1、64 多元函数微分法的应用641 微分在几何上的应用1空间曲线的切线和法平面设空间曲线的参数方程为： 这里假定 都)(),(),(twztytx)(,)(twt在 上可导。,在曲线上取对应于 tt0 的一点 M0(x0 y0 z0)及对应于 tt0t 的邻近一点 M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线 MM0 其方程为 zyx00当点 M 沿着 趋于点 M0 时割线 MM0 的极限位置就是曲线在点 M0 处的切线 考虑tztytx0当 MM0 即t0 时 得曲线在点 M0 处的切线方程为)()()(000tztytx曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量T(t0) (t0
2、) (t0)就是曲线在点 M0 处的一个切向量 法平面 通过点 M0 而与切线垂直的平面称为曲线 在点 M0 处的法平面 其法平面方程为(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 例 1：求曲线 的平行于平面 的切线方程。2341,1z23zyx解：曲线上任一点处的切向量 ，平面的法向量 ，由题设条件tT, ,1n有： ，即 ，故 = ，nT0 231,23t 02t解得 。2,10t对应 的点 有切向量 ，由于切向量须为非零向量，故无意),(1M,01T义舍去；对应 的点 有切向量 ，此时切线方程为12t )21,34(2M1,2T zyx对应 的点 有切向量 ，此时切线方程为
3、23t )2,384( 2,483T 1zyx讨论：1 若曲线的方程为：y (x) z(x)，问其切线和法平面方程是什么形式 提示：曲线方程可看作参数方程 x x y(x) z(x) 切向量为 T(1 (x) (x) 2 若曲线的方程为：F(x y z)0 G(x y z)0 问其切线和法平面方程又是什么形式提示：两方程确定了两个隐函数 y(x) z(x) 曲线的参数方程为xx y(x) z(x) 由方程组 可解得 和 0dxzyx dxz切向量为 ) ,1(T例 2：求曲线 在点 处的切线及法平面方程。0622zyx)1,2(解：为求切向量 将所给方程的两边对 x 求导数 得0122dxzy
4、解方程组得 zydxz在点(1 2 1)处 01dx从而 T (1 0 1) 所求切线方程为： 2zy法平面方程为：(x1)0(y 2)(z1)0 即 xz0 另解：为求切向量 将所给方程的两边对 x 求导数 得012dxzy方程组在点(1 2 1)处化为： 1xzy解方程组得 0dxy1z从而 T (1 0 1) 所求切线方程为： 2zy法平面方程为：(x1)0(y 2)(z1)0 即 xz0 2曲面的切平面与法线设曲面的方程为： F(x y z)0 M0(x0 y0 z0)是曲面 上的一点 并设函数 F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面 上 通过点 M0 任意引一条曲线
5、假定曲线的参数方程式为)(),(),(twztytxtt0 对应于点 M0(x0 y0 z0) 且 (t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为T (t0) (t0) (t0) 考虑曲面方程 F (x y z)0 两端在 tt0 的全导数 Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0 引入向量n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0) 易见 T 与 n 是垂直的 因为曲线是曲面 上通过点 M0 的任意一条曲线 它们在点 M0 的切线都与同一向量 n 垂直 所以曲面上通过点 M0 的一切曲线在
6、点 M0 的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点 M0 的切平面 这切平面的方程式是Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0 曲面的法线 通过点 M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为 ), () ,() ,( 000 zyxzyxzyx曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0)就是曲面在点 M0 处的一个法向量 例 3 求曲面 在点(1 2 0) 处的切平面及法线方程。xzyez12解：曲
7、面方程改写为 013),( xzyeF则 ， ，zyFx2xyzz在点（1,2,0）处有法向量 ，0,24n所求切平面方程为： ，即 ；)()1(yx42yx法线方程为 。02z讨论 若曲面方程为 ，问曲面的切平面及法线方程式是什么形式 ),(yxf提示 此时 F(x y z)f(x y)z n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)例 4 求旋转抛物面 zx2y21 在点(2 1 4)处的切平面及法线方程 解 f (x y)x2y21 n(fx fy 1)(2x 2y 1) n|(2 1 4)(4 2 1) 所以在点(2 1 4)处的切平面方程为4(x2)2(y1)(z4)0 即 4x
8、2yz60 法线方程为 124例 5：设函数 可微，试证曲面 上任意点处的切平面都通过),(vuF0),(czbyaxF一定点。练习：求过直线 与曲面 相切的平面方程。120:zyxL1:22yx642 多元函数的极值及最大值、最小值1极值定义 设函数 在点(x 0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异),fz于(x 0 y0)的点(x y) 都有 f(x y)f(x0 y0) 则称函数在点(x 0 y0)有极大值( 或极小值)f(x 0 y0) 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 例 1 函数 在点(0 0) 处有极大值 2z当(x y) (0 0)时 z0
9、而当( x y)(0 0)时 z0 因此 z0 是函数的极大值 例 2 函数 zxy 在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值 因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点 以上关于二元函数的极值概念 可推广到 n 元函数 设 n 元函数 uf(P)在点 P0 的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于 P0 的点 P 都有f(P)f(P 0) 则称函数 f(P)在点 P0 有极大值(或极小值) f(P0) 定理 1(必要条件) 设函数 在点(x 0 y0)具有偏导数 且在点(x 0 y0)处有极值 ,z则有 fx(x0 y0
10、)0 fy(x0 y0)0 证明 不妨设 在点(x 0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x 0 y0)的某),fz邻域内异于(x 0 y0)的点( x y) 都有不等式f(x y)0 时具有极值 且当 A0 时有极小值 (2) ACB20 y0内取得 因为函数 A 在 D 内只有一个驻点 所以 此驻点一定是 A 的最小值点 即当水箱的长为 2m、宽为 2m、高为 m 时 水箱所用的材料最省 28从这个例子还可看出 在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小例 6 有一宽为 24cm 的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？解 设折起来
11、的边长为 xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为 242x 上底长为 242xcos 高为 xsin 所以断面面积 sin)24cos24(1xA即 A24xsin2x2sinx2sin cos (0x12 090) 可见断面面积 A 是 x 和 的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )令 Ax24sin4xsin2xsin cos0 A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0 由于 sin 0 x0 上述方程组可化为 )sin(cosco412x解这方程组 得 60 x8cm根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在 D(x y)|0x12 090内取得
12、通过计算得知 90时的函数值比 60 x8(cm)时的函数值为小 又函数在 D 内只有一个驻点 因此可以断定 当 x8cm 60时 就能使断面的面积最大 3条件极值 Lagrange 乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值 例如 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为 x y z 则体积 Vxyz 又因假定表面积为 a2 所以自变量 x y z 还必须满足附加条件 2(xyyzxz)a2 这个问题就是求函数 Vxyz 在条件 2(xyyzxz)a2 下的最大值问题，这是一个条件极值问题。对于有些实际问题，可以把条件极值问题化为无条件极值问题。例如上述问题，由
13、条件 解得 2)(2axzy)(2yxz于是得 V ，只需求 V 的无条件极值问题。)(2yxa在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易，需要另一种求条件极值的专用方法，这就是拉格朗日乘数法。现在我们来寻求函数 在条件 下取得极值的必要条件 ),(yxfz0),(yx如果函数 在 取得所求的极值 那么有： 。),(fz0 0),(0yx假定在 的某一邻域内， 与 均有连续的一阶偏导数 而,0yx),(yxf),(。 由隐函数存在定理，由方程 确定一个连续且具有连续导数的函0),(yx 0),(yx数 ，将其代入目标函数 ，得一元函数： 。,fz)(,xfz于是 是一元函数 的极值点 由取
14、得极值的必要条件 有0x)(x 0,),(0 00 xyxx dffdz即 ),(,),( 00fyf yxyx 从而函数 在条件 下在 取得极值的必要条件是,fz,y与 同时成立。0),(),(),(000yxfyxfy0),(0x设 上述必要条件变为),(0xfy ),(0),(00yxyxf拉格朗日乘数法：要找函数 在条件 下的可能极值点 可以先构成辅助函数：),(fz),(yx，其中 为某一常数 然后解方程组),(yxyxF 0),(),( ),(,yxyxfyx由这方程组解出 x y 及 则其中 (x y)就是所要求的可能的极值点 这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形
15、 至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 例 7：求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积 解 设长方体的三棱的长为 x y z 则问题就是在条件 2(xyyzxz)a2下求函数 Vxyz 的最大值 构成辅助函数F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2) 解方程组 220)(),(,axzyxyFzzyxz得 azyx6这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时 36aV例：求内接于定圆的三角形中面积最大的三角形。例：在半径为 R 的球内嵌入一圆柱，求表面积最大的圆柱。例：在椭球面 上求一点，使得函数 沿点12zyx 22),(zyxzyf到点 方向的方向导数具有最大值。)1,(A),0(B例：求函数 在圆域 上的最大、最小值。2yxz9)2()(2yx例：已知三角形的周长为 2p，求其绕自己的一边旋转所成旋转体体积达到最大的三角形。
