1、课题十二 函数的微分 第 1 页 共 6 页 课题十二 函数的微分 【授课时数】 总时数：6学时。 【学习目标】 1、知道函数微分的定义、几何意义、基本公式、运算法则和微分形式不变性； 2、会求函数的微分； 3、会用微分进行近似计算和解决一此实际问题。 【重、难点】 重点：微分的定义、基本公式和微分形式不变性，通过研究函数增量的简便计算引出。 难点：正确求函数的微分和微分在近似计算中的应用，由实例讲解方法。 【授课内容】 前面我们学习函数的导数，它研究的是函数相对于自变量的变化率。下面我们再来研究当自变量的增量有微小的改变时，函数的增量的近似计算方法，从而给出函数微分的定义和求法。 一、微分的
2、概念 1定义 引例：一正方形的金属薄片受温度变化的影响，其边长由 0x 变到 xx +0 ，问薄片的面积改变了多少？ 设正方形的边长为x，面积为y，则有 2)( xxfy = ，如右图所示：面积增量 202020 )(2)( xxxxxxy +=+= ，当 0x 时， xx 02 与 x 是同阶无穷小，是 y 的主要部分， 2)( x 与 x 是较高阶无穷小，是 y 的次要部分， 当 | x 很小时， xxy 02 ，而 )(2 00 xfxx = ，即 xxfy )( 0 一般地，设函数 )(xfy = 在点 0x 处可导，则称 xxf )( 0 为函数 )(xfy = 在点 0x 的微分，
3、记为dy或 )(xdf ，即 xxfdy = )( 0 2说明： 若不指明函数在哪一点的微分，一般记为： xxfdy = )( 课题十二 函数的微分 第 2 页 共 6 页 若令 xy = ，有 xdxdy = ，即 xdx = ，则 dxxfdy )(= 或 )(xfdxdy = ，这就是说 )(xfy = 在点x处的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商，因此导数又称为微商。 例1求函数 2xy = 在 2=x ， 001.0=x 时的 y 和dy。 例2求下列函数的微分： xy cosln= xexy 22= xxxy cos1 sin+= 二、微分的几何意义 如图所示，在曲线 )
4、(xfy= 上取一点)(,( 00 xfxM ，过 M作曲线的切线 MT，切线的斜率为 atan)( 0 = xf ，当自变量x在 0x 处有增量 x 时，得到曲线上另一点)(,( 00 xxfxxN + ，此时， xMQ = ，yQN = ， dyxxfMQPQ = )(tan 0a ，这就是说，函数 )(xfy = 的微分dy 等于曲线)(xfy = 在点 )(,( 00 xfxM 处的切线MT的纵坐标对应于 x 的增量。 当 0x 时， | dyyPN = 是关于 x 的较高阶无穷小。即，当 | x 很小时，| dyy 比 | x 小得多，此时有：弧MN | MP ，即“以直代曲”。 三
5、、微分的基本公式和运算法则： 1微分的基本公式： 由导数的基本公式和微分的定义得： 0)( =cd dxxxd 1)( = mm m adxaad xx ln)( = dxeed xx =)( 课题十二 函数的微分 第 3 页 共 6 页 dxaxxd a ln1)(log = dxxxd 1)(ln = xdxxd cos)(sin = xdxxd sin)(cos = xdxxd 2sec)(tan = xdxxd 2csc)(cot = xdxxxd tansec)(sec = xdxxxd cotcsc)(csc = dxxxd211)(arcsin= dxxxd211)(arccos
6、= dxxxd 21 1)(arctan += dxxxarcd 21 1)cot( += 2微分的运算法则 dvduvud = )( dvuduvvud += )( ducucd = )( 2)( v udvvduvud = 3微分形式不变性： dxxfduufdy )()( = 例3求下列函数的微分： 5cot73 2 += xxy )2tan( 3 xxy = xy x 3cos21= 21 xy = 例4在等式左端的括号中填上适当的函数，使等式成立： dxxd 23)( = dxxd 3)( = tdtd 3sin)( = dxxxxd )tan(secsec)( += 四、微分在近似
7、计算上的应用 当 | x 很小时，函数 )(xfy = 在点 0x 处的改变量 xxfdyy = )( 0 ， 于是有： 1计算函数增量的近似值： 当 | x 很小时， xxfy )( 0 例5一半径为10cm的金属圆薄片受冷时，其半径减少到9.9cm，求该薄片面积课题十二 函数的微分 第 4 页 共 6 页 增量的近似值。 例6有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度为0.01cm，估计一下每只球需用铜多少克？（铜的密度为8.9克/ 3cm ） 2计算函数值的近似值： 当 | x 很小时， xxfxfxxf + )()()( 000 例7计算下列各值的近似值： 033
8、0sin 001.1ln 3工程上常用近似公式： 当 | x 很小时，有： xex + 1 xx + )1ln( xxsin xx tan xx nn 111 + xxarcsin 五、微分在误差估计中的应用： 1绝对误差和相对误差： 定义：若某个量的精确值为A，它的近似值为a，则称 | aA 为a的绝对误差，称 | | a aA 为a的相对误差。 2绝对误差界和相对误差界： 定义：若 AaA d | ，则称 Ad 为测量 A 的绝对误差界，称 | aAd 为测量 A 的相对误差界。 例8用卡尺测得圆钢的直径 mmD 04.60= ，测量D的绝对误差界 mmD 005.0=d ，试估计计算圆钢
9、截面面积时所产生的误差。 一般地，根据直接测量x的值用函数 )(xfy = 计算y的值时，若测量x的绝对误差界是 xd ，即 xx d | ，则当 0y 时，y的绝对误差 xyxydyy d= | ，得y绝对误差界（常称为绝对误差）为： xy y dd = | 得y相对误差界（常称为相对误差）为： 课题十二 函数的微分 第 5 页 共 6 页 xyyyy dd =| 例9计算球的体积时，要求相对误差不超过1%，问测得的直径的相对误差不能超过多少？ 六、一元函数微分学习题课： 1、导数的定义、几何意义 2、函数的可导性和连续性的关系 3、函数导数的计算 4、隐函数和参数方程的求导 5、高阶导数
10、6、函数单调性、极值的定义和判别法 7、函数最值的定义和求法 8、曲线凹凸性、拐点的定义和求法 9、曲线渐近线的定义和求法 10、函数图形的描绘 11、微分的定义、基本公式和运算法则 12、微分的应用 习题和例题讲解 例1讨论函数 |sin| xy = 在 0=x 的连续性和可导性。 例2已知函数=0,0,sin)(xxxxxf ，求 )(xf 。 例3过点 )2,0( 引抛物线 21 xy = 的切线，求此切线方程，并作图。 例4求下列函数的导数： 21arccos xxxy = qqr sin1 sin1ln += 21xxxy += 5 3 2 35+=xxy 例5求由方程 xyyx a
11、rctanln 22 =+ 所确定的隐函数y对x的导数。 例6已知参数方程=teytexttcossin ，求22dxyd 。 例7求下列函数的微分： 课题十二 函数的微分 第 6 页 共 6 页 2211arctanxxy+= )sin( jw += tAs 例8求证，当 | x 很小时， xnxn 111 + 。 例9曲柄连杆机构如图所示，当曲柄 OC绕O点以等角速度w旋转时，求连杆BC绕滑块销B摆动的角速度。 【授课小结】 通过本课题学习，学生应该达到： 1会求函数的微分； 2会用微分进行近似计算和解决一些实际问题； 3会求函数的绝对误差和相对误差。 【课后练习】 1P043习题2.12； 2P043习题2.12； 3P046复习题二。
