.2 有 .-0P （ ） |-|0Pr 因为 ,由引理 5 就有 .于是(|)1nPX(|)1随机变量的几种收敛及其相互关系16, .又(|1,)rrrnPCX(|1,)rrPCX.0|2( (1)0r rrr r rnCPXC故 .总之: 以概率 1 成立且(|)rrn |2r
24、rn可积，还有 .所以由控制收敛定理21)rC|0PrnX .lim|0rnEX定义 4.1 设 是概率空间， 是 R.V 序列，(,)FnX若 1|asup|()nXda 则称 的积分一致可积.若对任给 ，存在 ，使得所有满足00的事件 A，都有 ，则称 的积分一致绝对连续。()P1|supnAXdnX若 ，E即若 ，1snn则称 的积分一致有界.nX若 ，1sup0()Pa则称 依概率有界.n引理 4.8 (i) 的积分一致可积的充要条件是 的积分一致绝对连nXnX续且一致有界。（ii）若 依分布收敛，则 依概率有界。n n引理 4.9 若 依概率有界，且 (r0)的积分一致绝对连续，则n
25、XrX 一致可积.rnX证明 对于 ，由于 的积分一致绝对连续，有 存在，使当0rn 0时就有 .因为 依概率有界，对于上述的()PA|(1,2)rnAXdpLnX有 B0 使当 B0a时就有 .这样一来，当 B 时就有(|)n(,) a随机变量的几种收敛及其相互关系17证毕|,(1,2).nrXadpnL定理 4.3 设对某 , 一致可积，则 的充要条件是0rn LnX .PnX 证明 充分性.由 Riesz 定理，存在 的子列 ，使 以概率 1 收敛于n1n1n.由 Fatou 定理,有,1lim|li|sup|KKr rrrnnnkXdpXdpXdXd 可见 可积.由于 的积分一致绝对连
26、续及 可积,对任给 ，存在rr r 0，当 且 时就有0FA()P.|,12,3|r rnA AXdpXdpL又因 ，故存在 N，当 时 .这样一来，当PnX (|)nP时就总有N| | | | |n nr r rnnnXXdpdpdp .| |() |n nr rrrr XCC 这便证明了 .Ln 由引理 4.9 及定理 4.3，立即得到:若对某 , 的积分一致绝对连0rrn续，则对这个 r 而言 的充要条件是 .这条结论也可由定理LnX PnX 4.3 的证明看出, 因那里仅用到 及 的积分的一致绝对连续性。Pn r5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系在一般情况下，由随机变量序列
27、几乎处处收敛可推出其依概率收敛 ,进而可推出其依分布收敛,可见判别几乎处处收敛的重要性.给出了它的几个等价命题,同时还证明了独立随机变量和序列几乎处处收敛等价于依概率收敛,亦等价于依分布收敛。随机变量的几种收敛及其相互关系18若存在集 ,使当 时，有 ，则,()0AFPCA,lim|()()|0nmX称随机变量序列 是 a.s.收敛的。nXauchy定理 5.1 a.s.收敛的snXcy 是证明： 必要性 设 则存在集 当 时，有.as ,()0,AFPCA进而有lim(),nX|()()|()|()|nmnmXX0,.nCauchys即 是 收 敛 的充分性 设 是 则存在集 使当nX.收
28、敛 的 。 ,()0,APF时，有 ，对任意的CA,lim|()()|0,()limsup()mnn nX 令，由于 是一实值 序列，因此 ，Cauchyli()nX从而对 ，有 即 .Cli(),nX.asn 定理 5.2 .asn 0,|,.0.PXio定理 5.3 .asn ,lim|).mnn证明： 对 因为0,()|,(1,23.nA令 ，所以，001,lisup)n nmnnXA.aX ,lisup|)0.PX于是， ， limsup()li(),nmn nPAPA而 .asn li|0.nn推论 5.1 ，.asnX lisup(|)0.mnnPX证明： 由 及定理 5.3 可得
29、up(|)0(|mmn 推论 5.2 若对 .1,|,asnnn 有 则随机变量的几种收敛及其相互关系19证明： 0,()|,(12,nnAX令 则 1()nPA由定理 5.3，即得 .因 此 ， ()mnP0)mP.asX 定理 5.4 设 独立， 为常数列，则nna0 X.s,1|nnP定理 5.5 设 独立，记 则n1(23,nkYX). .asPnY 定理 5.6 设 独立，记 则nX1(,23nkYX),. .asLnY 总结四种收敛性 随机变量序列的收敛性， （1）当用测度描绘时，可定义几乎必然收敛,依概率收敛；（2）用数学期望描绘时,可定义 r 阶收敛；（3）用随机变量分布函数的
30、弱收敛描绘时,可定义依分布收敛。四种收敛蕴涵关系随机变量序列从不同角度定义的收敛,它们内部有一定的蕴涵关系。从定义出发，可得出以下的结果：几乎处处收敛r 阶收敛 依概率收敛 依分布收敛注：图中的 表示推出一般情况是不能反推的。上面章节证明出的结果是在给出一定条件的情况下得出新结果：随机变量的几种收敛及其相互关系20（1）几乎处处收敛与 r 阶收敛等价一般不能由几乎处处收敛推出 r 阶收敛，但给出一定的条件可使 r 阶收敛推出几乎处处收敛，上面第 3 章已经证明了在一定条件下得出 r 价收敛与几乎处处收敛等价。（2）几乎处处收敛与依概率收敛等价一般情况几乎处处收敛推出依概率收敛，由（1）得：几乎
31、处处收敛与依概率收敛等价（3）r 阶收敛与依概率收敛一般情况 r 阶收敛可推出依概率收敛，上面第 4 章证明出依概率收敛可推出 r 阶收敛，所有它们等价（4）几乎处处收敛与依分布收敛等价几乎处处收敛间接推出依分布收敛，上面第 5 章证出它们是等价的。（5）依概率收敛与依分布收敛等价一般依概率收敛推出依分布收敛，由上面第 1 章和（4）得：它们等价。（6）r 阶收敛与依分布收敛等价由（3） （5）得：它们等价。随机变量的几种收敛及其相互关系21致 谢首先要感谢我的导师 xxx，x 老师严谨的治学态度、对我的严格要求将使我终身受益。您严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；您循循善诱的
32、教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.感谢您从本文研究开始一路指导至本文的完成，从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨，再经思考后的领悟，由衷感谢您在论文上倾注的大量心血，您宽厚待人的学者风范和对我生活工作的关心令我无比感激。衷心感谢我的各位老师对我的淳淳教诲和悉心关怀，在我大学四年里，他给予了我生活上、学习上无微不至的关心。各位老师对我的指导和影响之大，怎样言说都表达不尽，自己取得的点滴成绩无不凝聚着各位老师的心血。他们严谨勤奋的治学风格，都让我永志不忘，深刻影响着我日后的工作和生活。衷心感谢各位同学，感谢他们和我一起度过快乐与苦难的岁月。我要向我的家人表示深深的谢意.你们的理解
33、、支持和鼓励使我更加上进，我竭尽全力的努力，更希望的是能够让你们高兴和满意.你们的情感永远都是我上进的不竭的动力源泉。最后，衷心感谢在百忙之中抽出时间审阅我的论文的专家教授，你们辛苦了，由于本人水平有限，文中难免有不妥之处，请各位专家、学者指正。随机变量的几种收敛及其相互关系22参考文献1 张卓奎，陈慧婵.随机过程.西安：西安电子科技大学出版社，2003.第 30 页-第 38 页.2 成骤，谢式千，潘承毅等.概率论与数理统计（第三版）.北京：高等教育出版社，2001.3 林元烈，梁宗霞.随机数学引论.北京：清华大学出版社，2003.第 203 页-第 205 页.4 毛用才，胡奇英.随机过程.西安：西安电子科技大学出版社，2002.5 田争，秦超.随机过程.北京：科学出版社，2007.6 周晓钟，随机变量序列收敛性若干性质. 黑龙江:齐齐哈尔师院学报.1995.7 周晓钟,邹德成.概率论及数理统计. 黑龙江:黑龙江人民出版社.1983.8 李贤平概率论基础( 第二版)北京：高等教育出版社，1997.9 中山大学概率论及数理统计北京 ：高等教育出版社，1998 10 林正炎，陆传荣，苏中根概率极限理论基础北京：高等教育出版社，199911 中山大学概率论及数理统计北京：高等教育出版社，1998.
